Вычислить степень матрицы

[fronnya]

Вычислить $\begin{pmatrix} 43 & -24 \\ 70 & -39 \end{pmatrix}^{10}$, используя, что $\begin{pmatrix} 43 & -24\\ 70 & -39 \end{pmatrix}$$=$$ \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 5 & 7\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 5 & 7\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 7 & -4\\ -5 & 3\end{pmatrix}$$=$ $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
Помогите, пожалуйста, не знаю, как даже подступиться. Тут умножение некоммутативно вроде.. Как тогда делать ?

Lia: fronnya Придумывайте информативные названия для тем. Изменено.

[nnosipov]

А Вы для начала не 10-ю, а 2-ю степень найдите.

[Red_Herring]

fronnya в сообщении #884540 писал(а):

Тут умножение некоммутативно вроде

Если $AB=I$ единичная матрица, то $BA=?$ (речь идет о квадратных матрицах)

[fronnya]

nnosipov в сообщении #884543 писал(а):

А Вы для начала не 10-ю, а 2-ю степень найдите.

$\begin{pmatrix} 169 & 1968 \\ 280 & -509\end{pmatrix}$ и?

[nnosipov]

fronnya, да не так. А выписав все 6 сомножителей. Поскольку автор задачи оказался коварен, нужно ещё подумать об этом:

Red_Herring в сообщении #884544 писал(а):

Если $AB=I$ единичная матрица, то $BA=?$

[fronnya]

Red_Herring в сообщении #884544 писал(а):

Если $AB=I$ единичная матрица, то $BA=?$ (речь идет о квадратных матрицах)

Тоже $1$, но я не об этом. Я о первом равенстве. Там нельзя переставить матрицы местами так, чтобы использовать второе равенство.

-- 06.07.2014, 14:49 --

nnosipov в сообщении #884549 писал(а):

fronnya, да не так. А выписав все 6 сомножителей.

$\begin{pmatrix} 43^2-24\cdot 70 & 82\cdot 24 \\ 4\cdot 70 & 39^2 - 70\cdot 29\end{pmatrix}$

[nnosipov]

fronnya в сообщении #884550 писал(а):

Я о первом равенстве. Там нельзя переставить матрицы местами так, чтобы использовать второе равенство.

В первом нельзя. А вот когда дважды правую часть напишите, откроется калитка.

Да не те 6 сомножителей!!!

[Munin]

Если матрицу можно записать в виде произведения $M=ABC,$ то дальше её квадрат будет $M^2=(ABC)(ABC)=AB(CA)BC.$ Это связано со свободой перестановки скобок - с ассоциативностью. Коммутативность здесь ещё не используется.

А теперь вычислите $CA.$

[Nemiroff]

fronnya в сообщении #884550 писал(а):

Тоже $1$

А вы это можете доказать?

[fronnya]

nnosipov в сообщении #884551 писал(а):

А вот когда дважды правую часть напишите, откроется калитка.

Да, точно, открылась.

[nnosipov]

Nemiroff в сообщении #884555 писал(а):

А вы это можете доказать?

Легко. Возьмёт да и перемножит те две матрицы в обратном порядке.

[fronnya]

Munin в сообщении #884554 писал(а):

$CA.$

$1$

[Munin]

Вас (и задачник, и собеседники на форуме) постепенно подводят к тому, чтобы вы, увидев произведение матриц, не бросались на них сразу с саблей на полном скаку, а сначала попробовали "упростить выражение". Оставаясь на уровне "матрица на матрицу".

-- 06.07.2014 17:06:42 --

fronnya в сообщении #884558 писал(а):

Munin в сообщении #884554 писал(а):

$CA.$

$1$

Отлично, значит $M^2=AB(CA)BC=ABBC=AB^2C.$

А теперь можете догадаться, как в этом виде будет выглядеть $M^3$? $M^n$?

[fronnya]

Munin в сообщении #884560 писал(а):

А теперь можете догадаться, как в этом виде будет выглядеть $M^3$? $M^n$?

Да, я только вот собрался писать это. $M^n=AB^{n}C$

[Nemiroff]

nnosipov в сообщении #884557 писал(а):

Легко. Возьмёт да и перемножит те две матрицы в обратном порядке.

Тогда он не воспользуется вторым равенством из данных. Я же явно про общий случай спрашиваю, и Red_Herring писал про общий.