Попытка осмысления несимметричной метрики Эйнштейна

[Prikol]

lek в сообщении #898038 писал(а):

Prikol в сообщении #898006 писал(а):

Будет ли антисимметричная часть метрического тензора представлять электромагнетизм, темную материю или что-нибудь еще круче?

Почему нет? Несимметричная метрика естественно возникает в многомерных теориях типа Калуцы-Клейна (см., например, обзор Арефьевой и Воловича). Так, бозонный сектор 11-мерной супергравитации можно рассматривать как чистую гравитацию с кручением, которое отождествляется с 3-формой калибровочного потенциала - многомерным аналогом 4-потенциала электродинамики. (Подробности в статье I.Bars and A.Higuchi, Phys.Lett. B145 (1984) 329 - сканированный вариант здесь). Исследования в этом направлении ведутся, проблема в эксперементальном доказательстве существования суперсимметрии.

Хорошее замечание!

Вообще-то теории с более высокой, чем (3+1) размерностью, такие как К-К (4+1) или струны давно и успешно используются для включения электромагнетизма в метрику. Но автор темы вроде бы пока ничего не говорил об увеличении размерности выше, чем (3+1). Если он и далее не будет повышать размерность, а попытается лишь реализовать несимметричную часть метрики, то у него есть все шансы повторить значительно в менее общем виде, хотя и гораздо позже путь известного ученого, который сделал все это лет 30 назад и даже защитил на этом диссертацию под руководством Хойла и Салама. Не хочу пока говорить больше, чтобы не испортить ему удовольствие от процесса.

[Утундрий]

С повышением размерности никаких проблем нет так как симметричная часть метрики, как уже было сказано, может быть сколь угодно сильно вырождена. Хоть стопиццотмерие бери. Правда, это технически неудобно. Это только в 2D всё так просто. Уже в размерности три такой базис Грёбнера вылезает, что без пол литры не разберёшься. А про 4 я пока даже не думаю, не говоря уж о 5.

[Prikol]

Утундрий в сообщении #899079 писал(а):

С повышением размерности никаких проблем нет ...

Специалисты по струнам и пространству Калаби-Яу нервно курят в сторонке и желают вам дальнейших успехов.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #898334 писал(а):

для случая слегка "антисимметризованного по времени" минковского:

Мы наверное выйдем за пределы темы, но интересно, какими свойствами обладает пространство-время с метрикой такого несимметричного Минковского.?

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #899644 писал(а):

Мы наверное выйдем за пределы темы, но интересно, какими свойствами обладает пространство-время с метрикой такого несимметричного Минковского.?

Геометрия на столько "необычная", что не известны свойства свойств .

. . .

Подумалось, а что если антисимметричная часть $f_{\mu \nu}(x)$ будет отлична от нуля лишь в некоторой конечной области, а во всём остальном пространстве геометрия будет обычная Риманова (ну или псевдо Риманова). Соответственно, оператор дезориентации $[\nabla^{p}]^{\mu}_{\nu}(x)$ будет отличен от единичного $\delta^{\mu}_{\nu}$ тоже только внутри этой области. Например, в пространстве Минковского сидит такая вот сферически антисимметричная дезориенташка диаметром один сантиметр, как её "пощупать"?..

[Утундрий]

Давеча, в двумерии, при наложении условия цикличности у нас получилась несимметричная метрика вида

$$a = \left( {\begin{array}{*{20}c} g_{11} & g_{12} \\ g_{12} & g_{22} \\ \end{array} } \right) +\sqrt g f\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 \\ { - 1} & 0 \\ \end{array} } \right). $$

Так вот, оказывается, что к похожей форме можно подобраться совсем с другого боку...

Пусть $a_{\mu \nu } $ ковариантно постоянна:

$$a_{\mu \nu ,\alpha } = \Gamma _{\mu \alpha }^\beta a_{\beta \nu } + \Gamma _{\nu \alpha }^\beta a_{\mu \beta }\eqno (1)$$

Введём обозначения

$$\begin{gathered} A_{\alpha \mu \nu } \equiv g_{\alpha \beta } \Gamma _{\mu \nu }^\beta \hfill \\ B_{\alpha \mu \nu } \equiv f_{\alpha \beta } \Gamma _{\mu \nu }^\beta \hfill \\ \end{gathered} $$

Тогда, отделяя в $(1)$ симметричную и антисимметричную части, получим

$$\begin{gathered} g_{\mu \nu ,\alpha } = A_{\mu \nu \alpha } + A_{\nu \mu \alpha } \hfill \\ f_{\mu \nu ,\alpha } = B_{\mu \nu \alpha } - B_{\nu \mu \alpha } \hfill \\ \end{gathered} \eqno (2)$$

Определим для произвольного $a_{\mu \nu } $ трёхиндексный символ

$$a_{\alpha \mu \nu } \equiv \frac{1}{2}\left( {a_{\alpha \mu ,\nu } - a_{\mu \nu ,\alpha } + a_{\nu \alpha ,\mu } } \right)$$

