2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение02.07.2014, 08:37 


31/03/06
1384
В этой теме мы приведём результаты из предыдущих тем поиска доказательства для $n=5$ и попробуем их развить.

Исходным результатом является равенство:

(1) $(a_0+a_1 g+a_2 g^2+a^3 g^3+a_4 g^4)^2=x^2-y z g^2$,

из которого мы пытаемся получить противоречие.

Здесь $g=\sqrt[5]{2}$, $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ - целые числа, $x, y, z$ - ненулевые, взаимно-простые целые числа, которые удовлетворяют уравнению Ферма: $x^5+y^5+z^5=0$.
Для доказательства (1), мы предположили, что $x$ - нечётное число, а число $y^5-z^5$ не делится на 5. Этого можно добиться, поменяв $x$, $y$ и $z$ местами. При этих предположениях, $x^2-y z g^2$ и $x^8+x^6 y z g^2+x^4 (y z)^2 g^4+x^2 (y z)^3 g^6+(y z)^4 g^8$ - взаимно-простые числа, то есть единственными общими делителями этих чисел являются делители единицы.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение02.07.2014, 10:49 


31/03/06
1384
Из (1) следует система равенств:

(2)
$2 a_0 a_4+2 a_1 a_3+a_2^2=0$
$a_0 a_3+a_1 a_2+a_4^2=0$
$a_0 a_1+2 a_2 a_4+a_3^2=0$

Первые два равенства можно рассматривать как линейные уравнения с неизвестными $a_0$ и $a_1$.
Решая эти уравнения по правилу Крамера, получим:

(3)
$a_0=(2 a_3 a_4^2-a_2^3)/(2 (a_4 a_2-a_3^2))$
$a_1=(a_3 a_2^2-2 a_4^3)/(2 (a_4 a_2-a_3^2))$

Можно показать, что знаменатель $2 (a_4 a_2-a_3^2)$ не равен нулю.

Подставляя выражения в (3) в последнее равенство системы (2) вместо $a_0$ и $a_1$, получим

(4) $(2 a_3 a_4^2-a_2^3) (a_3 a_2^2-2 a_4^3)+4 (a_4 a_2-a_3^2)^2 (2 a_2 a_4+a_3^2)=0$.

Это новый результат, который я получил недавно.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение02.07.2014, 11:02 


10/08/11
671
Феликс Шмидель в сообщении #883051 писал(а):
Исходным результатом является равенство:

(1) $(a_0+a_1 g+a_2 g^2+a^3 g^3+a_4 g^4)^2=x^2-y z g^2$,

Уважаемый Феликс Шмидель !
Правая часть - квадрат. Тройка решения - взаимно простые числа. $x,g$ также взаимно просты. Но, как раз это не является ли только частным случаем?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение02.07.2014, 11:38 


31/03/06
1384
lasta в сообщении #883078 писал(а):
Но, как раз это не является ли только частным случаем?
.

Частным случаем чего? Что Вы имеете ввиду?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение02.07.2014, 13:04 


10/08/11
671
Феликс Шмидель в сообщении #883088 писал(а):
Что Вы имеете ввиду?

Исходное равенство, где $g=\sqrt[5]{2}$. Является ли оно исчерпывающим все возможные случаи УФ с показателем $5$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение02.07.2014, 13:16 


31/03/06
1384
lasta в сообщении #883120 писал(а):
Исходное равенство, где $g=\sqrt[5]{2}$. Является ли оно исчерпывающим все возможные случаи УФ с показателем $5$?


Да, является, потому что оно следует из УФ, и УФ следует из него.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение03.07.2014, 07:34 


31/03/06
1384
Упростим (4) в алгебраической программе "Reduce":
Код:
1: (2*a3*a4^2-a2^3)*(a3*a2^2-2*a4^3)+4*(a4*a2-a3^2)^2*(2*a2*a4+a3^2);

Получим: $-a_2^5 a_3+10 a_2^3 a_4^3-10 a_2^2 a_3^2 a_4^2+4 a_3^6-4 a_3 a_4^5$

Значит, из (4) следует:

(5) $10 (a_2 a_4)^3-10 (a_2 a_4)^2 a_3^2+4 a_3^6=a_3 (a_2^5+4 a_4^5)$

Из (5) следует:

