2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение07.07.2014, 09:32 


31/03/06
1384
Исправим ошибку: в (14) оба сомножителя могут быть минус квадратами или после деления на $11$ они могут быть минус квадратами.

То есть:

(14) Оба сомножителя $s-16 t$ и $s^2-8 s t-304 t^2$ являются квадратами целых чисел, умноженными на $1$, $-1$, $11$ или $-11$, где

$b_2=s/t$, $s$ и $t$ - взаимно-простые целые числа, $t>0$ и $t$ - является квадратом целого числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение08.07.2014, 10:44 


31/03/06
1384
Заметим, что полиномы в равенствах (7), (8) и (9) неприводимы, в отличие от полиномов в равенствах (11) и (12), полученных в результате преобразования полинома в (8).
Неприводимость полиномов легко устанавливается в программе "gp/pari", используя комманду "factor(f)" или функцию "polisirreducible(f)".
Нет никакой необходимости искать рациональные корни полинома вручную, поскольку комманда "factor(f)" находит их.
В частности, полином 4-ой степени в равенстве (11) имеет два целых корня: $b=-2$ и $b=6$, что даёт нам ещё два линейных множителя, которые являются квадратами, возможно умноженными на некоторые числа.
Имеет смысл сократить числа $a_2$, $a_3$ и $a_4$ в равенстве (5) на их наибольший общий делитель.
Все последующие преобразования и результаты от этого не изменятся.
Но если считать числа $a_2$, $a_3$ и $a_4$ взаимно-простыми (не попарно), то из (5) следует:

(15)
Пусть простое число $p$, отличное от $2$ и $5$, является делителем числа $a_3$, и $p^{k_3}$ является наибольшей степенью простого числа $p$, на которую делится $a_3$.
Тогда число $k_3$ делится на $3$, и $p^{k_3/3}$ является наибольшой степенью простого числа $p$, на которую делится либо $a_2$, либо $a_4$, а другое число из этих двух не делится на $p$.

В самом деле, из (5) следует, что $10 (a_2 a_4)^3$ делится на $a_3$, следовательно одно из чисел $a_2^3$ и $a_4^3$ делится на $p^{k_3}$, поскольку только одно из них делится на $p$, вследствие взаимной простоты чисел $a_2$, $a_3$ и $a_4$.
Если, например, число $a_2^3$ делится на $p^{k_3}$, то на бОльшую степень $p$ оно не делится,
иначе левая часть равенства (5) делилась бы на $p^{k_3+1}$, а правая часть - нет, поскольку $a_2^5+4 a_4^5$ не делится на $p$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение09.07.2014, 15:23 


31/03/06
1384
Найдём $b_2$ из (12) в программе "Reduce".

Код:
u:=a2*a4/a3^2;
B:=(a2^5-4*a4^5)/(2*a3^5*(u-1));
b1:=B-(5*u^2-2*u/5);
b2:=-10*b1;

d1:=a2*a4-a3^2;
c1:=a2^5-4*a4^5;
(-5*a3*c1+2*a2*a4*d1*(25*a2*a4-2*a3^2))/(a3^4*d1);


Результаты для $b_2$ и для последнего выражения совпадают.
Значит:

(16) $b_2=(-5 a_3 c_1 + 2 a_2 a_4 d_1 (25 a_2 a_4-2 a_3^2))/(a_3^4 d_1)$,

где $c_1=a_2^5-4 a_4^5$, $d_1=a_2 a_4-a_3^2$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение09.07.2014, 19:44 


31/03/06
1384
У меня есть пара вопросов, может быть кто-нибудь знает.
Математическая программа "SAGE" определила минимальную модель для эллиптической кривой (12): $y^2 = x^3 + x^2 - 28 x + 48$. Это уравнение проще, чем первоначальное уравнение $y^2 = x^3 - 8 x^2 - 432 x + 4864$, поэтому я бы лучше работал с минимальной моделью.
Но что такое эта минимальная модель и какая связь между двумя уравнениями?
Второй вопрос, что значит точка [(-4 : 80 : 1)], которую "SAGE" считает генератором бесконечной циклической подгруппы точек кривой (12)? Эта программа вообще обозначает точки тремя числами, а что это значит не объясняет ни в одном документе.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение09.07.2014, 21:30 


31/03/06
1384
Заметим, что точка $(x=-4, y=80)$ действительно находится на эллиптической кривой (12).
Третья координата точки может быть $1$ для обычной точки и $0$ для бесконечной точки.
Это мой ответ на второй вопрос.

