Математические определения

[ewert]

Munin в сообщении #913063 писал(а):

И кстати, можно расширить функцию на комплексную плоскость:
$\operatorname{sgn}(a+bi)=\begin{cases}\operatorname{sgn}(a),&b=0;\\i\operatorname{sgn}(b),&b\ne 0.\end{cases}$

Можно, но польза от такой функции будет чуть меньше нуля.

[Munin]

Разумеется. А какая польза от сигнума?

[Red_Herring]

ewert в сообщении #913040 писал(а):

Это он не сам, это он под влиянием функции распределения.

Ну конечно.

Munin в сообщении #913063 писал(а):

Думаю, что смысл $\operatorname{sgn}(x)$ в том, чтобы давать пример числа - представителя того же подмножества, что и аргумент. Тогда любые $\operatorname{sgn}(0)\ne 0$ будут некорректными, должен быть либо ноль, либо функция не определена. И кстати, можно расширить функцию на комплексную плоскость:
$\operatorname{sgn}(a+bi)=\begin{cases}\operatorname{sgn}(a),&b=0;\\i\operatorname{sgn}(b),&b\ne 0.\end{cases}$

Тогда почему сигнум не чисто мнимого числа д.б. чисто мнимым? Я предпочитаю определить $\operatorname{sgn}(z)=z/|z|$ при $z\ne 0$.

Кроме того Вы считаете, что множества д.б. положительных, отрицательных (чисел) и $0$; а почему не неотрицательных и неположительных?

Цитата:

Другие функции могут быть полезными, но не имеют права носить звание "сигнума".

Я надеюсь, что крестового похода по искоренению ереси не будет. И разакаров не пошлют.

Да, кстати. вот вопрос еще большего философского значения: вещественные числа или действительные числа?
https://ru.wikipedia.org/wiki/Вещественное_число#cite_note-1

[Munin]

Red_Herring в сообщении #913113 писал(а):

Тогда почему сигнум не чисто мнимого числа д.б. чисто мнимым?

Можно и иначе, $\operatorname{sgn}(a+bi)=\operatorname{sgn}(a)+i\operatorname{sgn}(b).$

Red_Herring в сообщении #913113 писал(а):

Кроме того Вы считаете, что множества д.б. положительных, отрицательных (чисел) и $0$; а почему не неотрицательных и неположительных?

Это не я считаю, а изобретатели функции "сигнум" и вообще понятия знака числа. Чёрт их знает, почему они были такие непоследовательные и небурбакистские.

Red_Herring в сообщении #913113 писал(а):

Я надеюсь, что крестового похода по искоренению ереси не будет.

Дык это вы же его и устраиваете.

Red_Herring в сообщении #913113 писал(а):

Да, кстати. вот вопрос еще большего философского значения: вещественные числа или действительные числа?

Разумеется, реальные.

-- 28.09.2014 13:43:32 --

Red_Herring в сообщении #913113 писал(а):

Я предпочитаю определить $\operatorname{sgn}(z)=z/|z|$ при $z\ne 0$.

Эта штука называется "фаза", а не "сигнум". Вещь, безусловно, полезная. Пополезней сигнума, имхо. Но не сигнум.

Можно ввести фазу и для действительных чисел. Да и аргумент сразу, чё уж там.

[ewert]

Munin в сообщении #913117 писал(а):

Можно ввести фазу и для действительных чисел. Да и аргумент сразу, чё уж там.

Они и так есть.

[Munin]

Ссылку на учебник.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #913117 писал(а):

Дык это вы же его и устраиваете.

Да нет, я как раз супротив догматизма и начетничества.

Кстати, если сигнум такой общепринятый, то почему ни Кнут, ни Лампорт, ни AMS не ввели \sgn? (Впрочем, они не ввели даже \lcm)

[ewert]

Red_Herring в сообщении #913143 писал(а):

Кстати, если сигнум такой общепринятый, то почему ни Кнут, ни Лампорт, ни AMS не ввели \sgn?

Общепринятость сигнума ещё не означает общепринятости его обозначений.

Munin в сообщении #913129 писал(а):

Ссылку на учебник.

Вещественные числа суть подмножество комплексных. Ссылку на сей факт поищите сами, это нетрудно.

[Qazed]

Спасибо за ответы. Продолжаю спрашивать:
1. topic76055-30.html --- прочитал тему и задался вопросом. Почему равносильность обязательно можно «доказать» непосредственно? Допустим я говорю, что $a$ равносильно $b$ по определению ($a : \Leftrightarrow b$), стало быть я могу дать зуб любому профессору, что в рамках этой конкретной темы на этом конкретном форуме с этой конкретной секунды в сообщениях ниже $a \Leftrightarrow b$. Это ли не доказательство «по определению»?
2. Нюансы использования $:=$ и $: \Leftrightarrow$. Контексты в которых используются эти значки эквивалентны контекстам в которых используются $=$ и $\Leftrightarrow$? Надеюсь, что Вы правильно меня поймёте (если нет, то я уточню в дальнейшем), например:
$\tg x := \sin x / \cos x$ и $ 0! := 1 $, но $A \cup B : \Leftrightarrow \{ x \in M : (x \in A) \vee (x \in B) \}$

[arseniiv]

2. Да.

