2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Анти-осциллятор
Сообщение06.08.2014, 17:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Целый день я отлынивал от того, чтобы прочитать ваше сообщение. Сейчас начал немного разбираться. Алгебру Ли $\mathfrak{sp}(2,\mathbb{R})$ записал в виде действительных матриц $\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}.$ Теперь пытаюсь понять вот это вот:
    Red_Herring в сообщении #893387 писал(а):
    алгебра Ли состоит из квадратичных полиномов 2х переменных $p,q$ со стандартной операцией $\{p,q\}=1$ и т.д.
Подгруппы, о которых вы говорите, увидел чисто геометрически. А что это за переменные, пока не увидел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анти-осциллятор
Сообщение07.08.2014, 00:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
Это просто классические координата и импульс. Можно говорить об алгебре полиномов 2 порядка $( (ap,p) + 2 (bp, q) + (cq,q))/2$ со скобкой Пуассона, а можно об алгебре матриц $\begin{pmatrix} b & a\\ -c & -b^T\end{pmatrix}$ с коммутированием. $a=a^T, b, c=c^T$ -- $n\times n$ вещественные матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анти-осциллятор
Сообщение07.08.2014, 00:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Не понял, почему у вас $\begin{pmatrix}b&a\\-c&b^*\end{pmatrix},$ по Wikipedia должно быть $\begin{pmatrix}b&a\\-c&-b^*\end{pmatrix},$ если $a^*$ - транспонированная матрица (в физике обычно обозначения другие, $a^\mathrm{T}$ - вещественное транспонирование, $a^*$ - комплексное сопряжение, и $a^\dag\equiv a^+$ - эрмитово сопряжение (транспонирование и комплексное сопряжение)).

-- 07.08.2014 01:20:18 --

Видимо, я совсем позорно позабыл начала алгебры, но как два полинома перемножаются? По-школьному у меня получается четвёртая степень :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Анти-осциллятор
Сообщение07.08.2014, 03:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
Я исправил (печатал в темноте на iPad; просто нужно $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & b^T \\ b & a\end{pmatrix}  $).

Мы не перемножаем полиномы, а берем их скобку Пуассона, и ее порядок $m_1+m_2-2=2$.

В 1927г Г.Вейль придумал квантование по Вейлю, но оно не совсем выдерживает замену переменных (в степенях $\hbar$ ошибка), и вообще точное квантование на многообразиях невозможно. А вот метаплектические преобразования квантование по Вейлю выдерживает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анти-осциллятор
Сообщение07.08.2014, 07:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
Red_Herring в сообщении #893399 писал(а):
Я подозреваю, что оператор унитарно эквивалентен оператору умножения на $z$ в $L^2(\mathbb{R}_z, \mathbb{S}^{n-1})$


Неверно. Оператор $(\hbar^2 D^2-x^2)/2$ унитарно эквивалентен (причем с помощью метаплектических преобразований) $(\hbar D x + x\hbar D)/2$; после замены $t=\ln (x)$ и замены меры мы получаем $\hbar D_t$ в $L^2(\mathbb{R}_t)$, который эквивалентен оператору умножения на $z$ в $L^2(\mathbb{R}_z)$.

Соответственно в высших размерностях мы получаем оператор умножения на $(z_1+\ldots +z_n)$ в $L^2(\mathbb{R}^n_z)$, который в свою очередь унитарно эквивалентен оператору умножения на $\lambda$ в $L^2(\mathbb{R}_\lambda, L^2(\mathbb{R}^{n-1}))$

Вообще много лет назад показано что если мы рассмотрим многомерный квадратичный гамильтониан то спектр абсолютно непрерывный и совпадает с $\mathbb{R}$ возможно исключая случай, когда оператор разлагается в прямую сумму $\alpha_j (D_j^2 +x_j^2)/2$ и $\beta_j x_j^2$ (по разным переменным).

 Профиль  
                  
 
 Re: Анти-осциллятор
Сообщение07.08.2014, 11:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Red_Herring в сообщении #893832 писал(а):
Мы не перемножаем полиномы, а берем их скобку Пуассона

Да, уже почти разобрался, только не выписал до конца.

А вот что такое метаплектические преобразования, я понятия не имею, и даже определения не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анти-осциллятор
Сообщение07.08.2014, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
Munin в сообщении #893870 писал(а):
А вот что такое метаплектические преобразования, я понятия не имею, и даже определения не знаю.