(6) $(10 (a_2 a_4)^3-10 (a_2 a_4)^2 a_3^2+4 a_3^6)^2-16 a_3^2 (a_2 a_4)^5=a_3^2 (a_2^5-4 a_4^5)^2$

Упростим левую часть равенства (6) в "Reduce":
Код:
1: (10*(a2*a4)^3-10*(a2*a4)^2*a3^2+4*a3^6)^2-16*a3^2*(a2*a4)^5;

Получим: $4 (25 a_2^6 a_4^6-54 a_2^5 a_3^2 a_4^5+25 a_2^4 a_3^4 a_4^4+20 a_2^3 a_3^6 a_4^3-20 a_2^2 a_3^8 a_4^2+4 a_3^{12})$

Пусть $v=a_2 a_4/a_3^2-1$.
Тогда полученное выражение равно: $4 a_3^{12} (25 (v+1)^6-54 (v+1)^5+25 (v+1)^4+20 (v+1)^3-20 (v+1)^2+4)$.

Упростим это выражение в "Reduce":
Код:
1: 25*(v+1)^6-54*(v+1)^5+25*(v+1)^4+20*(v+1)^3-20*(v+1)^2+4;

Получим: $v^2 (25 v^4+96 v^3+130 v^2+80 v+25)$

Значит, из (6) следует:

(7) $25 v^4+96 v^3+130 v^2+80 v+25=(a_2^5-4 a_4^5)^2/(4 a_3^{10} v^2)$,

где $v=a_2 a_4/a_3^2-1$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение04.07.2014, 08:44 


31/03/06
1384
Можно уменьшить коэффициенты в левой части равенства (7) если вернуться от $v$ к $a_2 a_4/a_3^2$.
Пусть $u=a_2 a_4/a_3^2$.
Подставляя $v=u-1$ в (7) получим:

$25 (u-1)^4+96 (u-1)^3+130 (u-1)^2+80 (u-1)+25=(a_2^5-4 a_4^5)^2/(4 a_3^{10} (u-1)^2)$.

Упростим левую часть этого равенства в "Reduce":
Код:
25*(u-1)^4+96*(u-1)^3+130*(u-1)^2+80*(u-1)+25;

Получим: $25 u^4-4 u^3-8 u^2+8 u+4$.

Значит из (7) следует:

(8) $25 u^4-4 u^3-8 u^2+8 u+4=(a_2^5-4 a_4^5)^2/(4 a_3^{10} (u-1)^2)$,

где $u=a_2 a_4/a_3^2$.

Умножив равенство (8) на $25^3$, получим:

(9) $u_2^4-4 u_2^3-200 u_2^2+5000 u_2+62500=A^2$,

где $u=a_2 a_4/a_3^2, u_2=25 u, A=125 (a_2^5-4 a_4^5)/(2 a_3^5 (u-1))$.

Преобразуем равенство (9), используя приём, описанный в Cassels, "Lectures on elliptic curves".

Пусть $T=A+(u_2^2-2 u_2-102), S=u_2 (A+(u_2^2-2 u_2-102))$.
Покажем, что $2 S^2-4 T S+4592 S=T^3+204 T^2-52096 T$.
Выразим $(2 S^2-4 T S+4592 S-T^3-204 T^2+52096 T)/T$ через $A$ и $u_2$ в "Reduce":

Код:
T:=A+(u2^2-2*u2-102);
S:=u2*(A+(u2^2-2*u2-102));
(2*S^2-4*T*S+4592*S-T^3-204*T^2+52096*T)/T;

С учётом равенства (9), получим $0$.

Значит из (9) следует:

(10) $2 S^2-4 T S+4592 S=T^3+204 T^2-52096 T$, где

$u=a_2 a_4/a_3^2, u_2=25 u, A=125 (a_2^5-4 a_4^5)/(2 a_3^5 (u-1))$,
$T=A+(u_2^2-2 u_2-102), S=u_2 (A+(u_2^2-2 u_2-102))$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение04.07.2014, 17:51 


31/03/06
1384
Помножим равенство (10) на 8.
Получим: $(4 S)^2-4 (2 T)(4 S)+9184 (4 S)=(2 T)^3+408 (2 T)^2-208384 (2 T)$

Вычислим ранг этой эллиптической кривой и подгруппу точек конечного порядка в математической программе "Sage":

