Теория поля

[Munin]

Распишу всё аккуратнее. Итак, сначала направления векторов.

Для $k^2\ne 0$ существует два варианта (как базисные):
- вектор $\parallel k,$ и может быть представлен как произведение $k$ на множитель (1 измерение);
- вектор $\perp k$ (3 измерения).
Для $k^2=0$ существует три варианта:
- вектор $\parallel k,$ и может быть представлен как произведение $k$ на множитель, и при этом он же $\perp k$ (1 измерение);
- вектор $\perp k,\nparallel k$ (2 измерения);
- вектор линейно дополнителен к плоскости $\perp k.$ Можно выбрать любой, выберу по традиции чисто временно́е направление - ось $0$ (1 измерение).

Дальше. Поскольку мы имеем в силу $\delta(k+k')$ условие, что $k'=-k,$ то в каждом слагаемом для действия участвуют и $a_\mu(k),$ и $a_\mu(-k).$ Обозначим их дальше для простоты $a^{(+)}$ и $a^{(-)}$ (нетрудно видеть, что они "положительно-частотные" и "отрицательно-частотные"). Аналогично обозначим и $\widetilde{\jmath}^{(-)}$ (плюсовые нам не понадобятся). И поехали разбирать все случаи ориентации $a_\mu.$

I.1. $k^2\ne 0,\quad a\parallel k,\quad a_\mu=k_\mu c.$ Потенциал - чистая калибровка. Действие включает в себя множители $(k_\mu a_nu-k_\nu a_\mu),$ которые зануляются в силу $a\parallel k.$ Остаётся

$$S_k=0-e\widetilde{\jmath}^{(-)}_\mu k_\mu c^{(+)}.$$

Это, как я уже говорил, чисто "неправильная" часть тока, то есть

$$S_k=-e(k_\mu \widetilde{\jmath}^{\parallel(-)}_\mu)c^{(+)}.$$

При условии на калибровку $c^{(+)}$ мы получаем какое-то конкретное значение, минимизирующее данное слагаемое действия, а нет - так нет. Кстати, забавно, мы можем наложить условие не только в виде связи, но и в виде, скажем, дополнительного потенциала $\alpha c^2.$ Не, это отклонение в сторону. Пока зафиксируем, что мы получили слагаемое в виде [Alex-Yu post884429.html#p884429 ], то есть, $S=L_{ij}a_ia_j+j_ia_i$ - с нулевой квадратичной частью.

I.2. $k^2\ne 0,\quad a\perp k,\quad a_\mu=e^\alpha_\mu b_\alpha.$ Потенциал - часть без калибровки. Действие (берём слагаемое, соответствующее и $k,$ и $-k$):

$$S_k=(k_\mu a^{(+)}_\nu-k_\nu a^{(+)}_\mu)(k_\nu a^{(-)}_\mu-k_\mu a^{(-)}_\nu)-e\widetilde{\jmath}^{(-)}_\mu a^{(+)}_\mu\quad+\mathrm{symm.}^{(\mp)}$$

$$=-2k^2(a^{(+)}a^{(-)})+2(ka^{(+)})(ka^{(-)})-e\widetilde{\jmath}^{\perp(-)}_\mu a^{(+)}_\mu\quad+\mathrm{symm.}^{(\mp)}$$

$$=-2k^2(a^{(+)}a^{(-)})-e\widetilde{\jmath}^{\perp(-)}_\mu a^{(+)}_\mu\quad+\mathrm{symm.}^{(\mp)}$$

Отметим, что получилось действие как раз в виде [Alex-Yu], то есть, $S=L_{ij}a_ia_j+j_ia_i$ - с ненулевой квадратичной частью. Хотя неприятно незнакоопределённой. Это действие есть обычное действие электродинамики.