Тогда уравнения $(2)$ можно переписать в следующем эквивалентном виде

$$\begin{gathered} A_{\alpha \left( {\mu \nu } \right)} = A_{\mu \left[ {\nu \alpha } \right]} + A_{\nu \left[ {\mu \alpha } \right]} + g_{\alpha \mu \nu } \hfill \\ B_{\alpha \left[ {\mu \nu } \right]} = B_{\mu \left( {\nu \alpha } \right)} - B_{\nu \left( {\mu \alpha } \right)} + f_{\alpha \mu \nu } \hfill \\ \end{gathered} \eqno (3)$$

Выше было показано, что в размерности два наиболее интересным является случай

$$g \ne 0, \quad f \ne 0 \eqno (4)$$

Примем $(4)$ в произвольной размерности. Тогда

$$\Gamma _{\mu \nu }^\alpha = g^{\alpha \beta } A_{\beta \mu \nu } = f^{\alpha \beta } B_{\beta \mu \nu } \eqno (5)$$

где $g^{\mu \alpha } g_{\alpha \nu } = f^{\mu \alpha } f_{\alpha \nu } = \delta _\nu ^\mu $. Отсюда получаем соотношение

$$B_{\alpha \mu \nu } = F_\alpha ^\beta A_{\beta \mu \nu } \eqno (6)$$

где $F_\alpha ^\beta \equiv f_{\alpha \sigma } g^{\sigma \beta } $. Далее, подставляя $(6)$ в $(3)$ и вводя ещё одно сокращение

$$\phi _{\dot \alpha } \equiv F_\alpha ^\beta \phi _\beta $$

получаем

$$A_{\dot \sigma \mu \nu } + A_{\sigma \dot \mu \nu } + A_{\sigma \mu \dot \nu } + A_{\nu \dot \mu \sigma } - A_{\mu \dot \nu \sigma } = C_{\sigma \mu \nu } \eqno (7)$$

где

$$C_{\sigma \mu \nu } \equiv f_{\sigma \mu \nu } + g_{\dot \mu \nu \sigma } - g_{\dot \nu \mu \sigma } = - C_{\sigma \nu \mu } $$

Вернёмся к размерности два. В этом случае $C_{\sigma \mu \nu } $ оказывается пропорционально $F_\alpha ^\alpha $, то есть $C_{\sigma \mu \nu } = 0$. Что, после некоторой возни, даёт

$$f_{12} = \operatorname{const} \sqrt g $$

При этом $A_{\sigma \left[ {\mu \nu } \right]} $ может быть каким угодно.

Всё это наводит на мысль, что в гораздо более громоздком случае высоких размерностей имеет смысл попытаться сперва отыскать общий вид ковариантно постоянной $a$, а потом уже налагать условие цикличности.

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #900446 писал(а):

$$f_{12} = \operatorname{const} \sqrt g $$

То есть в двумерии ковариантно постоянную антисимметричность нельзя локально включить/выключить. Если она есть $\operatorname{const} \ne 0$, то она есть сразу везде и навсегда.

[Утундрий]

Получается да. Что, впрочем, вряд ли переносится по размерности.

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #900446 писал(а):

$f \ne 0$

Это можно выбросить...

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #900664 писал(а):

вряд ли переносится по размерности.

Был не прав. В $d=3$ та же фигня!

P.S. Почти поборол, пару дней и выскажусь.

[Утундрий]

Похоже, во всех размерностях "квадрат" дуального к антисимметричной добавке тензора постоянен. Причём для $d=2$ и $d=3$ получаются в точности одинаковые полиномы. Всё страньше и страньше...

[Утундрий]

Всё, заборол. Даже получил явную формулу решения "уравнений чёртовой бабушки". Правда всего лишь в $d=3$. Вкратце: три компоненты кручения остаются свободными, не зажатыми метрикой, остальные шесть - выражаются. Подробности позже. СилОв на набор формУл не осталось.

[Утундрий]

После длительных размышлений, я пришёл к выводу, что имеет смысл сперва объединить абсолютный параллелизм с кручением и только после этого вводить ковариантно постоянную антисимметричную часть метрики. Получаются забавные следствия.

[Утундрий]

ПРОСТРАНСТВА С АБСОЛЮТНЫМ ПАРАЛЛЕЛИЗМОМ, КРУЧЕНИЕМ И НЕСИММЕТРИЧНОЙ МЕТРИКОЙ.
<Потом>
§1. Пространство аффинной связности. Кривизна и геодезические. Первый постулат.
<Черновик.>
§2. Добавляем симметричную метрику. Второй постулат и уточнение структуры.
<Черновик.>
§3. Дискриминантный псевдотензор. Разложение произведений.
<Черновик.>
§4. Двумерие. Упрощение основных формул и один новый вектор.
<Черновик.>
§5. Вариационный принцип для геодезических, который почти работает.
<В уме.>
§6. Трёхмерие. Новый симметричный псевдотензор.
<В уме.>
§7. Добавляем кососимметрическую часть метрики. Уточнение второго постулата.
<В уме.>
§8. Постоянство свёрток в общем и частных случаях.
<В уме.>
§9. Решение уравнений "чёртовой бабушки" в двумерии и трёхмерии.
<В уме.>
§10. Оператор отождествления и третий постулат.
<В уме.>
§11. Допустимые формы циклического оператора и спектр констант.
<В уме.>
§12. А что в четырёхмерии?
<В тумане.>

P.S. Трактатъ-планъ.