А вот (1) я уже не понял.

[bot]

В 1 какая-то белиберда.

Qazed в сообщении #913856 писал(а):

$A \cup B : \Leftrightarrow \{ x \in M : (x \in A) \vee (x \in B) \}$

И этого я не понял. Если хотели написать определение объединения, то что такое $M$?
Например, пусть $A=[1;2], B=[2,3], M=[5,6]$.

Что то уж слишком это троллингом пахнет.

[Qazed]

Утв. 1.

venco в сообщении #766009 писал(а):

Равносильно - значит это равенство можно доказать.
Определение же вводит новое понятие, которого ранее не было. ...

Утв. 2. Пусть $M$ некоторое множество, тогда $A \cup B : \Leftrightarrow \{ x \in M : (x \in A) \vee (x \in B) \}$

Из утв. 1 следует, что утв. 2 ложно так как его невозможно доказать: утв. 2. есть определение. Невозможно доказать, что тангенс --- это отношение синуса к косинусу, так тангенс есть отношение синуса к косинусу по определению и понятие тангенса не следует из чего-либо. Ложно ли утв. 1?

Утв. 3.

Qazed в сообщении #913856 писал(а):

Допустим, что $a$ равносильно $b$ по определению ($a : \Leftrightarrow b$), стало быть я могу дать зуб любому профессору, что в рамках этой конкретной темы на этом конкретном форуме с этой конкретной секунды в сообщениях ниже $a \Leftrightarrow b$. Это ли не доказательство «по определению»?

Верно ли утв. 3?

-- 30.09.2014, 19:41 --

bot в сообщении #913971 писал(а):

Что то уж слишком это троллингом пахнет.

Не могу прокомментировать. Таким тонким обонянием я, увы, не обладаю.

[arseniiv]

Qazed в сообщении #914047 писал(а):

Утв. 2. Пусть $M$ некоторое множество, тогда $A \cup B : \Leftrightarrow \{ x \in M : (x \in A) \vee (x \in B) \}$

Кстати, пропустил как-то это $M$. Действительно, уберите его. Во-первых, если оно «некоторое», а слева не появляется — определение не получится. Во-вторых, оно там просто не нужно.

Qazed в сообщении #914047 писал(а):

Невозможно доказать, что тангенс --- это отношение синуса к косинусу, так тангенс есть отношение синуса к косинусу по определению и понятие тангенса не следует из чего-либо. Ложно ли утв. 1?

А, дошло, что вы спрашиваете. В цитате в контексте той темы venco говорит о другом, по-моему, а не о том, что если есть определение $a :\Leftrightarrow b$, то $a\Leftrightarrow b$ как будто неверно. Как раз верно, и как раз в этом случае и пишут «верно по определению». Так что да, ваше утв. 3 (без последнего вопроса, на который ответ — да) верно.

В математической логике вещи попроще. Определение там — это не какая-то особая формула (и вообще не формула), а переход от одной теории к другой, которая отличается от первой добавлением соответствующей аксиомы, содержащей новый символ (и расширением сигнатуры определяемым символом). Вашим определениям тангенса и объединения будут соответствовать определения
(1) расширяющее теорию одноместным функциональным символом $\tg$ и аксиомой $\tg x = \sin x/\cos x$;
(2) расширяющее теорию двуместным функциональным символом $\cup$ и аксиомой $x\in a\cup b\Leftrightarrow x\in a\vee x\in b$ (или $a\cup b = \{x : x\in a\vee x\in b\}$, если запись с фигурными скобками уже определена).
Можно вводить ещё предикатные символы — типа определения $\subset$ (двуместный) или сравнения по модулю (трёхместный). Заметьте, что определяющая аксиома для функционального символа не обязана содержать $=$. Некоторые определения просто невозможно написать так, чтобы они были вида $f(\ldots) = \ldots$, где $f$ — определяемый символ. Например, определение вычитания, если сложение определено, а смена знака — нет; оно будет выглядеть как $(a - b) + b = a$.

[amon]

Munin в сообщении #913096 писал(а):

А какая польза от сигнума?

$G({\bf p},\omega)=\frac{1}{\omega-\varepsilon_0({\bf p})+i0\opertatorname{sign}(|{\bf p}|-p_F)}$

[Munin]

Вот только не говорите мне, что здесь нельзя написать другую функцию, с более чётким описанием, какое значение она принимает в нуле.