Язык кванторов

[Qazed]

Здравствуйте, решил разобраться с языком кванторов на уровне, необходимом для записи школьных теорем и решения школьных задач со «звёздочкой» и без, но так чтобы на первом курсе не пришлось переучиваться. Во-первых, прошу порекомендовать литературу-концентрат (мало букв, много математики) из серии «Кванторы и мат. логика для дебилов (школьников)». Во-вторых, уже есть некоторые вопросы, которые я задам в следующем сообщении. Спасибо

[Brukvalub]

Прочтите несколько первых страниц, например, из учебника Зорича "Математический анализ", этого хватит.

[Qazed]

1. Чем можно заменить слово «если»? Во многих формулировках, которые я встречал слово «если» используется на равных со «значками», что режет мне глаза.
Пример: «Если вектор $\vec c$ можно разложить по векторам $\vec a$ и $\vec b$, то все три вектора компланарны.»
Пример: $\vec b = k \cdot \vec a \iff \begin{cases}|\vec b| = |k| \cdot | \vec a| \\ \vec b \uparrow \uparrow \vec a, \text{ если } k \geqslant 0 \\ \vec b \uparrow \downarrow \vec a, \text{ если } k < 0 \end{cases}$
1.1. Чем лучше заменить «то»? «$\iff$» или «$:$»
2. Как через кванторы определить понятие компланарности?
3. Корректна ли эта запись?
$\vec a \{x_1, y_1, z_1\} + \vec b \{x_2, y_2, z_2\} = (\vec a + \vec b) \{x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2\}$

-- 09.09.2014, 21:41 --

Brukvalub, спасибо

[Munin]

Связка "если $A,$ то $B$" записывается $A\Rightarrow B.$ (Бывают ещё варианты $A\to B$ и $A\mathrel{\mathrel{|}\joinrel\mathrel{-}}B,$ со сходным смыслом, но нюансами значений; пока они вам не встретились, можете про них не думать.)

-- 09.09.2014 22:20:14 --

Компланарность: пусть мы оговорили, что $\mathbb{P}$ - множество плоскостей (в векторном пространстве). Тогда "$\vec{\vphantom{b}a},\vec{b},\vec{\vphantom{b}c}$ компланарны" - $\exists p\in\mathbb{P}\quad(\vec{\vphantom{b}a}\in p\wedge\vec{b}\in p\wedge\vec{\vphantom{b}c}\in p).$

[Dan B-Yallay]

Qazed в сообщении #906000 писал(а):

3. Корректна ли эта запись?
$\vec a \{x_1, y_1, z_1\} + \vec b \{x_2, y_2, z_2\} = (\vec a + \vec b) \{x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2\}$

На каком языке и об чем эта запись? Если о покомпонентном сложении векторов, то я такое в первый раз вижу. Соответственно о корректности записи даже не могу судить. Может, другие участники прояснят.

[arseniiv]

Qazed в сообщении #906000 писал(а):

3. Корректна ли эта запись?
$\vec a \{x_1, y_1, z_1\} + \vec b \{x_2, y_2, z_2\} = (\vec a + \vec b) \{x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2\}$

Она понятна и может быть по договорённости (а только так и бывает) корректной, но уж очень неуклюжа, потому что школьное $A(x,y)$ или $\vec a\{x,y\}$ вполне записывается как $A = (x,y)$ и $\vec a = (x,y)$ (обычно круглые скобки показывают упорядоченную последовательность чего-то, а фигурные — множество, так что неупорядоченную, и, по-моему, для записи координат используются «наверху» реже). Тут, конечно, целых две вольности: $(x,y)$ обозначают и точку с данными координатами, и вектор с данными координатами; координаты всё-таки зависят от системы координат. В математических текстах совсем без вольностей никак (иначе формулы станут чрезмерно громоздкими), потому опытный глаз сразу замечает контекст — чтобы формула $\vec a + \vec b = (1,2)$ была корректной, надо, чтобы последние скобки обозначали вектор; а если рассматриваются несколько систем координат, обычно скобки не используются, и конфликта обозначений не получается. Грамотный математический текст подразумевает, что в нём везде смысл совпадающих обозначений ясен из контекста, и обычно у более-менее вхожего в математику человека все манипуляции пониманием обозначений идут автоматически, непроизвольно, и, в принципе, усваиваются без явного проговаривания того, что я написал.

