Red_Herring
Ваш ответ весь на непонятном языке
![Smile :-)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Я говорю на языке спектральной теории. А на каком языке Вы хотите услышать ответ?
Поясняю: если у Вас есть оператор с дискретным спектром в данном интервале
![$(-\infty, \Lambda)$ $(-\infty, \Lambda)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/0/41096c3eb4412a85a0aa7d7a2456019c82.png)
(т.е. ничего кроме собственных значений, причем конечной кратности, причем без точек накопления), то ответ со времен Г.Вейля дается в терминах eigenvalue counting function
![$N(\lambda)$ $N(\lambda)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/c/8ecd907623d305e630b766da1fe5d61282.png)
число с.з. с кратностями, лежащими в
![$(-\infty,\lambda)$ $(-\infty,\lambda)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/0/2e00995019fe3a624ab78ab3503913e282.png)
. И эта задача обсуждалась еще до квантовой механики Рэлеем и Лоренцем.
Но Ваш оператор не такой. Хуже того, он не полуограсничен снизу. В данном случае это не беда, т.к. потенциал уходит на
![$-\infty$ $-\infty$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/5/1d5ba78bbbafd3226f371146bc34836382.png)
не быстрее
![$x^2$ $x^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/7/6177db6fc70d94fdb9dbe1907695fce682.png)
. Однако для скажем
![$-x^4$ $-x^4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/6/a46c42233bbfa389b8121f46dd6ecf1a82.png)
ситуация усложняется: мы можем ввести оператор с областью определения состоящей из
![$C^2$ $C^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/4/c34857fcd155308365749e5426dd4ac282.png)
функций с компактным носителем, затем замкнуть оператор, но результатом будет симметрический, но не самосопряженный оператор
![$H_0$ $H_0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/0/30074edb23bec8e7c47c584ff885e5b582.png)
и нам придется рассмотреть его самосопряженное расширение
![$H$ $H$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/9/7b9a0316a2fcd7f01cfd556eedf72e9682.png)
:
![$H_0\subset H=H^*\subset H_0^*$ $H_0\subset H=H^*\subset H_0^*$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/e/fde9b32375936f1b34f7c1bba0dabb7482.png)
(в силу вещественности индексы дефекта совпадают и потому самосопряженное расширение существует).
Помните из наших PM? У симметрического, но несамосопряженного оператора с.ф. недостаточно (пример:
![$-d^2/dx^2$ $-d^2/dx^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/c/5cc5f93a103351099f5caff81ed05ee682.png)
на
![$(0,\pi)$ $(0,\pi)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/c/d2cc1602a17011fb5b6b848e9a13300c82.png)
с гр. условиями
![$u(0)=u'(0)=u(\pi)=u'(\pi)=0$ $u(0)=u'(0)=u(\pi)=u'(\pi)=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/8/ca8c81a39be5690b22b3ce3200b68f2a82.png)
вообще не имеет собственных функций, а весь спектр
![$=\mathbb{C}$ $=\mathbb{C}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/a/0fae327bbe5ec5b429a682f701e3119c82.png)
остаточный), а ему сопряженный имеет их чересчур много (у сопряженного к этому
![$-d^2/dx^2$ $-d^2/dx^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/c/5cc5f93a103351099f5caff81ed05ee682.png)
на
![$(0,\pi)$ $(0,\pi)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/c/d2cc1602a17011fb5b6b848e9a13300c82.png)
без каких либо гр. условий весь спектр
![$=\mathbb{C}$ $=\mathbb{C}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/a/0fae327bbe5ec5b429a682f701e3119c82.png)
чисто точечный).
Это к вопросу о том, почему самосопряженность столь существенна в этом обсуждении.
Затем в моем посте я обсуждал, чем заменить eigenvalue counting function, причем не только в сравнительнон малоинтересном случае потенциала
![$-x^2$ $-x^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/4/134a7d02fdbe888a5b2a6eb1f85649b082.png)
, но например
![$(1+x^2)^{-1}$ $(1+x^2)^{-1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/c/46c0a348dd504a58d7d87937e58d461f82.png)
или
![$\sin (x)$ $\sin (x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/4/774f0b8a9843312ba86af5d98f9aca2282.png)
(это принципиально разные случаи, причем операторы с периодическими потенциалами первыми начали рассматривать именно физики — специалисты по кристаллам).
Если захочется, обсуждение можно продолжить.