Теперь попытаемся ответить на первый вопрос.

Приведём уравнение (12) и его "минимальную модель" к полиномам без $x^2$ в программе "Reduce":

Код:
(x+8/3)^3-8*(x+8/3)^2-432*(x+8/3)+4864;
(x-1/3)^3+(x-1/3)^2-28*(x-1/3)+48


Получим полиномы:

$x^3-(12240/27) x+(99200/27)$ и
$x^3-(765/27) x+(1550/27)$

Если разделить коэффициенты при $x$ один на другой и взять квадратный корень из частного, получим $(12240/765)^{1/2}=4$.

Если разделить cвободные коэффициенты один на другой и взять кубический корень из частного, получим $(99200/1550)^{1/3}=4$.

А я только что прочёл в одном учебнике, что такое совпадение является необходимым и достаточным условием бирациональной изоморфности двух эллиптических кривых.

Вернее надо было брать корни четвёртой и шестой степени.
Это понятно: замена $x$ на $x/c^2$ даёт соответствие рациональных точек на одной кривой точкам на другой.
Не знаю насчёт бирациональной изоморфности, но нам это ненужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение09.07.2014, 23:49 


31/03/06
1384
Покажем эллиптическую кривую (12), используя комманду E.plot() в программе "Sage":

Изображение

Я поместил картинку на сайт radikal.ru, так что она может исчезнуть.

-- Чт июл 10, 2014 00:20:47 --

Я решил проверить (14) используя точку $-4$ ($s=-4, t=1$) и сразу обнаружил ошибку.
Вместо $b_2^2-8 b_2-304$ должно быть $b_2^2+8 b_2-304$.
Исправим это сообщение:

Найдём квадратный полином, получающийся от деления $b_2^3-8 b_2^2-432 b_2+4864$ на $b_2-16$ в программе "Reduce":

Код:
(b2^3-8*b2^2-432*b2+4864)/(b2-16)


Получим: $b_2^2+8 b_2-304$.

Корнями этого полинома являются числа: $-4+8 \sqrt{5}$ и $-4-8 \sqrt{5}$.

Поскольку $b_2$ является рациональнам числом, то $b_2=s/t$, где $s$ и $t$ - целые, $t>0$.
взаимно-простые числа.

Рациональное число $(b_2-16)(b_2^2+8 b_2-304)$ является квадратом рационального числа.
Значит $(s-16 t) (s^2+8 s t-304 t^2)/t^3$ является квадратом рационального числа.
Поскольку знаменатель $t^3$ взаимно-прост с числителем и $t>0$, то $t$ является квадратом целого числа, и:

(13) $(s-16 t) (s^2+8 s t-304 t^2)$ является квадратом целого числа, где

$b_2=s/t$, $s$ и $t$ - взаимно-простые целые числа, $t>0$ и $t$ - является квадратом целого числа.

Если сомножители $s-16 t$ и $s^2+8 s t-304 t^2$ имеют наибольший общий делитель $h$, то $16^2+8 \cdot 16-304=80$ делится на $h$.

Число $s$ не может делиться на $2$ и не делиться на $4$, или делиться на $8$ и не делиться на $16$, в силу (13).
Следовательно $h$ является одним из чисел: $1, 4, 16, 5, 20, 80$, поскольку $80$ делится на $h$.

Значит:

(14) Оба сомножителя $s-16 t$ и $s^2+8 s t-304 t^2$ являются квадратами целых чисел, умноженными на $1$, $-1$, $5$ или $-5$, где

$b_2=s/t$, $s$ и $t$ - взаимно-простые целые числа, $t>0$ и $t$ - является квадратом целого числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение10.07.2014, 01:51 


