Магические квадраты

[svb]

Nataly-Mak, лучше бы рассказали, как тут вставлять картинки. На ЕН можно загружать картинки, а здесь я этого не нашел. Нужно давать ссылку на изображение. Изображение нужно сбрасывать на какой-то посторонний сайт. Я сбросил картинку на Яндекс Диск, но там ссылка без расширения, поэтому не получилось использовать [Img].

[Lia]

svb
Картинка сгружается на любой хостинг картинок. Единственное ограничение для размещения здесь - не более 800px в ширину. Поэтому, если Ваша картинка слишком велика, либо сожмите ее предварительно, либо здесь размещайте ссылки на превью, которые такие хостинги обычно предлагают.

Размещаемая картинка должна иметь расширение jpg или аналогичные, ссылка заключается в теги IMG.

[svb]

Lia в сообщении #898594 писал(а):

Единственное ограничение для размещения здесь - не более 800px в ширину.

Да у меня картинка 668x331px, но нет расширения jpg, поэтому пришлось использовать [URL]. Использовать хостинги картинок с точки зрения безопасности хуже Яндекс Диска.

[Lia]

svb
Пожалуйста, обсудите это в разделе "Работа форума". Во-первых, здесь это оффтоп, во-вторых, я лишь разъясняю текущее положение вещей.

[Yadryara]

Вот эта картинка:

[Nataly-Mak]

Dmitriy40 в сообщении #898557 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #898555 писал(а):

А если не найдётся ни одного такого решения, чтобы красного 151 не было, ну... понимаете?

Понимаю. И ещё раз повторяю - не найдётся. Потому что вне зависимости от красного 151 решения при данных числах в белых клетках НЕТ! Можете на место красного 151 писать что угодно - от этого варианта заполнения синих клеток не появится! Синие клетки правильно заполнить УЖЕ невозможно, что бы там ни было на месте красного 151.

Dmitriy40
решение, в котором на месте красного элемента 151 (неправильного) стоит правильный элемент, нашлось:

137  59  193  179  11  211  7 
79  19  71  223  0  0  73 
157  173  149  101  23  67  127 
109  103  167  29  0  0  113 
131  107  37  61  233  47  181 
0  197  0  163  227  31  97 
0  139  0  41  53  83  199 

Это первое такое решение найдено программой, в котором 8 "дырок", остальные 41 элементов все правильные.
Вот они - эти 41 элементов:

7  11  19  23  29  31  37  41  47  53  59  61  67  71  73  79  83  97  101  103  107  109  113  127  131  137  139  149  157  163  167  173  179  181  193  197  199  211  223  227  233

На этом предпоследний этап завершён.

Теперь о тех элементах, которые в "дырках". Сейчас вы видите на месте этих элементов нули. Программа эти элементы ещё вообще не вычисляла, они могут быть равны чему угодно, могут быть отрицательными, или не простыми числами, или простыми, но повторяющимися, или больше последнего числа массива 239. Всё это одинаково плохо.
Однако, замечу, что один из оставшихся 8 элементов свободный, то есть он будет задаваться из оставшихся не использованных чисел массива и потому заведомо будет правильным. Остальные 7 элементов зависимые, они вычисляются. И вот тут возможны всякие неприятности.

Я не утверждаю, что оставшиеся 8 элементов в показанном решении можно сложить правильно, а просто утверждаю, что решение с 8 "дырками" существует, оно найдено программой, и оно перед вами.
И такое решение не единственное, их много. Какое-то из них, вполне возможно, даст полное правильное решение.

[Nataly-Mak]

Вычислила в полученном решении с 8 "дырками" 8 элементов вручную, применила показанное выше преобразование "плюс-минус" и получила решение с 6 "дырками":

137 59 193 179 11 211 7
79 19 71 223 0 239 73
157 173 149 101 23 67 127
109 103 167 29 0 0 113
131 107 37 61 233 47 181
0 197 0 163 227 31 97
0 139 17 41 53 83 199
S=797

43 готовых (правильных) элемента имеем.
Какие элементы находятся в "дырках", вычислить очень просто. Но покажу их, на всякий случай:

137 59 193 179 11 211 7
79 19 71 223 93* 239 73
157 173 149 101 23 67 127
109 103 167 29 157* 119* 113
131 107 37 61 233 47 181
-81* 197 163* 163 227 31 97
265* 139 17 41 53 83 199
S=797

Элементы в "дырках" помечены звёздочкой.
Элементы 157 и 163 являются простыми числами, но они повторяются. Остальные 4 элемента не простые числа.

Итак, найдено уже решение с 6 "дырками", но это не по программе, а с помощью преобразования.
Можно двигаться дальше.