Код:
E = EllipticCurve([-4, 408, 9184, -208384, 0])
E.rank()
E.torsion_subgroup()


Получим:

Код:
1
Torsion Subgroup isomorphic to Z/2 associated to the Elliptic Curve defined by y^2 - 4*x*y + 9184*y = x^3 + 408*x^2 - 208384*x over Rational Field


Вопрос: можно ли использовать эту информацию в доказательстве?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение04.07.2014, 18:05 
Заслуженный участник


20/12/10
6234
Феликс Шмидель в сообщении #883951 писал(а):
Вопрос: можно ли использовать эту информацию в доказательстве?
По-моему, сам этот факт (ранг равен двум) гораздо сложнее, чем ВТФ при $n=5$. Для сравнения: при $n=3$ утверждение ВТФ сводится к тому, что ранг эллиптической кривой $x^3+y^3=1$ равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение04.07.2014, 18:12 


31/03/06
1384
Прошу прощения, я исправил ошибку. Теперь ранг равен $1$.
Понятно, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение06.07.2014, 09:17 


31/03/06
1384
Не исключено, что мне удастся найти простое доказательство, что ранг конкретной эллиптической кривой равен 1.
Поэтому я продолжу преобразования c целью упрощения равенства (8).

Следующее преобразование ведёт к упрощение равенства (9).
Я собираюсь изучать равенства с полиномом 3-ей степени, а не 4-ой, но привожу это преобразование на всякий случай.

Запишем (8) в виде $25 u^4-4 u^3-8 u^2+8 u+4=B^2$, где $B=(a_2^5-4 a_4^5)/(2 a_3^5 (u-1))$, $u=a_2 a_4/a_3^2$.
Пусть $B=5 u^2+b u+2$, где $b$ - рациональное число.
Тогда $(5 u^2+b u+2)^2-(25 u^4-4 u^3-8 u^2+8 u+4)=0$.
Упростим левую часть этого равенства в "Reduce":

Код:
(5*u^2+b*u+2)^2-(25*u^4-4*u^3-8*u^2+8*u+4);


Получим: $u (u^2 (10 b+4)+u (b^2+28)+(4 b-8))=0$ или $u^2 (10 b+4)+u (b^2+28)+(4 b-8)=0$,
поскольку можно показать, что $u \ne 0$.
Следовательно, $(b^2+28)^2-4 (10 b+4)(4 b-8)=((b^2+28)+2 (10 b+4) u)^2$.
Упростим левую часть этого равенства в "Reduce":

Код:
(b^2+28)^2-4*(10*b+4)*(4*b-8);


Получим:

(11) $b^4-104 b^2+256 b+912=A_1^2$, где

$u=a_2 a_4/a_3^2$, $b=((a_2^5-4 a_4^5)/(2 a_3^5 (u-1))-(5 u^2+2))/u$, $A_1=(b^2+28)+2 (10 b+4) u$.

Левая часть равенства (11) имеет меньшие коэффициенты, чем равенство (9).


Теперь займёмся преобразованием равенства (8) к равенству с полиномом 3-ей степени.

Пусть $B=5 u^2-(2/5) u+b_1$, где $b_1$ - рациональное число, и по-прежнему $B=(a_2^5-4 a_4^5)/(2 a_3^5 (u-1))$, $u=a_2 a_4/a_3^2$.
Тогда из равенства (8) следует: $(5 u^2-(2/5) u+b_1)^2-(25 u^4-4 u^3-8 u^2+8 u+4)=0$
Упростим левую часть этого равенства в "Reduce":

Код:
(5*u^2-(2/5)*u+b1)^2-(25*u^4-4*u^3-8*u^2+8*u+4);


Получим: $(250 b_1+204) u^2-(20 b_1+200) u+(25 b_1^2-100)=0$.
Следовательно, $(10 b_1+100)^2-(250 b_1+204)(25 b_1^2-100)=(-(10 b_1+100)+(250 b_1+204) u)^2$
Упростим левую часть этого равенства в "Reduce":

Код:
(10*b1+100)^2-(250*b1+204)*(25*b1^2-100);


Получим: $50 (-125 b_1^3-100 b_1^2+540 b_1+608)=(-(10 b_1+100)+(250 b_1+204) u)^2$.
Или $8 (-125 b_1^3-100 b_1^2+540 b_1+608)=4/25 (-(10 b_1+100)+(250 b_1+204) u)^2$.
Пусть $b_2=-10 b_1$.
Тогда $b_2^3-8  b_2^2-432 b_2+4864=4/25 ((b_2-100)-(25 b_2-204) u)^2$.

