2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение04.10.2014, 13:10 
Аватара пользователя
А сами-то как думаете?
Пренексную нормальную форму для высказываний (предикатов без свободных переменных) видели?
Qazed в сообщении #915043 писал(а):
$x = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n \wedge \forall n \in \mathbb Z$
:mrgreen: сами придумали?

Qazed в сообщении #915043 писал(а):
Ответ: $\forall n \in \mathbb Z : x = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n$
Это неверно. Почему?

Qazed в сообщении #915043 писал(а):
Ответ: $x \in \{ x \in \mathbb R : x = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n \wedge \forall n \in \mathbb Z \}$
Это просто некорректно. Почему?

 
 
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение04.10.2014, 17:55 
Не знаю, как где принято писать после слова «ответ», но понятны будут два представления:
• Какое-то «простое» описание множества решений. Но если переменных несколько, надо сначала указать их порядок в решении.
• Какая-нибудь «попроще» из эквивалентных уравнению формул.

Смысла писать «$x\in\{\ldots\}$» не видно, потому что раз уж это формула, можно обойтись без всех этих скобок, или же не писать «$x\in{}$», т. к. икс — это и так единственная переменная, и и так ясно.

Теперь trivia: формула, эквивалентная уравнению, имеет свободными переменными только те, которые есть у самого уравнения, так что если в решении появляются какие-то параметры, все их вхождения в формулу должны быть связаны, и потому кванторы, связывающие параметры, должны стоять все слева. Это отметает варианты вида $\cdots\wedge\mathsf Qn\cdots$. Ну и насчёт выбора квантора Deggial написал.

И
Qazed в сообщении #915043 писал(а):
Ответ: $x = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n, n \in \mathbb Z$
Это вполне признанное, понимаемое людьми сокращение.

 
 
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 05:06 
Аватара пользователя
Deggial в сообщении #915048 писал(а):
Пренексную нормальную форму для высказываний (предикатов без свободных переменных) видели?
Qazed в сообщении #915043 писал(а):
$x = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n \wedge \forall n \in \mathbb Z$
:mrgreen: сами придумали?

Не видел. Цитирую Будака и Щедрина (Элементарная математика):
$\sin x = a \iff x = (-1)^k \arcsin a + \pi k \quad \forall k \in Z \qquad (\forall a \in \mathbb R, |a| \leqslant 1)$.
Придумал сам или нет --- решайте сами. Меня мягко говоря смущает отсутствие «знаков препинания» в формулах из того пособия. Я понимаю, что если предворительно оговорить «стандарт» записи, то тебя де-факто все понимают.
arseniiv в сообщении #915097 писал(а):
Это вполне признанное, понимаемое людьми сокращение.

Меня интересует именно правильность, а не понимаемость.

 
 
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 06:52 
Qazed в сообщении #916813 писал(а):
Цитирую Будака и Щедрина (Элементарная математика):
$\sin x = a \iff x = (-1)^k \arcsin a + \pi k \quad \forall k \in Z $

И очень плохо -- товарищи просто не в курсе, что такое кванторы. Если говорить формально, то здесь квантор тупо перепутан. Если же по существу, то в приличном обществе в таких местах кванторы ставить вообще не принято.

 
 
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 10:27 
ewert в сообщении #916823 писал(а):
Если же по существу, то в приличном обществе в таких местах кванторы ставить вообще не принято.

Что, люди, сокращающие в записях "для любого" до "$\forall$", уже в приличное общество не допускаются? Тогда иду сдавать свой пропуск.

 
 
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 11:52 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #916823 писал(а):
Qazed в сообщении #916813 писал(а):
Цитирую Будака и Щедрина (Элементарная математика):
$\sin x = a \iff x = (-1)^k \arcsin a + \pi k \quad \forall k \in Z $

И очень плохо -- товарищи просто не в курсе, что такое кванторы. Если говорить формально, то здесь квантор тупо перепутан. Если же по существу, то в приличном обществе в таких местах кванторы ставить вообще не принято.
Joker_vD в сообщении #916852 писал(а):
Что, люди, сокращающие в записях "для любого" до "$\forall$", уже в приличное общество не допускаются? Тогда иду сдавать свой пропуск.
А здесь нет "для любого". Приведённая в цитате формула подразумевает $x\in\{(-1)^k\arcsin a+\pi k:k\in\matbb Z\}$, и читается не "для любого $k$", а "для $k$, удовлетворяющих условию".

 
 
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 12:43 
Аватара пользователя
$\sin x = a\ \Leftrightarrow\ x\in\left\{t\in\mathbb{R}\mid\exists k\in\mathbb{Z}\left(t=(-1)^k \arcsin a + \pi k \right)\right\}$

 
 
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 13:04 
Аватара пользователя
gefest_md, можно и так. Но так обычно не пишут, потому что длиннее. Обычно пишут $\{x:\Phi(x)\}$, где $\Phi(x)$ — формула со свободной переменной $x$.

 
 
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 13:21 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #916894 писал(а):
Обычно пишут $\{x:\Phi(x)\}$, где $\Phi(x)$ — формула со свободной переменной $x$.

$x$ - это переменная, пробегающая множество что ли? Так $t$ такая.

 
 
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 19:11 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #916874 писал(а):
читается не "для любого $k$", а "для $k$, удовлетворяющих условию".

"Для любого целого $k$" - распространённое сокращение в кванторной записи:
$$\mathsf{Q}\,a\in\mathbb{S}\,\,\ldots\quad\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}\quad\mathsf{Q}\,a\,\,(a\in\mathbb{S}\wedge\ldots).$$

 
 
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 21:54 
Тут не так всё просто, кстати.$$\forall x\in A\;(\phi)\equiv\forall x\;(x\in A\to\phi)$$$$\exists x\in A\;(\phi)\equiv\exists x\;(x\in A\wedge\phi)$$

 
 
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение09.10.2014, 22:12 
Аватара пользователя
Точно.

 
 
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение28.10.2014, 21:58 
Аватара пользователя
Спасибо всем за ответы, в продолжение темы: Практикуюсь в записи некоторых утверждений, прошу Вас прокомментировать.

Докажите, что если $a \vdots c$ или $b \vdots c$, то $(a \cdot b) \vdots c$


Утверждение: Докажите, что $(a \vdots c \vee b \vdots c) \iff (a \cdot b) \vdots c$
Док-во: $\sqsupset a \vdots c \Rightarrow \exists p \in \mathbb Z : a \cdot b = (p \cdot c) \cdot b = (p \cdot b) \cdot c \Rightarrow \\ \Rightarrow \exists (p \cdot b) \in \mathbb Z : a \cdot b = (p \cdot b) \cdot c : \Leftrightarrow (a \cdot b) \vdots c, \\ \sqsupset b \vdots c : \Leftrightarrow ... \text{ (аналогично)}$

 
 
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение28.10.2014, 22:04 
Аватара пользователя
Начнём с того, что стрелка сразу неправильная. Нужно ведь доказать достаточность, а не эквивалентность.

 
 
 
 Re: Язык кванторов
Сообщение28.10.2014, 22:08 
Аватара пользователя
Aritaborian в сообщении #923912 писал(а):
Начнём с того, что стрелка сразу неправильная. Нужно ведь доказать достаточность, а не эквивалентность.

Я Вас понял, спасибо.
$(a \vdots c \vee b \vdots c) \Rightarrow (a \cdot b) \vdots c$

 
 
 [ Сообщений: 64 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group