Давеча, в двумерии, при наложении условия цикличности у нас получилась несимметричная метрика вида

Так вот, оказывается, что к похожей форме можно подобраться совсем с другого боку...
Пусть

ковариантно постоянна:

Введём обозначения

Тогда, отделяя в

симметричную и антисимметричную части, получим

Определим для произвольного

трёхиндексный символ

Тогда уравнения

можно переписать в следующем эквивалентном виде
![$$\begin{gathered} A_{\alpha \left( {\mu \nu } \right)} = A_{\mu \left[ {\nu \alpha } \right]} + A_{\nu \left[ {\mu \alpha } \right]} + g_{\alpha \mu \nu } \hfill \\ B_{\alpha \left[ {\mu \nu } \right]} = B_{\mu \left( {\nu \alpha } \right)} - B_{\nu \left( {\mu \alpha } \right)} + f_{\alpha \mu \nu } \hfill \\ \end{gathered} \eqno (3)$$ $$\begin{gathered} A_{\alpha \left( {\mu \nu } \right)} = A_{\mu \left[ {\nu \alpha } \right]} + A_{\nu \left[ {\mu \alpha } \right]} + g_{\alpha \mu \nu } \hfill \\ B_{\alpha \left[ {\mu \nu } \right]} = B_{\mu \left( {\nu \alpha } \right)} - B_{\nu \left( {\mu \alpha } \right)} + f_{\alpha \mu \nu } \hfill \\ \end{gathered} \eqno (3)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/1/a0139a9ad9282a557a693da2d8f0a08c82.png)
Выше было показано, что в размерности два наиболее интересным является случай

Примем

в произвольной размерности. Тогда

где

. Отсюда получаем соотношение

где

. Далее, подставляя

в

и вводя ещё одно сокращение

получаем

где

Вернёмся к размерности два. В этом случае

оказывается пропорционально

, то есть

. Что, после некоторой возни, даёт

При этом
![$A_{\sigma \left[ {\mu \nu } \right]} $ $A_{\sigma \left[ {\mu \nu } \right]} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/4/2d4ec06265c4ddfabb6c5171507102ac82.png)
может быть каким угодно.
Всё это наводит на мысль, что в гораздо более громоздком случае высоких размерностей имеет смысл попытаться сперва отыскать общий вид ковариантно постоянной

, а потом уже налагать условие цикличности.