Значит:

(12) $b_2^3-8 b_2^2-432 b_2+4864=A_2^2$,

где $u=a_2 a_4/a_3^2$, $b_2=-10 ((a_2^5-4 a_4^5)/(2 a_3^5 (u-1))-(5 u^2-(2/5) u))$, $A_2=2/5 ((b_2-100)-(25 b_2-204) u)$.

Полином 3-ей степени в равенстве (12) имеет меньшие коэффициенты, чем полином, который можно получить из равенства (10) стандартным способом.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение06.07.2014, 11:10 


31/03/06
1384
Феликс Шмидель в сообщении #884438 писал(а):
Полином 3-ей степени в равенстве (12) имеет меньшие коэффициенты, чем полином, который можно получить из равенства (10) стандартным способом.


Я, правда, в этом не совсем уверен.
Дело в том, что я получил равенство (12) стандартным способом, описанным в книге Ian Connell, "Elliptic Curve Handbook" из равенства (7).
С другой стороны, это увеличивает вероятность того, что при выводе равенства (12) не было допушено ошибок, и оно верно .

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение06.07.2014, 17:07 


31/03/06
1384
Вычислим ранг эллиптической кривой (12) и подгруппу точек конечного порядка в математической программе "Sage":

Код:
E=EllipticCurve([0, -8, 0, -432, 4864])
E.rank()
E.torsion_subgroup()


Получим:

Код:
1
Torsion Subgroup isomorphic to Z/2 associated to the Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 8*x^2 - 432*x + 4864 over Rational Field


Вместо $\mathbb{Z}/2$ должно быть $\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$, это недоработка в программе.
Информация о наличии рациональной точки второго порядка говорит о том, что некоторое целое число является корнем полинома в левой части равенства (12).

Перепробовав все делители числа $4864$ найдём, что корень равен $16$.

Остальные два корня кубического полинома легко находятся из квадратного уравнения.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение06.07.2014, 23:47 


31/03/06
1384
Найдём квадратный полином, получающийся от деления $b_2^3-8 b_2^2-432 b_2+4864$ на $b_2-16$ в программе "Reduce":

Код:
(b2^3-8*b2^2-432*b2+4864)/(b2-16)


Получим: $b_2^2-8 b_2-304$.

Корнями этого полинома являются числа: $4+8 \sqrt{5}$ и $4-8 \sqrt{5}$.

Поскольку $b_2$ является рациональнам числом, то $b_2=s/t$, где $s$ и $t$ - целые, $t>0$.
взаимно-простые числа.

Рациональное число $(b_2-16)(b_2^2-8 b_2-304)$ является квадратом рационального числа.
Значит $(s-16 t) (s^2-8 s t-304 t^2)/t^3$ является квадратом рационального числа.
Поскольку знаменатель $t^3$ взаимно-прост с числителем и $t>0$, то $t$ является квадратом целого числа, и:

(13) $(s-16 t) (s^2-8 s t-304 t^2)$ является квадратом целого числа, где

$b_2=s/t$, $s$ и $t$ - взаимно-простые целые числа, $t>0$ и $t$ - является квадратом целого числа.

Если сомножители $s-16 t$ и $s^2-8 s t-304 t^2$ имеют наибольший общий делитель $h$, то $16^2-8 \cdot 16-304=-176$ делится на $h$.

Число $s$ не может делиться на $2$ и не делиться на $4$, или делиться на $8$ и не делиться на $16$, в силу (13).
Следовательно $h$ является одним из чисел: $1, 4, 16, 11, 44, 176$, поскольку $176$ делится на $h$.

Значит:

(14) либо оба сомножителя $s-16 t$ и $s^2-8 s t-304 t^2$ являются квадратами целых чисел, либо оба сомножителя делятся на $11$, и числа $(s-16 t)/11$ и $(s^2-8 s t-304 t^2)/11$ являются квадратами целых чисел, где

$b_2=s/t$, $s$ и $t$ - взаимно-простые целые числа, $t>0$ и $t$ - является квадратом целого числа.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 67 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group