31/03/06
1384
Утверждение (15), возможно, позволит нам найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя в выражении (16) для $b_2$.
Утверждение (14) даёт нам выражения, являющиеся квадратами, умноженными на $1, -1, 5$ или $-5$.
Можно попробовать найти $a_3, a_4$ и $a_5$, удовлетворяющие этим условиям по модулю некоторого небольшого простого числа. Можно вычислить и другие точки на эллиптической кривой, и они тоже должны удовлетворять утверждению (14). Таких $a_3, a_4$ и $a_5$, которые удовлетворяют утверждению (14) для одной или нескольких точек может не существовать, что вело бы к противоречию.
Для реализации этой идеи нужно найти выражение для наибольшего общего делителя числителя и знаменателя хотя бы в (16) для $b_2$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение10.07.2014, 12:57 


31/03/06
1384
Нахождение наибольшего общего делителя числителя и знаменателя в выражении (16) сложно, и я думаю можно обойтись без этого.

Из (14) следует:

(17) Выражения $t (s-16 t)$ и $t (s^2+8 s t-304 t^2)$ являются квадратами целых чисел, умноженными на $1$, $-1$, $5$ или $-5$, где

$b_2=s/t$, $s$ и $t$ - целые числа, необязательно взаимно-простые.


Возьмём какое-либо простое число, например $41$ и найдём какие остатки от деления на это простое число должны давать числа $a_2, a_3$ и $a_4$, чтобы утверждение (17) удовлетворялось по модулю этого простого числа.


Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение10.07.2014, 15:31 


31/03/06
1384
Я написал программу и получил $24081$ подходящих вариантов из общего колличества $41^3=68921$,
если не ошибся.
Наша задача получить из $(b_2, A_2)$ другую точку, которая была бы на эллиптической кривой (12) только если на ней $(b_2, A_2)$.
Подумаем, как это сделать.

Подолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение10.07.2014, 17:54 


31/03/06
1384
Первым делом отсеим варианты, которые не удовлятворяют равенству (5) по модулю $41$.
После этого осталось $681$ подходящих вариантов, если я не ошибся.

Кстати, если проверять только равенство (5) по модулю $41$, то будет $1681$ подходящих вариантов, если я не ошибся.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение10.07.2014, 20:16 


31/03/06
1384
Исправим ошибку в (17).

Из (14) следует:

(17) Выражения $t (s-16 t)$ и $s^2+8 s t-304 t^2$ являются квадратами целых чисел, умноженными на $1$, $-1$, $5$ или $-5$, где

$b_2=s/t$, $s$ и $t$ - целые числа, необязательно взаимно-простые.

Исправленная программа даёт $281$ подходящих вариантов с проверкой утверждения (17) и равенства (5) по модулю $41$.
Если проверять только утверждение (17) без равенства (5) получим, как не странно, те же $24081$ вариантов, что и раньше.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение11.07.2014, 00:20 


31/03/06
1384
Проведём прямую через точки $(-4, 80)$ и $(b_2, A_2)$ и найдём третью точку пересечения этой прямой с эллиптической кривой (12).
Уравнение этой прямой: $Y=r_1 X+r_2$, где $r_1=\frac{A_2-80}{b_2+4}$, $r_2=80+4 r_1$.
Следовательно, абсцисса $X$ любой точки пересечения этой прямой с эллиптической кривой (12)
удовлетворяет уравнению: $(r_1 X+r_2)^2= X^3 - 8 X^2 - 432 X + 4864$.
По теореме Виета, $8+r_1^2=-4+b_2+X_3$, где $X_3$ - абсцисса третьей точки пересечения.
Получим выражение для $X_3$ в программе "Reduce":

Код:
u:=a2*a4/a3^2;
B:=(a2^5-4*a4^5)/(2*a3^5*(u-1));
b1:=B-(5*u^2-2*u/5);
b2:=-10*b1;

Y2:=((b2-100)-(25*b2-204)*u)*2/5;
r1:=(Y2-80)/(b2+4);
X3:=8+r1^2+4-b2;