II.1. $k^2=0,\quad a\parallel k,a\perp k,\quad a_\mu=k_\mu c.$ Всё точно так же, как в I.1.
II.2. $k^2=0,\quad a\perp k,a\nparallel k,\quad a_\mu=e^\alpha_\mu b_\alpha.$ Всё точно так же, как в I.2.
II.3. $k^2=0,\quad a$ линейно независим от плоскости $\perp k,\quad a_\mu=a_{\mu=0}=a_0,\quad \forall v\colon v_\mu a_{\mu=0}=v_0 a_0.$ Берём для примера чисто временно́е направление. Действие (берём слагаемое, соответствующее и $k,$ и $-k$):

$$S_k=(k_\mu a^{(+)}_{\nu=0}-k_\nu a^{(+)}_{\mu=0})(k_\nu a^{(-)}_{\mu=0}-k_\mu a^{(-)}_{\nu=0})-e\widetilde{\jmath}^{(-)}_\mu a^{(+)}_{\mu=0}\quad+\mathrm{symm.}^{(\mp)}$$

$$=-2k^2(a^{(+)}_0 a^{(-)}_0)+2k_0^2 a^{(+)}_0 a^{(-)}_0-e\widetilde{\jmath}^{(-)}_0 a^{(+)}_0\quad+\mathrm{symm.}^{(\mp)}$$

$$=2k_0^2 a^{(+)}_0 a^{(-)}_0-e\widetilde{\jmath}^{(-)}_0 a^{(+)}_0\quad+\mathrm{symm.}^{(\mp)}$$

Это интересный вариант. Про последний член нельзя сказать, что он описывает только сохраняющийся ток, поскольку $k\widetilde{\jmath}^{(-)}_0\ne 0.$ Хотя всё равно, мы опять пришли к форме действия [Alex-Yu] $S=L_{ij}a_ia_j+j_ia_i.$

Кроме случая II.3, везде торжествует найденный нами совместными усилиями порядок.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884469 писал(а):

Если честно, не помню, какой пропагатор в какой калибровке.

Наиболее широко известны два фотонных пропагатора. Фейнмановский

$$ D_{\mu\nu}(k)=\frac{\delta_{\mu\nu}}{k^2} $$

и поперечный пропагатор Ландау

$$ D_{\mu\nu}(k)=\frac{\delta_{\mu\nu}-k_{\mu}k_{\nu}/k^2}{k^2} $$

В последнем в числителе как раз проектор на сохраняющийся ток Помним, что на классическом уровне

$$ A_{\mu}(k)=D_{\mu\nu}(k)j_{\nu}(k) $$

-- Вс июл 06, 2014 21:01:23 --

Munin в сообщении #884469 писал(а):

А вот это заклинание "не квантуются" мне как раз всегда было непонятно. Физически должно квантоваться как раз всё!

Не-а. Квантоваться должны только динамические (!) переменные. Т.е. степени свободы имеющие свою собственнную, "внутренюю" динамику. Калибровочные степени свободы динамики (определяемой лагранжианом) не имеют, их зависимость от времени произвольна. А то так и $2=2$ можно проквантовать и получить, что иногда равно, а иногда не очень, только в среднем равно

Можно, конечно, проквантовать и калибровочные степени свободы (по Гупта-Блейеру). Но тогда индефенитная метрика в пространстве состояний: вектора состояний отличающиеся числом "калибровочных фотонов" отличаются на слагаемое с нулевой нормой. Т.е. фактически это одни и те же состояния. Своего рода факторизация.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #884578 писал(а):

Наиболее широко известны два фотонных пропагатора.

И таки какой в какой калибровке? :-)

Alex-Yu в сообщении #884578 писал(а):

Не-а. Квантоваться должны только динамические (!) переменные.

Не-а. С чего это вдруг? С того момента, как мы знаем рецепт квантования, мы можем квантовать хоть чёрта лысого, лишь бы у него было действие.

И может быть, ответ будет получаться странный. Но надо покумекать, и сообразить, что он значит.

Повторяю: мы берём, ну хотя бы, $S=a_1^2+0a_2^2,$ и спокойненько записываем $e^{iS}=e^{i(a_1^2)},$ $A=\int e^{iS},$ и видим, что основной вклад ("квазиклассическая траектория") даёт окрестность прямой $a_1=0,\forall a_2.$ Ну и что тут такого???

Alex-Yu в сообщении #884578 писал(а):

Калибровочные степени свободы динамики (определяемой лагранжианом) не имеют, их зависимость от времени произвольна.

В классике, да. Я эти заклинания и сам знаю, и могу наизусть повторять. У них же всё-таки смысл понимать надо.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884586 писал(а):

И таки какой в какой калибровке?

Слова "поперечный пропагатор" и "пропагатор в поперечной калибровке" очевидным образом имеют один смысл.

[Munin]

Я не был так уверен :-) А фейнмановский в какой?

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884586 писал(а):

лишь бы у него было действие.

Не-а. Лишь бы его динамика определялась действием.