-- Сб авг 23, 2014 09:59:20 --

Попробую формализовать показанное выше преобразование "плюс-минус".
Пусть исходный магический пандиагональный квадрат 7-го порядка A имеет вид:

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15}& a_{16} & a_{17} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25}& a_{26} & a_{27} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35}& a_{36} & a_{37} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45}& a_{46} & a_{47} \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55}& a_{56} & a_{57} \\ a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} & a_{65}& a_{66} & a_{67} \\ a_{71} & a_{72} & a_{73} & a_{74} & a_{75}& a_{76} & a_{77} \\ \end{bmatrix} $$

Это нулевой магический пандиагональный квадрат 7-го порядка, то есть его магическая константа равна 0, обозначим этот квадрат В:

$$\begin{bmatrix} 0& 0& 0 & 0& 0 & 0 & 0\\ 0& 0& 0 & 0 &-z & +z& 0\\ 0& 0& 0 & 0 & 0 &0 & 0\\ 0& 0& 0 & 0& +z& -z & 0\\ 0& 0& 0 & 0& 0& 0 & 0\\ +z& 0& -z & 0& 0& 0 & 0\\ -z& 0& +z & 0& 0& 0 & 0\\ \end{bmatrix} $$

$z$ считаем любым целым числом (так как мы не составляем магические квадраты из рациональных и других чисел).
Тогда преобразованный магический пандиагональный квадрат С получается поэлементным суммированием двух данных квадратов, то есть:

$C=A+B$

Надеюсь, что преобразование стало понятнее.

-- Сб авг 23, 2014 10:07:07 --

Как тут не вспомнить, что dmd этим методом строил магические кубы 4-го порядка.

dmd в сообщении #856598 писал(а):

Нашёл такой магический куб 4-го порядка с константой 4444

(4444)

3169 157 79 1039
463 277 1483 2221
769 1723 1429 523
43 2287 1453 661

601 937 1297 1609
1879 151 331 2083
337 1867 1699 541
1627 1489 1117 211

607 1801 787 1249
409 2017 1987 31
3331 397 103 613
97 229 1567 2551

67 1549 2281 547
1693 1999 643 109
7 457 1213 2767
2677 439 307 1021

Думаю, ничего страшного, что я его привёл пока идёт конкурс, т.к. его константа далеко не оптимальная.

Метод поиска у меня пока такой. Беру насквозь дырявый куб, состоящий целиком из дырок.

(Например)

1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111

1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111

1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111

1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111

и в цикле складываю его со всеми возможными вариантами базисных нулевых кубиков, содержащих четыре 1 и четыре -1.

(Например)

1 0 -1 0
0 0 0 0
-1 0 1 0
0 0 0 0

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

-1 0 1 0
0 0 0 0
1 0 -1 0
0 0 0 0

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

пытаясь уменьшить количество дырок.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #898626 писал(а):

137  59  193  179  11  211  7 
79  19  71  223  0  0  73 
157  173  149  101  23  67  127 
109  103  167  29  0  0  113 
131  107  37  61  233  47  181 
0  197  0  163  227  31  97 
0  139  0  41  53  83  199 

Это первое такое решение найдено программой, в котором 8 "дырок", остальные 41 элементов все правильные.

И вот второе такое решение:



8 "дырок" это голубые клетки. Два элемента в голубых клетках найдены вручную (программа эти элементы не вычисляла).
В остальных 6 клетках неправильные элементы (не показываю; их легко вычислить, зная магическую константу квадрата $S=797$).

Таким образом, ещё одно решение с 6 "дырками".
А вариантов перебора в программе ещё столько, что мне их до конца жизни не перебрать

[Nataly-Mak]

Теперь пишу программку для преобразования "плюс-минус", которое показано выше.
Запускаю программку для последнего решения с 6 "дырками" (см. предыдущий пост) и... сразу получаю решение с 5 "дырками"



Ну вот, а дальше уже очень трудно, программа поиска решения крутится, но уже ничего не находит.
Далее можно попробовать искать решение с бОльшей магической константой. Найти минимальное решение всегда очень сложно (а магическая константа 797 - теоретический минимум).

В общем, пандиагональный квадрат 7-го порядка из последовательных простых чисел пока где-то очень далеко. Нет ни регулярного, ни не регулярного.

Впрочем, пандиагонального квадрата 5-го порядка из последовательных простых чисел тоже пока нет.
Но с порядком 5 проще: Россер доказал в своей замечательной статье, что все пандиагональные квадраты 5-го порядка регулярные, а значит, достаточно найти квадрат Стенли 5-го порядка из последовательных простых. Поиск квадрата Стенли намного проще поиска пандиагонального квадрата (порядка 5).

