Анти-осциллятор

[Munin]

А что происходит с квантовым осциллятором (одномерным гармоническим $\widehat{H}=-\tfrac{\hbar^2}{2m}\tfrac{d^2}{dx^2}+\tfrac{k}{2}x^2$) при $k<0$? На всех уровнях: собственные функции, спектр, алгебра наблюдаемых... Очевидно, условие убывания и/или интегрируемости не накладывается.

[Neos]

При $ k < 0 $ потенциал - перевернутая парабола. Одиночный барьер. Связанных состояниий нет. Спектр непрерывный. Немного меняется условие нормировки для плоских волн. Область интегрирования - единица объема или длины.

[Munin]

Плохо. Некрасиво. Введём обрезание: $|x|<L/2.$ Тогда спектр осциллятора внизу будет как у необрезанного осциллятора, а вверху - как у прямоугольного ящика. По мере приближения $k\to+0$ нижняя часть уменьшится и исчезнет, и при переходе $k$ через 0 спектр будет спектром ящика, слабо возмущённым. Потом нижние уровни пойдут вниз на $\sim k(L/2)^2,$ снова перестанут быть ящичными, а сверху (много выше барьера) опять будет спектр ящика. Для большого ящика его уровни идут настолько часто, что напоминают непрерывный спектр. Вроде, получился плавный переход. Всё правильно?

Возникает вопрос: как ведёт себя плотность уровней около 0 при отрицательных $k$?

И, как ведёт себя алгебра наблюдаемых в такой картине, с начала и до конца?

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #893099 писал(а):

необрезанного осциллятора

задумался: а может ли осциллятор быть гоем?

а краевые условия там есть?

-- Вс авг 03, 2014 19:31:10 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #893099 писал(а):

Некрасиво. Введём обрезание

Munin сегодня в ударе

[Neos]

Насчет плоских волн я погорячился. Нужно решить уравнение
$ y''(x) + (x^2+e)y(x)=0 $, а условие нормировки принять
$\psi(x) \to A\exp(kx) $ при $x \to \pm \infty$, где $A$ любая константа или единица. Решение вне барьера не плоская волна. Но волна.

[Red_Herring]

Существуют различные варианты ответа на вопрос: как считать плотность энергетических уровней, когда они непрерывны. В принципе надо убедиться, что задача вообще осмысленная, т.е. оператор самосопряженный, но в данном случае (отрицательная часть потенциала растет на бесконечности не быстрее квадрата) это так.

Oleg Zubelevich в сообщении #893130 писал(а):

а краевые условия там есть?

не нужны


Для конкретного оператора ответ дается в терминах спектрального проектора: пусть $E(\lambda)=\theta (\lambda -H)$ это спектральный проектор, $\theta$ это функция Хевисайда. Пусть $E(x,y,\lambda)$ ядро Шварца спектрального проектора, тогда нас интересует $E(x,х,\lambda)$. Ответ с хорошей точностью дается поточечной формулой Вейля (H.Weyl)

$$ E(x,x,\lambda,h) \approx (2\pi h)^{-n} \omega_n (\lambda -V(x))_+^{n/2} $$

где $n$ размерность, и $z_+$ положительная часть числа, $\omega_n$ объем единичного шара в данной размерности.

Более интересные случаи:
1) Потенциал быстро убывает на бесконечности, тогда ответ дается в терминах функции спектрального сдвига Крейна-Бирмана (св. с теорией рассеяния)
2) Оператор с периодическим или п.периодическим потенциалом, или однородным случайным. Тогда ответ дается в терминах плотности состояний.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #893130 писал(а):

а краевые условия там есть?

В случае ящика - как всегда, $\Psi=0$ на границе. Тогда и за пределы обычных интегрируемых функций не выходим.

Neos в сообщении #893137 писал(а):

Насчет плоских волн я погорячился.

Прычом два раза. Потому что $A$ у вас вряд ли будет можно принять константой. Вот оговорить её асимптотическое поведение - можно.

