Математические определения

[Qazed]

Здравствуйте, уважаемые математики, помогите, пожалуйста, разобраться. Пытаюсь понять как вообще можно определять различные понятия, например:
$\tg x := \dfrac{\sin x}{\cos x}$
При нулевых косинусах определение ничего не определяет, какой тогда в нём смысл? Как должно выглядеть исчерпывающее определение тангенса?

[Aritaborian]

Ну так тангенс в этих точках и в самом деле не определён. В чём проблема-то?

[Qazed]

Определение не говорит что происходит в этих точках. Например, по одному из определений
$\mathrm{sgn \text{ }} x := \dfrac{|x|}{x}$.
Что творится в нуле по этому определению выяснить невозможно

[ewert]

Qazed в сообщении #912504 писал(а):

Например, по одному из определений
$\mathrm{sgn \text{ }} x := \dfrac{|x|}{x}$.
Что творится в нуле по этому определению выяснить невозможно

А это попросту неправильное определение. В отличие от тангенса, сигнум обязан определяться в т.ч. и в нуле.

[Someone]

Qazed в сообщении #912504 писал(а):

по одному из определений
$\mathrm{sgn \text{ }} x := \dfrac{|x|}{x}$

Не встречал такого определения сигнума. Всегда

$$\operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}-1\text{ при }x<0,\\ 0\text{ при }x=0,\\ 1\text{ при }x>0.\end{cases}$$

А ваше просто неграмотное. Уж тогда надо было бы написать

$$\operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}\frac x{\lvert x\rvert}\text{ при }x\neq 0,\\ 0\text{ при }x=0.\end{cases}$$

[Slow]

Может стоит сказать что у функции должна быть область определения, поэтому мы не можем брать функцию от элементов не лежащих в области определения.

[arseniiv]

Наверно, вы хотели сказать, что при определении вида $f(x) = \text{выражение от }x$ областью определения функции $f$ берётся множество тех значений $x$, при которых выражение справа имеет смысл?

Так-то у любой функции есть область определения (странно говорить «должна быть» ), и в общем случае мы можем определить функцию как угодно, не «наследуя» область определения откуда-нибудь. Мы не можем брать функцию от элемента $v$ вне области определения просто потому что функции не принадлежит пара $(v,\text{значение})$, т. е. функция «не знает», что сопоставить. Область определения — это уже выводимое понятие; невхождением элемента в область определения неприменимость к нему функции объяснять странновато.

Это всё, конечно, банальности, но вы так непонятно выразились…

[Red_Herring]

Я не думаю, что определение $\operatorname{sgn}(0)=0$ является абсолютно общепринятым. Альтернативно можно считать, что
а) $\operatorname{sgn}(0)$ не определён
б) $\operatorname{sgn}$ в $0$ двузначная функция со значениями $\{-1,1\}$;
в) $\operatorname{sgn}$ в $0$ многозначная функция со значениями $[-1,1]$; в этом случае можно например записать силу "сухого" трения в одномерной задаче как $K\operatorname{sgn}(v)$ где $v$ –- скорость.

Разумеется, любое из четырёх определений переносится на $\operatorname{sgn}$ в $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{C}^n$ и т.д.

[popolznev]

Red_Herring в сообщении #912559 писал(а):

Я не думаю, что определение $\operatorname{sgn}(0)=0$ является абсолютно общепринятым. Альтернативно можно считать, что...

Плохо мысли согласуются. Если бы в первом предложении стояло "является целесообразным" вместо "является общепринятым", то "можно считать" - было бы уместно. Но если речь идёт об общепринятом, то это опровергается только примерами: кто, где определял иначе.

[Утундрий]

Общепринятость - функция общества.

[Red_Herring]

popolznev в сообщении #912609 писал(а):

то это опровергается только примерами: кто, где определял иначе.

Вот я определил иначе. Конкретно выше. Я, кстати, написал абсолютно общепринятым.

Даже родственник оного, функция Хевисайда, $2H(x)-1=\operatorname{sgn}(x)$ определяется в $0$ по разному: в преобразовании Лапласа обычно она обычно полунепрерывна справа, а в теории операторов спектральный проектор $A$ определяется как $E(\lambda)=H(\lambda -A)$ — слева.

[popolznev]

Цитата:

Вот я определил иначе.

Этого я и боялся.

[Slow]

arseniiv в сообщении #912529 писал(а):

Наверно, вы хотели сказать, что при определении вида $f(x) = \text{выражение от }x$ областью определения функции $f$ берётся множество тех значений $x$, при которых выражение справа имеет смысл?

Так-то у любой функции есть область определения (странно говорить «должна быть» ), и в общем случае мы можем определить функцию как угодно, не «наследуя» область определения откуда-нибудь. Мы не можем брать функцию от элемента $v$ вне области определения просто потому что функции не принадлежит пара $(v,\text{значение})$, т. е. функция «не знает», что сопоставить. Область определения — это уже выводимое понятие; невхождением элемента в область определения неприменимость к нему функции объяснять странновато.

Это всё, конечно, банальности, но вы так непонятно выразились…

Вы абсолютно правы, я как то неправильно сформулировал свою мысль. Попробую по другому: функция это по сути набор упорядоченных пар(кортежей):$(x,y)$ для которых там еще что то выполняется(все таки прочитайте определение функции) ну так вот в случае с тангенсом мы делим на косинус, а у функции $1/x$ просто нет пары (0, y).

[ewert]

Red_Herring в сообщении #913012 писал(а):

а в теории операторов спектральный проектор $A$ определяется как $E(\lambda)=H(\lambda -A)$ — слева.

Это он не сам, это он под влиянием функции распределения.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #912559 писал(а):

Я не думаю, что определение $\operatorname{sgn}(0)=0$ является абсолютно общепринятым.

Думаю, что смысл $\operatorname{sgn}(x)$ в том, чтобы давать пример числа - представителя того же подмножества, что и аргумент. Тогда любые $\operatorname{sgn}(0)\ne 0$ будут некорректными, должен быть либо ноль, либо функция не определена. И кстати, можно расширить функцию на комплексную плоскость:
$\operatorname{sgn}(a+bi)=\begin{cases}\operatorname{sgn}(a),&b=0;\\i\operatorname{sgn}(b),&b\ne 0.\end{cases}$
Другие функции могут быть полезными, но не имеют права носить звание "сигнума".