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #898558 писал(а):

Кстати, интересно, что там у maxal с квадратом 5-го порядка

Добрался до $4\cdot 10^{14}$.

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #899296 писал(а):

Добрался до $4\cdot 10^{14}$.

Ого! Поразительно! Даже не верится, что такой маленький квадратик... из такого огромного количества вариантов... и нет.
А самое близкое приближение к решению можете показать?

Я в поиске не регулярного пандиагонального квадрата 7-го порядка из последовательных простых нашла решение с 5 "дырками" (см. предыдущий пост)

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #899351 писал(а):

А самое близкое приближение к решению можете показать?

Я покажу не очень близкое приближение.

Беру наименьший квадрат Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел (автор Jens K Andersen):

136367186951:
0 30 56 86
72 102 128 158
120 150 176 206
186 216 242 272
S=550

Достраиваю по своей программе до квадрата Стенли 5-го порядка (сильно не задумывалась при достраивании - что с ходу получилось; программа давнишняя):

136367186951:
0  72  120  186  428 
30  102  150  216  458 
56  128  176  242  484* 
86  158  206  272  514* 
260*  332*  380*  446*  688* 
S= 1238

Решение с 7 "дырками" получается шутя (неправильные элементы помечены звёздочкой).
Не пробовала пока достроить другие квадраты Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел,
Jens K Andersen нашёл их несколько (см. http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_731.htm )

[Nataly-Mak]

Нет, это просто чёрт знает что такое, поистине дьявольские квадраты

Выполнила вручную (ну, конечно, квадраты Стенли 5-го порядка программка строила) десятки экспериментов. Ничего не могу понять: настолько всё непредсказуемо и необъяснимо! Никакой логики, никаких закономерностей!

Вот, например:
формирую нормализованный массив из 25 последовательных простых чисел:

Select[Range[0,438],PrimeQ[170693941183543+#]&]
{0, 4, 24, 30, 40, 88, 126, 144, 148, 214, 270, 274, 304, 316, 318, 346, 348, 360, 364, 390, 394, 406, 408, 436, 438}

Замечательный массив, сумма его чисел равна 6190, что кратно 5.

Ввожу массив в программу построения квадрата Стенли 5-го порядка, квадрат не составляется!
Это максимум, что удаётся составить:

170693941183543:
0  30  x  x  x 
4  x  x  x  x 
274  304  318  348  406 
316  346  360  390  x
364  394  408  438  x 
S=1238 

И так в каждом эксперименте.
Невозможно поверить, что из миллиардов наборов, проверенных
maxal, не нашлось ни одного, который сложился бы в квадрат Стенли

-- Вт авг 26, 2014 14:21:16 --

А вот здесь лучше сложилось!

Массив:

170693941183543+
126, 144, 148, 214, 270, 274, 304, 316, 318, 346, 348, 360, 364, 390, 394, 406, 408, 436, 438, 450, 480, 514, 528, 534, 540

Квадрат Стенли:

360  390  450  480  514 
274  304  364  394  x 
316  346  406  436  x 
318  348  408  438  x 
148  x    x   x   x
S=1810

Всего только 7 дырок. При этом ни один "плохой" элемент не вылез за пределы массива:

360  390  450  480  514 
274  304  364  394  428* 
316  346  406  436  470* 
318  348  408  438  472* 
148  178*  238*  268*  302* 
S= 1810

[Nataly-Mak]

Массив:

170693941183543+
346, 348, 360, 364, 390, 394, 406, 408, 436, 438, 450, 480, 514, 528, 534, 540, 544, 546, 550, 570, 604, 640, 654, 670, 676

Квадрат Стенли:

348  394  438  528  534 
360  406  450  540  546 
364  x  x  544  550 
390  436  480  570  x
514  x  604  x  x 
S=  2478

6 дырок!

[Nataly-Mak]

Покажу пример, ставший классикой.
Это наименьший пандиагональный квадрат 5-го порядка из не последовательных простых чисел. Автор решения Pavlovsky.



Сверху вы видите массив из 47 последовательных простых чисел. Из этого массива выбраны только 25 простых чисел для построения квадрата. Вот так массив "прорежен", почти в два раза уменьшено количество чисел. Массив из оставшихся 25 чисел тоже показан.
Далее показан квадрат Стенли, составленный из данных 25 чисел. И ниже - пандиагональный квадрат, полученный из квадрата Стенли с помощью преобразования Россера.
(более подробно в статье)

Что нам нужно теперь? Теперь нам нужно найти массив из 25 последовательных простых чисел и составить из чисел этого массива квадрат Стенли (или же пандиагональный квадрат). Вот только и всего! Однако задача никак не решается.