[Munin]

Например, для массивного, скалярного и гравитационного полей я смогу навскидку записать только фейнмановский.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884589 писал(а):

А фейнмановский в какой?

А не в какой, в неопределенной. Во всяком случае для несохраняющегося тока. Для ландаувовского имеем тупым счетом:

$$ k_{\mu}A_{\mu}=0 $$

Совершенно независимо от того, какой ток. А для фейнмановского получается

$$ k_{\mu}A_{\mu}=\frac{k_{\nu}j_{\nu}}{k^2} $$

Свертка с $k_{\mu}$ это как раз 4-дивергенция, как Вы понимаете.

[Munin]

$\exists$ действие $\Leftrightarrow$ $\exists$ динамика, которая определяется этим действием.

(Оффтоп)

По крайней мере, в сторону "$\Rightarrow$" точно. А в обратную - это может быть "$\nLeftarrow$", если только копаться в не физических, а абстрактно-математических смыслах слова "динамика". Нам это неинтересно.

-- 06.07.2014 18:33:02 --

Тогда, значит, всё-таки какой-то проектор там наверху стоит. Может быть, не в пропагаторе, а в вершине, что одно и то же. Потому что я помню, что продольные волны Фейнман отбрасывал явным образом.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884596 писал(а):

$\exists$ действие $\Leftrightarrow$ $\exists$ динамика, которая определяется этим действием.

Не-а. Из действия должны получаться вполне определенные канонические импульсы, зависящие от степеней свободы. А если лагранжиан такой, что какие-то канонические импульсы просто тождественно нулевые, то этот номер не проходит. Нельзя заменить на оператор тождественный ноль! И даже просто число, не функцию координат. Если у Вас в лагранжиане встерчается, скажем, двойка, то Вы же ее не заменяете на оператор, не так ли?

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #884600 писал(а):

Не-а. Из действия должны получаться вполне определенные канонические импульсы, зависящие от степеней свободы.

Не-а. Можно сформулировать теорию в более ущербном пространстве, чем чётномерное фазовое. Собственно, вы это и сделали, предложив $S=L_{ij}a_ia_j+j_ia_i,$ и я не вижу ничего плохого в том, как я предлагаю его проквантовать.

Alex-Yu в сообщении #884600 писал(а):

А если лагранжиан такой, что какие-то канонические импульсы просто тождественно нулевые, то этот номер не проходит.

Это проблема лично импульсов. И попыток проквантовать гамильтонову картину - просто потому, что эта гамильтонова картина отсутствует как факт. Но проквантовать лагранжеву картину это не мешает.

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #884600 писал(а):

Если у Вас в лагранжиане встерчается, скажем, двойка, то Вы же ее не заменяете на оператор, не так ли? :-)

Ну вообще-то, это оператор умножения на константу, но это совсем в сторону...

-- 06.07.2014 18:45:57 --

Вот проквантовать действие, если бы оно было первой степени, я бы не мог, это да.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884607 писал(а):

Но проквантовать лагранжеву картину это не мешает.

Строго говоря, квантуется только каноническая динамика. А квантование лагранжевой системы --- это уже "скользкие игры". Иногда, правда, выходит нечто разумное. Но не обязательно.

На языке континуального интеграла нет разницы только в одном случае: когда кинетическое слагаемое --- невырожденная квадратичная форма. Тогда конт. интеграл по $dp_1\dots dp_N$ $N \to\infty$ берется одним махом и мы приходим к конт. интегралу только по координатам, без интеграла по импульсам. А если эта форма вырождена... То тут и начинается "Исходный" конт. интеграл это интеграл и по координатам (полям), и по сопряженным к ним импульсам.

Кстати, весь трюк Фаддеева-Попова и заключается в том, чтобы убрать конт. интегрирование (т.е. квантование) по калибровочным степеням свободы. А нетривиальномсть этой операции в том, что при этом, вообще говоря, "плывет" мера.

[Munin]

Собственно. Возьмём вашу задачу на минимизацию $S=L_{ij}a_ia_j+j_ia_i,$ и назовём $a_i$ "скоростями". Добавим ещё столько же переменных $x_i,$ и назовём их "положениями". Очевидно, минимум действия будет отвечать любому набору $(x_i),$ что очень хорошо соответствует 1 закону Ньютона для свободной системы. Теперь мы имеем полное право назвать $\pi_i=\partial S/\partial a_i=(L_{ij}+L_{ji})a_j+j_i$ "импульсами". И развлекайтесь уже сколько влезет: у вас есть фазовое пространство, можно устраивать каноническое квантование.

