Здесь в несколько сокращённом и чуть-чуть изменённом виде приведены выкладки из сообщения
http://dxdy.ru/post498318.html#p498318, спрятанные там в оффтопе. Я собирался отправить это сообщение ещё в сентябре прошлого года, но так и не собрался. А сейчас опять возник этот вопрос о
вращающемся диске, поэтому я его (сообщение) всё-таки публикую.
Начинаем с метрики Минковского в цилиндрических координатах:
Преобразуем её к вращающейся системе координат:
Выделяем полный квадрат, чтобы выделить собственное время:
Как видим, пространственная часть метрики
с точностью до выбора единиц измерения совпадает с тем, что написано в ЛЛ2, §§ 84, 89).
Далее предполагаем, что
, то есть, рассматриваем не всё пространство-время, а только "цилиндр" некоторого радиуса
. Метрика на этом цилиндре имеет вид
Если ввести собственное время
то метрика (6) примет вид
Подставляя выражение
из (2) в (7), получим
Таким образом, "окружность", к которой относится метрика (5), выделяется условием
. Взяв произвольную постоянную в этом выражении равной нулю, получим
Подставляя (10) в (2), найдём
Поскольку на "окружности"
, то получаем
Таким образом, "окружность", длина которой вычисляется во вращающейся системе координат, в пространстве-времени представляет собой незамкнутую пространственно-подобную линию, определяемую условиями
,
, (10), (12). Подставляя указанные соотношения в метрику (1), получим
, откуда
Учитывая (12), найдём длину "окружности":
то есть, в точности то же, что получено в ЛЛ2 (§ 89).
Я напомню, что мы рассматриваем не всё пространство-время, а только "цилиндр", заданный условием
.
Преобразования (2), (9) выглядят, конечно, "недоделанными". Обозначим
. Тогда из формулы (2) получим
а метрика (8) примет вид
Формулы (9), (15) сильно "напоминают" преобразование Лоренца, а если ввести скорость
и переменные
и
, то получится
Заметим, что это "преобразование Лоренца" действует только на указанном "цилиндре" и только локально, распространить его на весь "цилиндр" нельзя, потому что синхронизация часов "по Эйнштейну" на вращающейся окружности противоречива (но на дуге, чуть меньшей окружности, всё благополучно). Если же попытаться выйти за пределы нашего "цилиндра", то этот метод синхронизации часов будет противоречив и локально.
Вложение:
CTO-Rotation-1.gif [ 2.93 Кб | Просмотров: 3480 ]
Вложение:
CTO-Rotation-2.gif [ 4.16 Кб | Просмотров: 3480 ]
На первом рисунке изображён обсуждаемый цилиндр с координатами
, на втором рисунке этот цилиндр раскатан на плоскости. В этой системе отсчёта (неподвижного наблюдателя) в момент времени
вращающаяся окружность изображается окружностью
на цилиндре или отрезком
на плоскости.
На плоскости преобразования (17) становятся настоящими преобразованиями Лоренца.
Координаты
— это координаты в собственной системе отсчёта вращающейся окружности, и в ней вращающаяся окружность в момент времени
изображается отрезком
как на плоскости, так и на цилиндре.