Давеча, в двумерии, при наложении условия цикличности у нас получилась несимметричная метрика вида
![$$a = \left( {\begin{array}{*{20}c} g_{11} & g_{12} \\ g_{12} & g_{22} \\ \end{array} } \right) +\sqrt g f\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 \\ { - 1} & 0 \\ \end{array} } \right). $$ $$a = \left( {\begin{array}{*{20}c} g_{11} & g_{12} \\ g_{12} & g_{22} \\ \end{array} } \right) +\sqrt g f\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 \\ { - 1} & 0 \\ \end{array} } \right). $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/3/8334312e0dc0aec5018210b5431c828b82.png)
Так вот, оказывается, что к похожей форме можно подобраться совсем с другого боку...
Пусть
![$a_{\mu \nu } $ $a_{\mu \nu } $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/4/2a48650322dd8d850b0fa92532f902ee82.png)
ковариантно постоянна:
![$$a_{\mu \nu ,\alpha } = \Gamma _{\mu \alpha }^\beta a_{\beta \nu } + \Gamma _{\nu \alpha }^\beta a_{\mu \beta }\eqno (1)$$ $$a_{\mu \nu ,\alpha } = \Gamma _{\mu \alpha }^\beta a_{\beta \nu } + \Gamma _{\nu \alpha }^\beta a_{\mu \beta }\eqno (1)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/8/3b8313b83cbbe02f8cbd2360dda07c7182.png)
Введём обозначения
![$$\begin{gathered} A_{\alpha \mu \nu } \equiv g_{\alpha \beta } \Gamma _{\mu \nu }^\beta \hfill \\ B_{\alpha \mu \nu } \equiv f_{\alpha \beta } \Gamma _{\mu \nu }^\beta \hfill \\ \end{gathered} $$ $$\begin{gathered} A_{\alpha \mu \nu } \equiv g_{\alpha \beta } \Gamma _{\mu \nu }^\beta \hfill \\ B_{\alpha \mu \nu } \equiv f_{\alpha \beta } \Gamma _{\mu \nu }^\beta \hfill \\ \end{gathered} $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/4/444194dc94b7bcbe3c30d8f510de1f5182.png)
Тогда, отделяя в
![$(1)$ $(1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/4/d343a5beaabde2410ecf9f826344ed8382.png)
симметричную и антисимметричную части, получим
![$$\begin{gathered} g_{\mu \nu ,\alpha } = A_{\mu \nu \alpha } + A_{\nu \mu \alpha } \hfill \\ f_{\mu \nu ,\alpha } = B_{\mu \nu \alpha } - B_{\nu \mu \alpha } \hfill \\ \end{gathered} \eqno (2)$$ $$\begin{gathered} g_{\mu \nu ,\alpha } = A_{\mu \nu \alpha } + A_{\nu \mu \alpha } \hfill \\ f_{\mu \nu ,\alpha } = B_{\mu \nu \alpha } - B_{\nu \mu \alpha } \hfill \\ \end{gathered} \eqno (2)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/4/8a414b9a6b9940c50fc7a6fbeb80389282.png)
Определим для произвольного
![$a_{\mu \nu } $ $a_{\mu \nu } $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/4/2a48650322dd8d850b0fa92532f902ee82.png)
трёхиндексный символ
![$$a_{\alpha \mu \nu } \equiv \frac{1}{2}\left( {a_{\alpha \mu ,\nu } - a_{\mu \nu ,\alpha } + a_{\nu \alpha ,\mu } } \right)$$ $$a_{\alpha \mu \nu } \equiv \frac{1}{2}\left( {a_{\alpha \mu ,\nu } - a_{\mu \nu ,\alpha } + a_{\nu \alpha ,\mu } } \right)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/f/9bfa1c46047f579305b2bc134e5284a782.png)
Тогда уравнения
![$(2)$ $(2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/e/a9ef45be1cd9cd2165b8ebbb2a77917882.png)
можно переписать в следующем эквивалентном виде
![$$\begin{gathered} A_{\alpha \left( {\mu \nu } \right)} = A_{\mu \left[ {\nu \alpha } \right]} + A_{\nu \left[ {\mu \alpha } \right]} + g_{\alpha \mu \nu } \hfill \\ B_{\alpha \left[ {\mu \nu } \right]} = B_{\mu \left( {\nu \alpha } \right)} - B_{\nu \left( {\mu \alpha } \right)} + f_{\alpha \mu \nu } \hfill \\ \end{gathered} \eqno (3)$$ $$\begin{gathered} A_{\alpha \left( {\mu \nu } \right)} = A_{\mu \left[ {\nu \alpha } \right]} + A_{\nu \left[ {\mu \alpha } \right]} + g_{\alpha \mu \nu } \hfill \\ B_{\alpha \left[ {\mu \nu } \right]} = B_{\mu \left( {\nu \alpha } \right)} - B_{\nu \left( {\mu \alpha } \right)} + f_{\alpha \mu \nu } \hfill \\ \end{gathered} \eqno (3)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/1/a0139a9ad9282a557a693da2d8f0a08c82.png)
Выше было показано, что в размерности два наиболее интересным является случай