Red_Herring
Ваш ответ весь на непонятном языке :-)

[Red_Herring]

Munin в сообщении #893148 писал(а):

Red_Herring
Ваш ответ весь на непонятном языке

Я говорю на языке спектральной теории. А на каком языке Вы хотите услышать ответ?

Поясняю: если у Вас есть оператор с дискретным спектром в данном интервале $(-\infty, \Lambda)$ (т.е. ничего кроме собственных значений, причем конечной кратности, причем без точек накопления), то ответ со времен Г.Вейля дается в терминах eigenvalue counting function $N(\lambda)$ число с.з. с кратностями, лежащими в $(-\infty,\lambda)$. И эта задача обсуждалась еще до квантовой механики Рэлеем и Лоренцем.

Но Ваш оператор не такой. Хуже того, он не полуограсничен снизу. В данном случае это не беда, т.к. потенциал уходит на $-\infty$ не быстрее $x^2$. Однако для скажем $-x^4$ ситуация усложняется: мы можем ввести оператор с областью определения состоящей из $C^2$ функций с компактным носителем, затем замкнуть оператор, но результатом будет симметрический, но не самосопряженный оператор $H_0$ и нам придется рассмотреть его самосопряженное расширение $H$: $H_0\subset H=H^*\subset H_0^*$ (в силу вещественности индексы дефекта совпадают и потому самосопряженное расширение существует).

Помните из наших PM? У симметрического, но несамосопряженного оператора с.ф. недостаточно (пример: $-d^2/dx^2$ на $(0,\pi)$ с гр. условиями $u(0)=u'(0)=u(\pi)=u'(\pi)=0$ вообще не имеет собственных функций, а весь спектр $=\mathbb{C}$ остаточный), а ему сопряженный имеет их чересчур много (у сопряженного к этому $-d^2/dx^2$ на $(0,\pi)$ без каких либо гр. условий весь спектр $=\mathbb{C}$ чисто точечный).

Это к вопросу о том, почему самосопряженность столь существенна в этом обсуждении.

Затем в моем посте я обсуждал, чем заменить eigenvalue counting function, причем не только в сравнительнон малоинтересном случае потенциала $-x^2$, но например $(1+x^2)^{-1}$ или $\sin (x)$ (это принципиально разные случаи, причем операторы с периодическими потенциалами первыми начали рассматривать именно физики — специалисты по кристаллам).

Если захочется, обсуждение можно продолжить.

[Red_Herring]

Кстати, Ваш любимый прием: рассмотреть оператор на кубе, малоприменим во всех случаях, кроме операторов с периодическими потенциалами, и им подобным. Именно, рассмотрим $H_L$ такой же оператор, но на кубе $[0,L]^n$; там спектр дискретен (граничные условия можно периодические, можно Дирихле, результат от них не зависит—если не брать что-либо совсем экзотического). Тогда $N_L(\lambda)$ имеет смысл. Рассмотрим $\lim_{L\to \infty} L^{-n}N_L(\lambda)$. Это—интегрированная плотность состояний. А ее производная по $\lambda$ плотность состояний.

[g______d]

Хм, я немного поискал, что-то находится по словам "inverted oscillator" или "harmonic oscillator negative mass", но только физическое.

Подозреваю, что спектр чисто абсолютно непрерывный и заполняет всю ось.

Red_Herring в сообщении #893142 писал(а):

Ответ с хорошей точностью дается поточечной формулой Вейля (H.Weyl)

$$ E(x,x,\lambda,h) \approx (2\pi h)^{-n} \omega_n (\lambda -V(x))_+^{n/2} $$

А эта формула выдерживает симметрию $\lambda\to -\lambda$? Если я не торможу, то оператор унитарно эквивалентен минус себе (преобразование Фурье).

[Red_Herring]

g______d в сообщении #893286 писал(а):

Хм, я немного поискал, что-то находится по словам "inverted oscillator" или "harmonic oscillator negative mass", но только физическое.

