Внутри замкнутой интегральной кривой

имеет экстремум. Это по теореме Вейерштрасса.
Из теоремы о необходимых условиях экстремума , частные производные в точке экстремума будут равны 0. (они существуют по условию).
И это всё?
Остался по-прежнему вопрос: как получается, что

внутри интегральной кривой?
И еще.. какие условия накладываются все таки на функцию

в определении уравнения в полных дифференциалах? в книжке просто, чтобы её полный дифференциал равнялся исходному уравнению.
В интернете нашел еще оговорку , что

имеет непрерывные частные производные.. (но это то, чем я собственно пользуюсь в первом абзаце).