![$$g \ne 0, \quad f \ne 0 \eqno (4)$$ $$g \ne 0, \quad f \ne 0 \eqno (4)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/2/d321ffda7cc9bfb75d3b342827156a0b82.png)
Примем
![$(4)$ $(4)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/e/c2e27d5dc3a5c37211768bd7e35bb67e82.png)
в произвольной размерности. Тогда
![$$\Gamma _{\mu \nu }^\alpha = g^{\alpha \beta } A_{\beta \mu \nu } = f^{\alpha \beta } B_{\beta \mu \nu } \eqno (5)$$ $$\Gamma _{\mu \nu }^\alpha = g^{\alpha \beta } A_{\beta \mu \nu } = f^{\alpha \beta } B_{\beta \mu \nu } \eqno (5)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/d/54d02ce792ecddf82a10c569ff0bd65c82.png)
где
![$g^{\mu \alpha } g_{\alpha \nu } = f^{\mu \alpha } f_{\alpha \nu } = \delta _\nu ^\mu $ $g^{\mu \alpha } g_{\alpha \nu } = f^{\mu \alpha } f_{\alpha \nu } = \delta _\nu ^\mu $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/1/9619f91752941caf0a0b33042a2afde482.png)
. Отсюда получаем соотношение
![$$B_{\alpha \mu \nu } = F_\alpha ^\beta A_{\beta \mu \nu } \eqno (6)$$ $$B_{\alpha \mu \nu } = F_\alpha ^\beta A_{\beta \mu \nu } \eqno (6)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/4/3c49a4447e30ea22e71f00cea4863fa982.png)
где
![$F_\alpha ^\beta \equiv f_{\alpha \sigma } g^{\sigma \beta } $ $F_\alpha ^\beta \equiv f_{\alpha \sigma } g^{\sigma \beta } $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e25b86869c6a429a49b85554705635ce82.png)
. Далее, подставляя
![$(6)$ $(6)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/5/d557f43c2185767d51b0976001c23c8382.png)
в
![$(3)$ $(3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/3/cf330257519e06f13c2ecab5e25c6d2a82.png)
и вводя ещё одно сокращение
![$$\phi _{\dot \alpha } \equiv F_\alpha ^\beta \phi _\beta $$ $$\phi _{\dot \alpha } \equiv F_\alpha ^\beta \phi _\beta $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/8/118183646226f6e1c6cc6d59585104f482.png)
получаем
![$$A_{\dot \sigma \mu \nu } + A_{\sigma \dot \mu \nu } + A_{\sigma \mu \dot \nu } + A_{\nu \dot \mu \sigma } - A_{\mu \dot \nu \sigma } = C_{\sigma \mu \nu } \eqno (7)$$ $$A_{\dot \sigma \mu \nu } + A_{\sigma \dot \mu \nu } + A_{\sigma \mu \dot \nu } + A_{\nu \dot \mu \sigma } - A_{\mu \dot \nu \sigma } = C_{\sigma \mu \nu } \eqno (7)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/9/bd94fe4b1fff632d0878ab3c44cc08ae82.png)
где
![$$C_{\sigma \mu \nu } \equiv f_{\sigma \mu \nu } + g_{\dot \mu \nu \sigma } - g_{\dot \nu \mu \sigma } = - C_{\sigma \nu \mu } $$ $$C_{\sigma \mu \nu } \equiv f_{\sigma \mu \nu } + g_{\dot \mu \nu \sigma } - g_{\dot \nu \mu \sigma } = - C_{\sigma \nu \mu } $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/d/24dfe3842b62cd0bcfb517d61ed0021982.png)
Вернёмся к размерности два. В этом случае
![$C_{\sigma \mu \nu } $ $C_{\sigma \mu \nu } $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/c/4ec7cf09d3278a1a2f3bac2a89ecbe0782.png)
оказывается пропорционально
![$F_\alpha ^\alpha $ $F_\alpha ^\alpha $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/b/9bba295bc3c23821297eb526ae7b4eb082.png)
, то есть
![$C_{\sigma \mu \nu } = 0$ $C_{\sigma \mu \nu } = 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/f/77f84ce3013c97ce0e656860ed069df982.png)
. Что, после некоторой возни, даёт
![$$f_{12} = \operatorname{const} \sqrt g $$ $$f_{12} = \operatorname{const} \sqrt g $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/210bbed4b269c173d55c9deabf00f7a882.png)
При этом
![$A_{\sigma \left[ {\mu \nu } \right]} $ $A_{\sigma \left[ {\mu \nu } \right]} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/4/2d4ec06265c4ddfabb6c5171507102ac82.png)
может быть каким угодно.
Всё это наводит на мысль, что в гораздо более громоздком случае высоких размерностей имеет смысл попытаться сперва отыскать общий вид ковариантно постоянной
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
, а потом уже налагать условие цикличности.