Получим $X_3=s/t$, где

$s=125 a_2^{15} a_3^3-1250 a_2^{13} a_3^2 a_4^3+1350 a_2^{12} a_3^4 a_4^2+4 a_2^{11} a_3^6 a_4-12500 a_2^{11} a_3 a_4^6-104 a_2^{10} a_3^8+25500 a_2^{10} a_3^3 a_4^5-10500 a_2^9 a_3^5 a_4^4+125000 a_2^9 a_4^9-22160 a_2^8 a_3^7 a_4^3-395000 a_2^8 a_3^2 a_4^8+30400 a_2^7 a_3^9 a_4^2+385400 a_2^7 a_3^4 a_4^7-12320 a_2^6 a_3^{11} a_4+119432 a_2^6 a_3^6 a_4^6+50000 a_2^6 a_3 a_4^{11}+80 a_2^5 a_3^{13}-563696 a_2^5 a_3^8 a_4^5-102000 a_2^5 a_3^3 a_4^{10}+445280 a_2^4 a_3^{10} a_4^4+42000 a_2^4 a_3^5 a_4^9-66720 a_2^3 a_3^{12} a_4^3+88640 a_2^3 a_3^7 a_4^8-20000 a_2^3 a_3^2 a_4^{13}-98400 a_2^2 a_3^{14} a_4^2-121600 a_2^2 a_3^9 a_4^7+21600 a_2^2 a_3^4 a_4^{12}+63296 a_2 a_3^{16} a_4+49280 a_2 a_3^{11} a_4^6+64 a_2 a_3^6 a_4^{11}-14592 a_3^{18}-320 a_3^{13} a_4^5-1664 a_3^8 a_4^{10}-8000 a_3^3 a_4^{15}$,

$t=a_3^4 (25 a_2^{11} a_3^2 a_4-25 a_2^{10} a_3^4-500 a_2^9 a_3 a_4^4+1040 a_2^8 a_3^3 a_4^3-620 a_2^7 a_3^5 a_4^2+2500 a_2^7 a_4^7+120 a_2^6 a_3^7 a_4-8100 a_2^6 a_3^2 a_4^6-40 a_2^5 a_3^9+9316 a_2^5 a_3^4 a_4^5-4980 a_2^4 a_3^6 a_4^4+2000 a_2^4 a_3 a_4^9+1760 a_2^3 a_3^8 a_4^3-4160 a_2^3 a_3^3 a_4^8-560 a_2^2 a_3^{10} a_4^2+2480 a_2^2 a_3^5 a_4^7+80 a_2 a_3^{12} a_4-480 a_2 a_3^7 a_4^6+400 a_2 a_3^2 a_4^{11}-16 a_3^{14}+160 a_3^9 a_4^5-400 a_3^4 a_4^{10})$

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение11.07.2014, 01:43 


31/03/06
1384
Необязательно работать с такими длинными выражениями.

Пусть $b_2=s/t$, $u=u_1/u_2$.
Сначала найдём $r_1$ в программе "Reduce":

Код:
b2:=s/t;
u:=u1/u2;
Y2:=((b2-100)-(25*b2-204)*u)*2/5;
r1:=(Y2-80)/(b2+4);


Получим: $r_1=2 (-25 s u_1+s u_2+204 t u_1-300 t u_2)/(5 u_2 (s+4 t))$

Пусть $r_1=m_1/m_2$.
Найдём $X_3$ в программе "Reduce":

Код:
b2:=s/t;
r1:=m1/m2;
X3:=8+r1^2+4-b2;


Получим: $X_3=(m_1^2 t-m_2^2 s+12 m_2^2 t)/(12 m_2^2 t)$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение11.07.2014, 12:18 


31/03/06
1384
После проверки утверждения (17) для новой точки по модулю $41$ осталось $81$ подходящих вариантов. Во всех этих вариантах $a_3$ делится на $41$ и либо $a_2$ либо $a_4$ делится на $41$.
Это варианты, в которых числа $s$ и $t$ в утверждении (17) делятся на $41$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3
Сообщение12.07.2014, 20:16 


31/03/06
1384
Исправим ошибку:

Код:
b2:=s/t;
r1:=m1/m2;
X3:=8+r1^2+4-b2;


Получим: $X_3=(m_1^2 t-m_2^2 s+12 m_2^2 t)/(m_2^2 t)$.

Мы использовали точку $x_0=-4$.

Пусть теперь $x_0=s_0/t_0$.

Код:
b2:=s/t;
x0:=s0/t0;
r1:=m1/m2;
X3:=8+r1^2-x0-b2;


Получим: $X_3=(m_1^2 t t_0-m_2^2 s t_0-m_2^2 s_0 t+8 m_2^2 t t_0)/(m_2^2 t t_0)$;

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 67 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group