Наверно, вы хотели сказать, что при определении вида

областью определения функции

берётся множество тех значений

, при которых выражение справа имеет смысл?
Так-то у любой функции есть область определения (странно говорить «должна быть»

), и в общем случае мы можем определить функцию как угодно, не «наследуя» область определения откуда-нибудь. Мы не можем брать функцию от элемента

вне области определения просто потому что функции не принадлежит пара

, т. е. функция «не знает», что сопоставить. Область определения — это уже выводимое понятие; невхождением элемента в область определения неприменимость к нему функции объяснять странновато.
Это всё, конечно, банальности, но вы так непонятно выразились…