Особая точка. ДУ.

[Otta]

(Оффтоп)

Это какое-то новое веяние у нас на форуме: не просто дать полное решение, но еще обстоятельно объяснить, почему оно является полным. :)

falazure123, а не подумать ли Вам немножко самому?

[falazure123]

Внутри замкнутой интегральной кривой $U$ имеет экстремум. Это по теореме Вейерштрасса.
Из теоремы о необходимых условиях экстремума , частные производные в точке экстремума будут равны 0. (они существуют по условию).

И это всё?

Остался по-прежнему вопрос: как получается, что $U$ внутри интегральной кривой?

И еще.. какие условия накладываются все таки на функцию $U$ в определении уравнения в полных дифференциалах? в книжке просто, чтобы её полный дифференциал равнялся исходному уравнению.
В интернете нашел еще оговорку , что $U$ имеет непрерывные частные производные.. (но это то, чем я собственно пользуюсь в первом абзаце).

[Otta]

falazure123
А что такое $U$ вообще? какое отношение оно имеет к уравнению?
Писали ведь Вы уже. Так соберите же информацию воедино, всю.

ЗЫ Полный дифференциал уравнению равняться не может. Уравнению вообще ничто не может равняться, как ни странно.

[falazure123]

Otta в сообщении #914931 писал(а):

falazure123
А что такое $U$ вообще? какое отношение оно имеет к уравнению?

Ну тут шел разговор выше про функцию $U$.
Уравнение $Mdx + Ndy = 0 $ называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции $U(x,y)$
дальше была теорема о необходимом и достаточном условии.
Чтобы уравнение $Mdx + Ndy = 0 $ было ур-ем в полных дифференциалах необходимо и достаточно , чтобы $dM/dy = dN/dx $ .

[Munin]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #914931 писал(а):

Уравнению вообще ничто не может равняться, как ни странно.

Не скажите! Строчка символов может равняться уравнению!

[falazure123]

так по теореме о необходимых условиях мы получаем, что частные производные равны нулю.
а нам надо $ M(x_0,y_0) = N(x_0,y_0) = 0 $

а. понял. $U'x=0 $ и $U'y=0$. а это и есть $M$ и $N$

а может быть такое, что эта точка лежит на самой интегральной кривой? или такого не может быть?

[Lia]

falazure123
Учитесь оформлять формулы. Полезные ссылки рядом с окном ввода сообщения. Например, topic183.html
$U'_x$ , $\frac {\partial M}{\partial y}$
Чтобы увидеть код, наведите курсор мыши на формулу.

[пианист]

falazure123 в сообщении #914811 писал(а):

Про векторные поля и тп еще не было теорем к сожалению.

Дык ограничивать свои источники информации рамками читаемого учебного курса не обязательно ;)

[ewert]

falazure123 в сообщении #914969 писал(а):

а может быть такое, что эта точка лежит на самой интегральной кривой? или такого не может быть?

Смотря что называть интегральной кривой. Вообще-то если интегральная кривая проходит через особую точку, то на ней она и заканчивается, даже если она замкнута.

[Munin]

пианист в сообщении #915030 писал(а):

Дык ограничивать свои источники информации рамками читаемого учебного курса не обязательно ;)

А вот ограничивать этими рамками используемые в задачах на доказательство факты - видимо, обязательно. А то можно на логический круг наступить нечаянно.

[ewert]

пианист в сообщении #915030 писал(а):

Дык ограничивать свои источники информации рамками читаемого учебного курса не обязательно ;)

Обязательно. Для уравнений в полных дифференциалах это -- лёгонькая учебная задачка, и в том учебном курсе все необходимые сведения присутствовали (ну разве что чорт, в смысле потенциал, не поминался, судя по всему, по имени). Если же от полнодифференциальности отказаться, то задача становится (в рамках "элементарного" курса ДУ) неподъёмной: это, в сущности, задача о причёсывании ежа. Т.е. они, во всяком случае, родственны, и эта задача более-менее к ежу сводится.

[пианист]

Munin
Есть такое дело.
Но в смысле допинфо все же неплохо знать, я считаю, раз уж повод подвернулся.
ewert
Ну вот, а если с т.з. той теоремы, то даже и на простенькую задачу не тянет - так, элементарное упражнение на понимание используемых слов.

(Оффтоп)

Очень мне эта теоремка нравится ;)
Изящная, как.. как концерт ми-минор Мендельсона.

[ewert]

пианист в сообщении #915239 писал(а):

Ну вот, а если с т.з. той теоремы,

А её ещё нет. И ещё долго не будет.