ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3

[Феликс Шмидель]

Другие выражения, делящиеся на $y z$ имеют вид:

(31) $f_1 (2 a_0 a_4+2 a_1 a_3+a_2^2)+f_2 (a_0 a_3+a_1 a_2+a_4^2)+f_3 (a_0 a_1+2 a_2 a_4+a_3^2)+f_4 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)$,

где $f_1, f_2, f_3, f_4$ - многочлены от $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$.

Выражения в скобках в первых 3-ёх слагаемых в (31) равны нулю, вследствие (2), а выражение в скобках в 4-ом слагаемом равно $-(y z)$.

Я подозреваю, что найденные нами ранее выражения, делящиеся на $y z$ являются частными случаями выражений (31).
Если это так, то, например, не только $a_2^5-2 a_3^5$ делится на $y z$, но $a_2^5-2 a_3^5=f_4 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)$, где $f_4$ - некоторый многочлен от $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$.
Выражения (31) образуют идеал в кольце полиномов $\mathbb{Q}[a_0, a_1, a_2, a_3, a_4]$.
Базисом этого идеала являются выражения в скобках в 4-ёх слагаемых в (31).
Существует другой базис, в некотором смысле более простой, хотя он состоит из большего числа полиномов.
Этот базис называется базисом Гребнера.
Я пока не совсем понимаю, что такое базис Гребнера, но это не мешает мне вычислить его в программе "Reduce":

load_package groebner;
torder({a0, a1, a2, a3, a4}, lex)$
groebner{2*a0*a4+2*a1*a3+a2^2, a0*a3+a1*a2+a4^2, a0*a1+2*a2*a4+a3^2, 2*a0*a2+4*a3*a4+a1^2};

Получим базис, состоящий из 30-и полиномов, среди которых находится $a_2^5-2 a_3^5$!
Значит полином $a_2^5-2 a_3^5$ принадлежит идеалу (31), и это ещё одно доказательство того, что $a_2^5-2 a_3^5$ делится на $y z$.
Наша задача теперь: найти полиномы $f_1, f_2, f_3, f_4$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Полиномы $f_1, f_2, f_3, f_4$ вычисляются в программе "Reduce" следующим кодом:

load_package groebner;
torder({a0, a1, a2, a3, a4}, lex)$
groebnert{g1=2*a0*a4+2*a1*a3+a2^2, g2=a0*a3+a1*a2+a4^2, g3=a0*a1+2*a2*a4+a3^2, g4=2*a0*a2+4*a3*a4+a1^2};

Получим для $x_2^5-2 x_3^5$:
$f_1=(a_1^2 a_4-6 a_1 a_2 a_3+5 a_2^3)/5$
$f_2=(4 a_1 a_2 a_4+10 a_1 a_3^2-4 a_2^2 a_3)/5$
$f_3=(12 a_2 a_3 a_4-2 a_1 a_4^2-10 a_3^3)/5$
$f_4=(2 a_2 a_3^2-2 a_1 a_3 a_4-5 a_2^2 a_4)/5$

Проверяем:

g1:=2*a0*a4+2*a1*a3+a2^2;
g2:=a0*a3+a1*a2+a4^2;
g3:=a0*a1+2*a2*a4+a3^2;
g4:=2*a0*a2+4*a3*a4+a1^2;

f1:=a1^2*a4-6*a1*a2*a3+5*a2^3;
f2:=4*a1*a2*a4+10*a1*a3^2-4*a2^2*a3;
f3:=12*a2*a3*a4-2*a1*a4^2-10*a3^3;
f4:=2*a2*a3^2-2*a1*a3*a4-5*a2^2*a4;

f1*g1+f2*g2+f3*g3+f4*g4;

Действительно, получим: $5 (a_2^5-a_3^5)$.

Значит:

(32) $5 (a_2^5-a_3^5)=(2 a_2 a_3^2-2 a_1 a_3 a_4-5 a_2^2 a_4)(2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)$

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Я извиняюсь, вместо "Получим для $x_2^5-2 x_3^5$:" должно быть: "Получим для $a_2^5-2 a_3^5$:" и в конце вместо $a_2^5-a_3^5$ должно быть: $a_2^5-2 a_3^5$:

Действительно, получим: $5 (a_2^5-2 a_3^5)$.

Значит:

(32) $5 (a_2^5-2 a_3^5)=(2 a_2 a_3^2-2 a_1 a_3 a_4-5 a_2^2 a_4)(2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)$

[Феликс Шмидель]

Проверим теперь, что:

(33) $5 (a_1^2 a_3-2 a_2 a_4^2)=a_3 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)$ и

(34) $5 (a_1 a_2^2-2 a_3^2 a_4)=-2 a_3 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)$.

g1:=2*a0*a4+2*a1*a3+a2^2;
g2:=a0*a3+a1*a2+a4^2;
g3:=a0*a1+2*a2*a4+a3^2;
g4:=2*a0*a2+4*a3*a4+a1^2;

f1:=2*a1;
f2:=-2*a2;
f3:=-4*a4;
f4:=a3;

f1*g1+f2*g2+f3*g3+f4*g4;

Получим левую часть равенства (33).

g1:=2*a0*a4+2*a1*a3+a2^2;
g2:=a0*a3+a1*a2+a4^2;
g3:=a0*a1+2*a2*a4+a3^2;
g4:=2*a0*a2+4*a3*a4+a1^2;

f1:=a1;
f2:=4*a2;
f3:=-2*a4;
f4:=-2*a3;

f1*g1+f2*g2+f3*g3+f4*g4;

Получим левую часть равенства (34).

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Проверим теперь, что:

(35) $5 (a_3^5-2 a_4^5)=(a_1^2 a_3-2 a_3^2 a_4) (a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3)$

g1:=2*a0*a4+2*a1*a3+a2^2;
g2:=a0*a3+a1*a2+a4^2;
g3:=a0*a1+2*a2*a4+a3^2;
g4:=a0^2+4*a1*a4+4*a2*a3;

f1:=a0*a3^2-2*a1^2*a4+a1*a2*a3+5*a3*a4^2;
f2:=-a0*a1^2-7*a1*a3^2-a2^2*a3-10*a4^3;
f3:=a1^2*a2+5*a1*a4^2-2*a2*a3*a4+5*a3^3;
f4:=a1^2*a3-2*a3^2*a4;

f1*g1+f2*g2+f3*g3+f4*g4;

Получим: $5 (a_3^5-2 a_4^5)$

Заметим, что второй сомножитель в правой части равенства (35) равен $x^2$.

[Феликс Шмидель]

Мы продолжим накапливать легко проверяемые равенства, которые верны только, если верно равенство (1).
Мы не будем проверять каждое равенство, проверим только те, которые окажутся полезными.
В дальнейшем, мы будем обращать внимание не только на делимость, но и на неравенства, которые следуют из этих равенств.

(36) $5 (a_2^2 a_4)=2 a_3 (a_0^2-a_1 a_4-a_2 a_3)$,

(37) $5 (a_2 a_4^2)=a_3 (2 a_1^2-a_0 a_2-2 a_3 a_4)$,

(38) $5 a_4^4=a_3 (a_0 a_1 a_2-5 a_0 a_4^2-2 a_1^3+2 a_1 a_3 a_4)$,

(39) $5 a_2^4=4 a_3 (-a_0^3+a_0 a_1 a_4+3 a_0 a_2 a_3+a_1^2 a_3-a_3^2 a_4)$.

[Deggial]

Оффтоп отделён