Так вот, плюс же обозначений координат через равно — то, что все точки не переназываешь, а записи $A(x,y)$ требуют каждой точке, у которой интересны координаты, дать имя, и это может путаться под ногами. (Минусы, правда, не отстают — обычно имена несут с собой кусочки контекста, и чем их меньше, тем меньше вольностей в других обозначениях можно себе позволить. Но обычно это незаметно.)

Итак, в вашем случае я бы снёс буковки напрочь. Остальное на месте. Плюс за скобками обозначает сложение векторов, плюс внутри — сложение чисел, привет контексту.

-- Ср сен 10, 2014 03:33:59 --

А, и ещё. Есть записи, обозначающие целое высказывание, а есть — обозначающие какое-то там число, точку, вектор, семиугольник и т. п. (в математической логике это зовётся соответственно формулами и термами, хотя в бытовом употреблении формулы часто обозначают всё подряд (и это нормально)), так вот ваши школьные $A(1,2,3)$ — как раз формулы («точка A имеет координаты 1, 2, 3»), так что их, строго говоря, низзя засовывать в сумму или, например, под корень. Но есть ещё одна вольность, когда формулу ставят на место терма в другую формулу, подразумевая под первой какой-то её кусок — который именно, видимо, должно быть ясно. Вот тут это точка. Но это уже не сильно приветствуется, и за дело.

[ewert]

arseniiv в сообщении #906073 писал(а):

обычно круглые скобки показывают упорядоченную последовательность чего-то, а фигурные — множество, так что неупорядоченную, и, по-моему, для записи координат используются «наверху» реже

Это опять же школьная бяда: в школе зачем-то принято использовать для векторов именно фигурные скобки, хоть это и неприлично.

[Munin]

В некоторых приложениях принято использовать разные типы скобок для точек, векторов, плоскостей. Например, в кристаллографии. Хотя к школьной математике это относится чуть менее, чем никак.

Кстати, в школе это принято не везде. В учебниках разнобой. Из пяти учебников в двух - одна система, в двух - другая, в одном - третья. В ЕГЭ - четвёртая, тоже без фигурных скобок :-)

[popolznev]

Цитата:

Это опять же школьная бяда: в школе зачем-то принято использовать для векторов именно фигурные скобки, хоть это и неприлично.

и в иных вузах так-то

[Aritaborian]

(Оффтоп)

В вузах? Фигурные скобки для записи векторов? Дайте мне это развидеть.

[Qazed]

Спасибо, ещё вопрос:
При решении уравнения
$\dfrac{|\sin x |}{\sin x} = 1 - \cos 2x$
Получаю следующий «кусочек»:
$\begin{cases} x \in (-\infty;0) \\ 2 \sin^2 x = -1 \end{cases}$
Как сделать логический переход к $x \in \varnothing$? Или как написать в кванторах, что решений нет?

-- 10.09.2014, 19:14 --

Может $x \in C$, в значении «нет действительных решений»?

[Dan B-Yallay]

Qazed в сообщении #906312 писал(а):

Или как написать в кванторах, что решений нет?

$$\forall x\in \mathbb R: \quad \dfrac{|\sin x |}{\sin x} \ne 1 - \cos 2x$$

[Qazed]

Идея понятна, спасибо

[Dan B-Yallay]

Qazed в сообщении #906312 писал(а):

Может $x \in C$, в значении «нет действительных решений»?

Действительные числа являются подмножеством комплексных. В свете этого факта, ваше предложение подобно:

Мопед $\in$ средство передвижения, в значении "не автомобиль."

[Munin]

Комплексные числа, не являющиеся при этом одновременно действительными числами, можно записать при помощи вычитания множеств: $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}.$