Подозреваю, что спектр чисто абсолютно непрерывный и заполняет всю ось.

Red_Herring в сообщении #893142 писал(а):

Ответ с хорошей точностью дается поточечной формулой Вейля (H.Weyl)

$$ E(x,x,\lambda,h) \approx (2\pi h)^{-n} \omega_n (\lambda -V(x))_+^{n/2} $$

А эта формула выдерживает симметрию $\lambda\to -\lambda$? Если я не торможу, то оператор унитарно эквивалентен минус себе (преобразование Фурье).

Ну, то что спектр абсолютно непрерывный и заполняет всю ось—факт медицинский. Я подозреваю, что оператор унитарно эквивалентен оператору умножения на $z$ в $L^2(\mathbb{R}_z, \mathbb{S}^{n-1})$. Кроме того я подозреваю, что обобщенные с.ф. будут $v(x,\lambda)e^{\pm ix^2/2 h}$ где асимптотику $v$ можно найти ($V(x)=-x^2/2$). Скорее всего, это даже где–то найдено, особенно при $n=1$. Вопрос, насколько это нужно?

Разумеется, эта формула не должна выдерживать унитарную симметрию просто потому что пространственная переменная $x$ выделена. Но можно рассмотреть например

$$ \operatorname{Tr} \bigl[a(x,hD) (E(\lambda)-E(0))\bigr] \approx (2\pi h)^{-n} \iint a(x,\xi) \bigl[(\lambda -V(x))_+^{n/2}-(-V(x))_+^{n/2}\bigr]\,dx d\xi $$

с быстро убывающим символом $a(x,\xi)$. Здесь я дополнительно меняю "начало отсчета" с $-\infty$ до $0$ путем вычитания $E(0)$ и $(-V(x))_+^{n/2}$ слева и справа (т.е. "уравниваю в правах" $\lambda=+\infty$ и $\lambda=ь\infty$

Casey Ryback aka Steven Segal писал(а):

Nobody beats me in the kitchen

Замечание. Если говорить о потенциале, который чисто квадратичен, то есть класс самоспоряженных квадратичных гамильтонианов с вещественными коэффициентами, $a_{jk}=a_{kj}$, $c_{jk}=c_{kj}$

$$ H= \sum a_{jk} \Bigl(D_jD_k + b_{jk} (x_jD_k+D_kx_j) + c_{jk}x_jx_k\Bigr), \qquad D_j=-i\partial_j $$

и операторы $e^{-itH}$ это т.н. метаплектические операторы Лерэ. Операторный аналог и двулистное накрытие группы линейных симплектических отображений. Кое что есть в приложении к "Мат. методы класс мех" В.И.Арнольда.

-- 04.08.2014, 05:41 --

Мне думается, что стоит перенести в "Математику" (ДП или ПРР)

[Munin]

Red_Herring
Спасибо, начал кое-что улавливать (но со второго вашего сообщения, первое всё ещё непонятно :-) ).

Кстати, вы мне подали идею, рассмотреть вместо обрезания $|x|<L/2$ периодические граничные условия $x\in\mathbb{R}/\pi\mathbb{Z},$ и вместо потенциала $\tfrac{k}{2}x^2$ - потенциал $\tfrac{k}{2}\sin^2x.$ Хотя, наверное, качественно ничего не изменится, но не такая "искусственная" формулировка.

g______d в сообщении #893286 писал(а):

Хм, я немного поискал, что-то находится по словам "inverted oscillator" или "harmonic oscillator negative mass", но только физическое.

Спасибо, интересно! А чего именно нагуглилось? Особенно интересно что-нибудь типа tutorial, introduction, review.

-- 04.08.2014 17:17:03 --

Red_Herring в сообщении #893294 писал(а):

Мне думается, что стоит перенести в "Математику" (ДП или ПРР)

Хотите - переносите, но изначальный интерес у меня был физический. В смысле, насколько надо бояться отрицательной массы и незнакоопределённости в КТП.

