Анти-осциллятор

[Munin]

Целый день я отлынивал от того, чтобы прочитать ваше сообщение. Сейчас начал немного разбираться. Алгебру Ли $\mathfrak{sp}(2,\mathbb{R})$ записал в виде действительных матриц $\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}.$ Теперь пытаюсь понять вот это вот:

Red_Herring в сообщении #893387 писал(а):

алгебра Ли состоит из квадратичных полиномов 2х переменных $p,q$ со стандартной операцией $\{p,q\}=1$ и т.д.

Подгруппы, о которых вы говорите, увидел чисто геометрически. А что это за переменные, пока не увидел.

[Red_Herring]

Это просто классические координата и импульс. Можно говорить об алгебре полиномов 2 порядка $( (ap,p) + 2 (bp, q) + (cq,q))/2$ со скобкой Пуассона, а можно об алгебре матриц $\begin{pmatrix} b & a\\ -c & -b^T\end{pmatrix}$ с коммутированием. $a=a^T, b, c=c^T$ -- $n\times n$ вещественные матрицы.

[Munin]

Не понял, почему у вас $\begin{pmatrix}b&a\\-c&b^*\end{pmatrix},$ по Wikipedia должно быть $\begin{pmatrix}b&a\\-c&-b^*\end{pmatrix},$ если $a^*$ - транспонированная матрица (в физике обычно обозначения другие, $a^\mathrm{T}$ - вещественное транспонирование, $a^*$ - комплексное сопряжение, и $a^\dag\equiv a^+$ - эрмитово сопряжение (транспонирование и комплексное сопряжение)).

-- 07.08.2014 01:20:18 --

Видимо, я совсем позорно позабыл начала алгебры, но как два полинома перемножаются? По-школьному у меня получается четвёртая степень

[Red_Herring]

Я исправил (печатал в темноте на iPad; просто нужно $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & b^T \\ b & a\end{pmatrix} $).

Мы не перемножаем полиномы, а берем их скобку Пуассона, и ее порядок $m_1+m_2-2=2$.

В 1927г Г.Вейль придумал квантование по Вейлю, но оно не совсем выдерживает замену переменных (в степенях $\hbar$ ошибка), и вообще точное квантование на многообразиях невозможно. А вот метаплектические преобразования квантование по Вейлю выдерживает.

[Red_Herring]

Red_Herring в сообщении #893399 писал(а):

Я подозреваю, что оператор унитарно эквивалентен оператору умножения на $z$ в $L^2(\mathbb{R}_z, \mathbb{S}^{n-1})$

Неверно. Оператор $(\hbar^2 D^2-x^2)/2$ унитарно эквивалентен (причем с помощью метаплектических преобразований) $(\hbar D x + x\hbar D)/2$; после замены $t=\ln (x)$ и замены меры мы получаем $\hbar D_t$ в $L^2(\mathbb{R}_t)$, который эквивалентен оператору умножения на $z$ в $L^2(\mathbb{R}_z)$.

Соответственно в высших размерностях мы получаем оператор умножения на $(z_1+\ldots +z_n)$ в $L^2(\mathbb{R}^n_z)$, который в свою очередь унитарно эквивалентен оператору умножения на $\lambda$ в $L^2(\mathbb{R}_\lambda, L^2(\mathbb{R}^{n-1}))$

Вообще много лет назад показано что если мы рассмотрим многомерный квадратичный гамильтониан то спектр абсолютно непрерывный и совпадает с $\mathbb{R}$ возможно исключая случай, когда оператор разлагается в прямую сумму $\alpha_j (D_j^2 +x_j^2)/2$ и $\beta_j x_j^2$ (по разным переменным).

[Munin]

Red_Herring в сообщении #893832 писал(а):

Мы не перемножаем полиномы, а берем их скобку Пуассона

Да, уже почти разобрался, только не выписал до конца.

А вот что такое метаплектические преобразования, я понятия не имею, и даже определения не знаю.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #893870 писал(а):

А вот что такое метаплектические преобразования, я понятия не имею, и даже определения не знаю.

Если $\sum_{jk} \frac{1}{2} (a_{jk}p_jp_k + 2b_{jk}p_jq_k+c_{jk}q_jq_k)$ квадратичный полином (классический гамильтониан) и мы рассматриваем соответствующую группу симплектоморфизмов, то $\sum_{jk} \frac{1}{2} (a_{jkP_jP_k + b_{jk}(P_jQ_k+Q_kP_j)+c_{jk}Q_jQ_k)$ соответствующий квантовый гамильтониан и мы рассматриваем соответрствующую унитарную группу. Операторы, которые мы получаем этим образом и только они называются метаплектическими операторами

[Munin]

Не понял, в чём смысл и мотивация такого определения. Надо ещё поразбираться, как минимум, а то и вас потормошить.

[Munin]

Почитал, что такое метаплектическая группа. Как написано в Википедии, она не матричная. Тогда получается, она не соответствует вообще никаким линейным операторам! Или я что-то не понимаю?

-- 19.08.2014 00:39:36 --

(Шоком вообще было узнать о существовании нематричных (в конечномерном смысле) групп. А-а-а, вот в конечномерности, наверное, собака и зарыта. Операторы-то не обязательно действуют в конечномерном пространстве. А от бесконечномерности у меня всегда мозги кипят...)

[Red_Herring]

Munin в сообщении #897210 писал(а):

Тогда получается, она не соответствует вообще никаким линейным операторам! Или я что-то не понимаю?

Да нет, конечно. Это операторная группа. По определению, с которого мы пришли.

Цитата:

The metaplectic group $\mathsf{Mp}_2(R)$ is not a matrix group: it has no faithful finite-dimensional representations

Не забывайте, что разным группам Ли может соответствовать одна и та же алгебра Ли.

Но к Вашему оригинальному вопросу это не относится. С ним все ясно (почти): формулы даны и, главное, все "листные" пакости возникают не у него, а как раз у Вашего хорошего знакомого гармонического осциллятора.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #897223 писал(а):

Не забывайте, что разным группам Ли может соответствовать одна и та же алгебра Ли.

Именно это я в голове и держу. Значит, две группы Ли одной размерности, с одной алгеброй Ли, можно представить себе как сочетания каких-то "лоскутов", которые можно перенумеровать, и поставить их как-то одни другим в соответствие.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #897259 писал(а):

Red_Herring в сообщении #897223 писал(а):

Не забывайте, что разным группам Ли может соответствовать одна и та же алгебра Ли.

Именно это я в голове и держу. Значит, две группы Ли одной размерности, с одной алгеброй Ли, можно представить себе как сочетания каких-то "лоскутов", которые можно перенумеровать, и поставить их как-то одни другим в соответствие.

Ну вот самый тривиальный пример: одномерная группа Ли по сложению: это может быть $\mathbb{R}/a\mathbb{ Z}$ с любым $a>0$, а м.б. накрытие $\mathbb{R}$. А алгебра одна $\mathbb{R}$ (а операция везде обычное сложение). Т.е.мы говорим не о лоскутах, а о "намотках", о том, когда мы можем сказать "I am back!"

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #897223 писал(а):

Не забывайте, что разным группам Ли может соответствовать одна и та же алгебра Ли.

а если рассматривать только компактные группы Ли?

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #897273 писал(а):

а если рассматривать только компактные группы Ли?

Канонический пример — $SO(3)$ и $SU(2)$. Дело не в компактности, а в односвязности.

[Oleg Zubelevich]

а какие вообще достаточные условия чтобы из изоморфизма алгебр следовал изоморфизм групп (не локальный , а в целом)? односвязность?