Не исключено, что мне удастся найти простое доказательство, что ранг конкретной эллиптической кривой равен 1.
Поэтому я продолжу преобразования c целью упрощения равенства (8).
Следующее преобразование ведёт к упрощение равенства (9).
Я собираюсь изучать равенства с полиномом 3-ей степени, а не 4-ой, но привожу это преобразование на всякий случай.
Запишем (8) в виде

, где

,

.
Пусть

, где

- рациональное число.
Тогда

.
Упростим левую часть этого равенства в "Reduce":
Код:
(5*u^2+b*u+2)^2-(25*u^4-4*u^3-8*u^2+8*u+4);
Получим:

или

,
поскольку можно показать, что

.
Следовательно,

.
Упростим левую часть этого равенства в "Reduce":
Код:
(b^2+28)^2-4*(10*b+4)*(4*b-8);
Получим:
(11)

, где

,

,

.
Левая часть равенства (11) имеет меньшие коэффициенты, чем равенство (9).
Теперь займёмся преобразованием равенства (8) к равенству с полиномом 3-ей степени.
Пусть

, где

- рациональное число, и по-прежнему

,

.
Тогда из равенства (8) следует:

Упростим левую часть этого равенства в "Reduce":
Код:
(5*u^2-(2/5)*u+b1)^2-(25*u^4-4*u^3-8*u^2+8*u+4);
Получим:

.
Следовательно,

Упростим левую часть этого равенства в "Reduce":
Код:
(10*b1+100)^2-(250*b1+204)*(25*b1^2-100);
Получим:

.
Или

.
Пусть

.
Тогда

.
Значит:
(12)

,
где

,

,

.
Полином 3-ей степени в равенстве (12) имеет меньшие коэффициенты, чем полином, который можно получить из равенства (10) стандартным способом.
Продолжение следует.