(TeX)

Кстати, здесь на форуме есть ещё такой глюк, что после формул в $$ ... $$ вставляется дополнительный перенос строки. Чтобы избежать его, надо после закрывающего $$ не переносить строку в сообщении. Я просил исправить, админы считают, что не надо.

[Red_Herring]

Я завтра на свежую голову постараюсь выписать явные формулы. А от жары мозги плавятся

[Red_Herring]

Обещанное. Я рассмотрю $n=1$ но обобщения на многомерный случай несложно. Рассмотрим группу Ли $\mathcal{A}$ симплектических $2n\times 2n$ матриц (т.е. вещественных матриц, при $n=1$ с определителем 1). Соответствующая алгебра Ли состоит из квадратичных полиномов 2х переменных $p,q$ со стандартной операцией $\{p,q\}=1$ и т.д. В этой группе есть две интересные 1мерные подгруппы, порождаемые $(p^2+q^2)/2$ и $(p^2-q^2)/2$; остальные либо изоморфны одной из них, либо неинтересной порожденной $p^2$.

Эти группы состоят из матриц $\begin{pmatrix} \cos (t) & \sin(t)\\ -\sin (t) & \cos(t)\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} \cosh (t) & \sinh(t)\\ \sinh (t) & \cosh(t)\end{pmatrix}$ соответственно.

Рассмотрим алгебру Ли квадратичных операторов $\frac{1}{2} \bigl(aD^2 + b(xD+Dx)+ cx^2\bigr)$ в $L^2(\mathbb{R})$. Естественно определенная, эти операторы самосопряжены и групповая операция — коммутастор с умножением на $i$; $D=-i\partial_x$. Можно рассмотреть соответствующую группу Ли $\mathcal{M}$ , ее элементы—метаплектические операторы, и она почти изоморфна $\mathcal{A}$, но есть разница. Одномерная группа порожденная $(p^2+q^2)/2$ имеет период $2\pi$, a одномерная группа порожденная $(D^2+x^2)/2$ — антипериод $2\pi$ и период $4\pi$ и $\mathcal{M}$—двулистное накрытие $\mathcal{A}$.

Формулы в след. посте.

[Red_Herring]

Пусть $U(x,y,t)$ — ядро Шварца $e^{i\hbar^{-1}tH}$. Тогда

Для $H=\frac{1}{2}(\hbar^2D^2 +x^2)$

$$(2\pi\hbar)^{-\frac{1}{2}} e^{\frac{i\pi}{4}\sigma(t)}|\sin (2t)|^{-\frac{1}{2}} \times \\ \exp\Bigl(-\frac{i}{2}\hbar^{-1} \bigl( \cot(2t)(x^2+y^2)-2xy\csc (2t)\bigr)\Bigr),$$

$\sigma(t)=1,2,3,4$ на $(0,\pi/2)$, $(\pi/2,\pi)$, $(\pi,3\pi/2)$, $(3\pi/2,2\pi)$ и далее $2\pi$-периодична.

Для $H=\frac{1}{2}(\hbar^2D^2 -x^2)$

$$(2\pi\hbar)^{-\frac{1}{2}} e^{\frac{i\pi}{4}\sigma(t)}|\sinh (2t)|^{-\frac{1}{2}} \times \\ \exp\Bigl(-\frac{i}{2}\hbar^{-1} \bigl( \coth(2t)(x^2+y^2)-2xy\operatorname{csch} (2t)\bigr)\Bigr),$$

$\sigma(t)=-1,1$ на $(-\infty,0)$, $(0,\infty)$.

Пусть $e(x,y,\lambda)$ — ядро Шварца $\theta (\lambda-H)$. Тогда

$$ \partial _\lambda e(x,y,\lambda ) = (2\pi \hbar)^{-1}\int e^{-i\hbar^{-1}t\tau} U(x,y,t) \,dt $$

Я могу ошибиться в каких-то знаках при $i$. В определенных областях можно применять метод стационарной фазы.