В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?

[Aritaborian]

Так это болтология какая-то.

[arseniiv]

Поэтому мне не нравится название «общее свойство». Главное, множество с таким свойством элементов единственно в соответствующей теории (какой-то там многодоопределённой теории множеств). При подстановке каждой из этих штук вместо икса в $x=1\vee x=\sqrt2\vee x=e^\pi$ получится теорема, а при подстановке чего угодно другого теорема не получится, а наверняка получится формула, доказуемо отрицание которой (если мы можем доказать неравенство подставленной штуки любой из остальных. А вдруг не можем — бывает и такое. Не могу сказать точно, закрыта ли такая альтернатива в данном случае).

[g______d]

Aritaborian в сообщении #909327 писал(а):

Так это болтология какая-то.

А какого ответа Вы ожидали? Какое "общее свойство" зададим, такое множество и получится (зависит еще от того множества, из которого выделяем). Формально этот процесс описывается схемой аксиом выделения.

Если хочется задать некрасивое множество, то нет, вообще говоря, никакой причины, по которой задающее его свойство должно быть красивым.

[arseniiv]

g______d в сообщении #909341 писал(а):

Какое "общее свойство" зададим, такое множество и получится (зависит еще от того множества, из которого выделяем). Формально этот процесс описывается схемой аксиом выделения.

Я бы сказал, что не только аксиома выделения, но и вообще все аксиомы вида $[\forall\vec a]\,\exists s\,\forall x(x\in s\leftrightarrow\phi)$, говорят об «общем свойстве». Но, в принципе, это философия. Как их не дели, они всё равно останутся на месте и дадут вывести то же!

[TOTAL]

joke-100 в сообщении #908846 писал(а):

Нет, очевидно именно то, что я написал,

Цитата:

множества всех множеств не содержащих себя в качестве элемента существовать не может

Почему такого множества существовать не может?

[upgrade]

Mihr в сообщении #909305 писал(а):

совокупность множеств, не являющихся собственными элементами, - тоже множество

совокупность множеств, не являющихся собственными элементами - тоже множество, но с особым свойством - оно содержит все множества, не являющиеся собственными элементами кроме себя самого.

[g______d]

upgrade в сообщении #909372 писал(а):

совокупность множеств, не являющихся собственными элементами - тоже множество

Нет. По крайней мере, в $\mathbf{ZFC}$.

[Mihr]

arseniiv в сообщении #909322 писал(а):

Если поразмышлять ещё, становится видно, что 1 входит в 2 — а именно, $x\in\{a_1,\ldots,a_n\}\Leftrightarrow x=a_1\vee\ldots\vee x=a_n$, т. е. у каждого множества, заданного перечислением элементов, всегда есть довольно понятное «общее свойство» элементов.

Трудно согласиться.
Нет, чисто формально утверждение "быть либо объектом A, либо объектом B, либо объектом C, ... либо объектом N" можно считать общим свойством элементов A, B, C, ... , N.
Но подобное свойство я не могу признать "довольно понятным". Особенно с учётом того, что множества можно конструировать из объектов любого типа, в т.ч. не математических.
Это частично проиллюстрировал Aritaborian.

Aritaborian в сообщении #909325 писал(а):

Пусть $A=\{1, \sqrt 2, e^\pi\}$. Что общего у элементов этого множества, кроме того, что все они — действительные числа?

Aritaborian, в действительности Ваш пример не вполне удачен. Потому что легко составить алгебраическое уравнение, корнями которого служат указанные Вами числа (и только они) и сформулировать общее свойство так: "быть корнями данного уравнения".
Давайте, однако, попробуем взять за "универсальное множество" совокупность всех понятий, имеющих какое-нибудь определение (чёткое описание). И выделим в нём следующее подмножество элементов:
1. Единичная матрица третьего порядка.
2. Кот Шредингера.
3. Оператор "набла".
4. Теория вероятностей.
5. Неодносвязность.
6. Социальное психология.
7. Вор-рецидивист.
Назовём эту совокупность понятий (или элементов - как угодно) множеством S (ибо ну очень странное множество).
Вопрос: каково "довольно понятное" общее свойство элементов этого множества?

arseniiv в сообщении #909330 писал(а):

Поэтому мне не нравится название «общее свойство».