Немного суховато и алгебраично получилось, но почему бы и нет? Насколько я помню, в SUSY та же петрушка.

-- 06.07.2014 19:03:19 --

Alex-Yu в сообщении #884610 писал(а):

Строго говоря, квантуется только каноническая динамика. А квантование лагранжевой системы --- это уже "скользкие игры".

Строго говоря, оригинальный метод Фейнмана - как раз для лагранжевой системы, а на гамильтонову его перенесли уже позже.

-- 06.07.2014 19:05:21 --

Alex-Yu в сообщении #884610 писал(а):

А нетривиальномсть этой операции в том, что при этом, вообще говоря, "плывет" мера.

А почему? Вообще говоря, если проецирование линейное, то не должна "плыть". Как я уже говорил, проблема только в нелинейном случае (например, для квадратичной формы $S=a_1^2+0a_2^2$ возьмём "калибровку" $a_2=a_1^2$).

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884618 писал(а):

Теперь мы имеем полное право назвать $\pi_i=\partial S/\partial a_i=(L_{ij}+L_{ji})a_j+j_i$ "импульсами".

Матрица-то врождена. Некоторые импульсы просто равны заданным токам. См. еще выше, добавил.

-- Вс июл 06, 2014 22:07:37 --

Munin в сообщении #884618 писал(а):

если проецирование линейное, то не должна "плыть".

Слова "вообще говря" означают что не всегда, но в некотрых случаях. Для неабелевых полей "плывет". Трюк заключается в том, что это можно свести к взаимодействию с "духами". Кстати, нечто подобное возникает в теории спиновых волн. Возникает так называемое "кинематическое" взаимодействие Дайсона. Просто потому, что спин нельзя перевернуть "более чем совсем". В 70-х была работа Криворучко-Барьяхтара-Яблонского где они такое кинематическое взаимодействие свели тоже к "духам" типа попов-фаддеевских. Книжка еще была потом написана. Название не помню...

-- Вс июл 06, 2014 22:12:17 --

Munin в сообщении #884618 писал(а):

Строго говоря, оригинальный метод Фейнмана - как раз для лагранжевой системы, а на гамильтонову его перенесли уже позже.

Строго говоря, сначала на эту тему написал Дирак, показал, что можно из канонического квантования вытащить нечто, аналогичное лагранжиану. И Фейнман сам рассказывал, что с чтения этой статьи все и началось. Я же не говорю что никогда нельзя прийти к чисто лагранжевому варианту. Но не всегда можно. Дирак потом еще целую науку придумал на счет квантования вырожденых систем (типа калибровочных). Скобки там Дирака и пр.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #884621 писал(а):

Некоторые импульсы просто равны заданным токам.

Ну, равны. Не всем же быть здоровым, счастливым и с двумя ножками. Вы квантуйте, Шура, квантуйте...

Alex-Yu в сообщении #884578 писал(а):

Можно, конечно, проквантовать и калибровочные степени свободы (по Гупта-Блейеру). Но тогда индефенитная метрика в пространстве состояний: вектора состояний отличающиеся числом "калибровочных фотонов" отличаются на слагаемое с нулевой нормой. Т.е. фактически это одни и те же состояния. Своего рода факторизация.

Вот это добавили?

Я не против. Правда, я бы не назвал это вообще "числом калибровочных фотонов". В том взгляде, который вижу я, там фотонов (причём истинных) ровно столько же. Смещение вдоль калибровки (вырожденного направления кв. формы) фотонов не добавляет.

-- 06.07.2014 19:15:13 --

Alex-Yu в сообщении #884621 писал(а):

Строго говоря, сначала на эту тему написал Дирак, показал, что можно из канонического квантования вытащить нечто, аналогичное лагранжиану. И Фейнман сам рассказывал, что с чтения этой статьи все и началось.

Ну да, и я эту статью читал, и той конфетки, что сделал Фейнман, у Дирака всё-таки не было.

Alex-Yu в сообщении #884621 писал(а):

Я же не говорю что никогда нельзя прийти к чисто лагранжевому варианту.

Ну и отлично. Так что? Вернёмся к квантованию $S=L_{ij}a_ia_j+j_ia_i$? В чистом виде, без импульсов, по Фейнману.