Если $\sum_{jk} \frac{1}{2} (a_{jk}p_jp_k + 2b_{jk}p_jq_k+c_{jk}q_jq_k)$ квадратичный полином (классический гамильтониан) и мы рассматриваем соответствующую группу симплектоморфизмов, то $\sum_{jk} \frac{1}{2} (a_{jkP_jP_k + b_{jk}(P_jQ_k+Q_kP_j)+c_{jk}Q_jQ_k)$ соответствующий квантовый гамильтониан и мы рассматриваем соответрствующую унитарную группу. Операторы, которые мы получаем этим образом и только они называются метаплектическими операторами

 Профиль  
                  
 
 Re: Анти-осциллятор
Сообщение07.08.2014, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Не понял, в чём смысл и мотивация такого определения. Надо ещё поразбираться, как минимум, а то и вас потормошить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анти-осциллятор
Сообщение18.08.2014, 23:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Почитал, что такое метаплектическая группа. Как написано в Википедии, она не матричная. Тогда получается, она не соответствует вообще никаким линейным операторам! Или я что-то не понимаю?

-- 19.08.2014 00:39:36 --

(Шоком вообще было узнать о существовании нематричных (в конечномерном смысле) групп. А-а-а, вот в конечномерности, наверное, собака и зарыта. Операторы-то не обязательно действуют в конечномерном пространстве. А от бесконечномерности у меня всегда мозги кипят...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Анти-осциллятор
Сообщение19.08.2014, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
Munin в сообщении #897210 писал(а):
Тогда получается, она не соответствует вообще никаким линейным операторам! Или я что-то не понимаю?


Да нет, конечно. Это операторная группа. По определению, с которого мы пришли.
Цитата:
The metaplectic group $\mathsf{Mp}_2(R)$ is not a matrix group: it has no faithful finite-dimensional representations


Не забывайте, что разным группам Ли может соответствовать одна и та же алгебра Ли.

Но к Вашему оригинальному вопросу это не относится. С ним все ясно (почти): формулы даны и, главное, все "листные" пакости возникают не у него, а как раз у Вашего хорошего знакомого гармонического осциллятора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анти-осциллятор
Сообщение19.08.2014, 05:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Red_Herring в сообщении #897223 писал(а):
Не забывайте, что разным группам Ли может соответствовать одна и та же алгебра Ли.

Именно это я в голове и держу. Значит, две группы Ли одной размерности, с одной алгеброй Ли, можно представить себе как сочетания каких-то "лоскутов", которые можно перенумеровать, и поставить их как-то одни другим в соответствие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анти-осциллятор
Сообщение19.08.2014, 06:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
Munin в сообщении #897259 писал(а):
Red_Herring в сообщении #897223 писал(а):
Не забывайте, что разным группам Ли может соответствовать одна и та же алгебра Ли.

Именно это я в голове и держу. Значит, две группы Ли одной размерности, с одной алгеброй Ли, можно представить себе как сочетания каких-то "лоскутов", которые можно перенумеровать, и поставить их как-то одни другим в соответствие.


Ну вот самый тривиальный пример: одномерная группа Ли по сложению: это может быть $\mathbb{R}/a\mathbb{ Z}$ с любым $a>0$, а м.б. накрытие $\mathbb{R}$. А алгебра одна $\mathbb{R}$ (а операция везде обычное сложение). Т.е.мы говорим не о лоскутах, а о "намотках", о том, когда мы можем сказать "I am back!"

 Профиль  
                  
 
 Re: Анти-осциллятор
Сообщение19.08.2014, 06:29 


10/02/11
6786
Red_Herring в сообщении #897223 писал(а):
Не забывайте, что разным группам Ли может соответствовать одна и та же алгебра Ли.

а если рассматривать только компактные группы Ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анти-осциллятор
Сообщение19.08.2014, 06:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Oleg Zubelevich в сообщении #897273 писал(а):
а если рассматривать только компактные группы Ли?


Канонический пример — $SO(3)$ и $SU(2)$. Дело не в компактности, а в односвязности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анти-осциллятор
Сообщение19.08.2014, 10:46 


10/02/11
6786
а какие вообще достаточные условия чтобы из изоморфизма алгебр следовал изоморфизм групп (не локальный , а в целом)? односвязность?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group