Удивлён. А как без него обойтись?
Что такое, например, множество нечётных чисел? Множество целых чисел, дающих при делении на 2 в остатке 1. Предыдущая фраза есть описание общего свойства элементов указанного множества. Существует ли другой способ задать это (или другое бесконечное) множество?

[upgrade]

g______d в сообщении #909374 писал(а):

Нет.

почему нет, я ведь прямо описал его как не содержащее себя самого в качестве элемента.
например, множество всех четных чисел кроме числа 4 - это обычное множество.
множество всех множеств не содержащих себя в качестве элемента, кроме самого этого множества в качестве элемента - его свойства не важны, важно что его просто нет в качестве элемента.
или
множество всех множеств не содержащих себя в качестве элемента плюс само это множество в качестве элемента самого себя
"множество всех четных чисел и число 5"

[Sonic86]

Mihr в сообщении #909377 писал(а):

Но подобное свойство я не могу признать "довольно понятным".

нормальное свойство, вполне понятное. Вы еще рекурсивные описания не видели. Или описания, для которых надо корректность доказывать.

upgrade в сообщении #909379 писал(а):

почему нет

перечитайте парадокс Рассела еще раз. Можете перечитать парадокс брадобрея. То же самое.
Если Вы что-то описали словами, то отсюда не следует, что оно существует. Например, "тяжелый безмассовый камень" - он описан, но он не существует.

[upgrade]

Sonic86 в сообщении #909387 писал(а):

Можете перечитать парадокс брадобрея. То же самое.

так я написал как устранить, для парадокса брадобрея исключаем или дополняем множество условием относительно самого брадобрея:
брадобрей бреет всех кто не бреет себя сам, и брадобрей не бреет себя
или
брадобрей бреет всех кто не бреет себя сам, и брадобрей бреет себя.

[Nemiroff]

g______d в сообщении #909324 писал(а):

В математике единственный формальный способ задания множеств — это получить его из множества натуральных чисел с помощью действий, разрешенных $\mathbf{ZFC}$. Существование натуральных чисел — одна из аксиом $\mathbf{ZFC}$, поэтому даже фраза "из множества натуральных чисел", строго говоря, лишняя.

Называть аксиому бесконечности "существованием натуральных чисел" — фу.

Aritaborian в сообщении #909327 писал(а):

Так это болтология какая-то.

Это формула первого порядка со свободной переменной.

[Sonic86]

upgrade в сообщении #909391 писал(а):

так я написал как устранить, для парадокса брадобрея исключаем или дополняем множество условием относительно самого брадобрея:
брадобрей бреет всех кто не бреет себя сам, и брадобрей не бреет себя

$A,B\vdash A$:
брадобрей бреет всех кто не бреет себя сам, и брадобрей не бреет себя $\Rightarrow$ брадобрей бреет всех кто не бреет себя сам $\Rightarrow$ стандартные рассуждения, приводящие к парадоксу.
Т.е. ничего Вы не устранили.
И вообще, дело не в том, что надо "починить" какое-то конкретное описание, а в том, что не всякое описание множества дает множество (ну грубо говорю).

[upgrade]

Sonic86 в сообщении #909398 писал(а):

что не всякое описание множества дает множество

может быть потому, что описание множества, которое не дает множество, НЕ является "описанием множества", и к описанию множества есть минимальные требования, которые при не соблюдении просто не описывают множество.
а не потому что существуют описания множеств, не дающие множества или существуют множества, которые нельзя описать.

[Sonic86]

upgrade в сообщении #909400 писал(а):

описание множества, которое не дает множество, НЕ является "описанием множества"

upgrade в сообщении #909400 писал(а):

а не потому что существуют описания множеств, не дающие множества

Не, это куда-то в сторону. Можно считать так, можно эдак, в любом случае, проблема не решается: если $P$ - свойство, то $\{x:P(x)\}$ не всегда множество. И еще раз: я пишу грубо, в теории вообще никаких "описаний множеств" нет.
Можно попробовать точно выписать, чтобы в сторону не уходить.

upgrade в сообщении #909400 писал(а):

и к описанию множества есть минимальные требования, которые при не соблюдении просто не описывают множество.

чисто ради интереса, попробуйте эти минимальные требования сформулировать. Мне они неочевидны.
Вот тестовый пример: множество бесконечных множеств. Существует оно или нет?