объем срезанного конуса

[nnosipov]

Munin в сообщении #913685 писал(а):

Я, например, не знаю, можно ли одномерное пересечение двух квадратичных поверхностей всегда представить как пересечение цилиндра и другой поверхности.

По-моему, нельзя. Иначе проекция этой кривой на некоторую плоскость была бы кривой 2-го порядка. Но когда мы из двух квадратичных уравнений 2-го порядка исключим одну из координат, относительно двух оставшихся координат получится, вообще говоря, что-то 4-й (кажется) степени.

Да и, кстати, в размерности на единицу меньше очевидно нельзя.

[Батороев]

Xey в сообщении #913691 писал(а):

Про яйцо забыли.
Видимо это развертка циллиндра, пересекающего конус?

Про яйцо я забыл, отказавшись от него несколькими постами ранее, когда признал, что в сечении конуса получается эллипс. Развертка цилиндра при сечении его плоскостью под углом - синусоида.

[Munin]

nnosipov в сообщении #913702 писал(а):

По-моему, нельзя. Иначе проекция этой кривой на некоторую плоскость была бы кривой 2-го порядка. Но когда мы из двух квадратичных уравнений 2-го порядка исключим одну из координат, относительно двух оставшихся координат получится, вообще говоря, что-то 4-й (кажется) степени.

Логично. Значит, они, вообще говоря, 4-й степени. Интересное удвоение.

-- 29.09.2014 19:45:39 --

Не, стоп. Квантор не тот. Из того, что вообще говоря, получается 4-я степень, не следует, что не существует такой плоскости, в проекции на которую получится 2-я степень.

[nnosipov]

Munin в сообщении #913712 писал(а):

Не, стоп. Квантор не тот. Из того, что вообще говоря, получается 4-я степень, не следует, что не существует такой плоскости, в проекции на которую получится 2-я степень.

Проекция на одну плоскость --- 4-я степень, а на другую плоскость --- 2-я степень. Разве такое бывает? Хотя почему бы и нет. Ведь кривая, которую проектируем, не плоская. Ну, тогда не знаю.

[redicka]

Меня удивляет другое - почему существует элементарная формула объема косо срезанного конуса, а тройной интеграл, который должен был бы дать эту формулу не берется в элементарных функциях.По крайней мере, его не берут матпакеты?

-- 29.09.2014, 20:37 --

Portnov в сообщении #913666 писал(а):

А у меня вот такая формула получилась для верхнего куска:

$$\frac13\pi h^3\frac{\cos^2\alpha\sin^2\beta}{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}$$

где $h$ — часть высоты большого конуса, отрезанная секущей плоскостью; $\alpha$ — угол между основанием большого конуса и секущей плоскостью; $2\beta$ — угол при вершине конуса. При $\alpha=0$ логично получается $\frac13\pi h (h\tg\beta)^2$.

Portnov, не могли бы вы нарисовать картинку и показать $h$.

[Portnov]

redicka
Как-то так: http://gallery.home.iportnov.ru/image/Misc/Cone.png

-- Пн сен 29, 2014 22:32:26 --

redicka
Я мог ошибиться, кстати, проверьте :)

[Munin]

redicka в сообщении #913727 писал(а):

Меня удивляет другое - почему существует элементарная формула объема косо срезанного конуса, а тройной интеграл, который должен был бы дать эту формулу не берется в элементарных функциях.По крайней мере, его не берут матпакеты?

Я всё ещё уверен, что это из-за кривых рук.

В принципе, такая ситуация могла бы быть и взаправду. Ведь тройной интеграл матпакеты пытаются считать как повторный. Значит, если на промежуточном этапе получится что-то неберущееся, то они и не справятся. Но с конусом такого быть не должно.

[redicka]

Portnov , проверил вашу формулу - не совпадает с значениями полученными по формуле arseniiv`а и моей.
Проверил также с помощью тройного интеграла (численно).

[arseniiv]

Munin в сообщении #913767 писал(а):

Я всё ещё уверен, что это из-за кривых рук.

Вполне. Я-то по совету считал площади сегментов (одинарный интеграл и тот не вычислился, ну а до того не взялся тройной). Если бы сразу взять не декартовы координаты, скосив одну из осей, получилось бы интегрирование площадей эллипсов, и оно, скорее всего, завершилось бы.

[Sender]

Portnov в сообщении #913666 писал(а):

А у меня вот такая формула получилась для верхнего куска:

$$\frac13\pi h^3\frac{\cos^2\alpha\sin^2\beta}{\cos^2\alpha - \sin^2\beta}$$

У меня не такая красивая формула получилась:

$$V=\frac13\pi h^3\frac{ \cos^3 \alpha \sin^2\beta \cos \beta}{\left[ \cos(\alpha-\beta)\cos(\alpha+\beta)\right] ^\frac32}.$$

[Xey]

Еще немного о форме сечения.
То, что с самого первого взгляда сечение конуса плоскостью видится яйцеобразным, понятно.
Заинтересовала яйцеобразность.

Понравилось, как она описана здесь
http://www.biometrica.tomsk.ru/planirus.htm
Тут приведена такая трансформация окружности



Такое яйцеобразное сечение должно бы получится при пересечении циллиндра (и конуса?) половинкой параболического циллиндра, с последующим разворачиванием параболы в плоскость.

[Portnov]

Sender
Вероятно, ваша правильнее. Я, кажется, малую полуось эллипса не ту взял.

[redicka]

Sender, если у вас альфа, бета и $h$ таткие же как на картинке у Portnov`а, то ваша формула также не дает верный результат.

[math_lover]

redicka в сообщении #913727 писал(а):

Меня удивляет другое - почему существует элементарная формула объема косо срезанного конуса, а тройной интеграл, который должен был бы дать эту формулу не берется в элементарных функциях.По крайней мере, его не берут матпакеты?

А если наоборот: объем выражается в элементарных функциях, то можно ли найти тот объем без интеграла? Вопрос наверное относится к категории: какие фигуры можно построить с помощью циркуля и линейки (с алгебраической точки зрения).

Объем шара с помощью интеграла через декартовы координаты труднее найти чем способом Архимеда, но здесь наоборот:



Дан шар радиусом $R$, сквозное квадратное отверстие стороной $2a$, найти объем $V$ (зеленое) и поверхность $S$ (темно-зеленое с одной стороны на шаре).

$\[V = \frac{8}{3}{a^2}\sqrt {{R^2} - 2{a^2}} + \left( {8a \cdot {R^2} - \frac{8}{3}{a^3}} \right) \cdot \arcsin \left( {\frac{a}{{\sqrt {{R^2} - {a^2}} }}} \right) - \frac{8}{3}{R^3} \cdot \arcsin \left( {\frac{{{a^2}}}{{{R^2} - {a^2}}}} \right)\]$,
$\[S = 8a \cdot R \cdot \arcsin \left( {\frac{a}{{\sqrt {{R^2} - {a^2}} }}} \right) - 4{R^2} \cdot \arcsin \left( {\frac{{{a^2}}}{{{R^2} - {a^2}}}} \right)\]$.