Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[ewert]

mishafromusa в сообщении #882030 писал(а):

Ещё один пример стрельбы из пушки по воробьям -- это использование теоремы Лагранжа для доказательства возрастания функции с положительной производной. Для теоремы Лагранжа нужна компактность, а для теоремы о возрастании она не нужна, достаточно полноты. Беря точную верхнюю грань

Типичный пример патологической инверсии приоритетов. Лагранж -- это Ролль в одну фразу (и к тому же геометрически очевиден), Ролль же (ещё более геометрически очевидный) -- Вейерштрасс в не менее одну, сам же по себе Вейерштрасс очевиден (и необходим) всем, хоть для своего обоснования и требует столь ненавидимой Вами компактности. По совокупности: все три товарища абсолютно святы.

Вы же предлагаете для формального обоснования монотонности использовать вместо этой геометрически совершенно прозрачной цепочки какую-то мутотень с супремумами.

[g______d]

Между прочим, по поводу компактности: предположим, что нам известно, что любая непрерывная на отрезке функция ограничена. Тогда достижение ей максимума доказывается в 1 строчку рассмотрением функции $\frac{1}{M-f(x)}$, где $M=\sup\limits_{x\in [a,b]}f(x)$; как раз трюк с неравенством, как Вы любите.

А ограниченность непрерывной функции – формально говоря, конечно, следствие компактности интервала, но знание полноты превращает доказательство тоже примерно в одну строчку: предположим, что $f(x_n)$ неограниченно возрастает, поделим отрезок пополам, и т. д.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #882054 писал(а):

Munin, зачем продолжать говорить, когда сказать нечего?

Вот я на вас смотрю, и задаюсь тем же вопросом.

Xugin в сообщении #882057 писал(а):

А что послужило выбором приоритета физики, если вопрос не слишком личный?

Нравилась, была интересной. Вы что, думаете, это я расчётливо решал, что мне выбирать, что полюбить?

[Xugin]

Munin в сообщении #882066 писал(а):

Вы что, думаете, это я расчётливо решал, что мне выбирать, что полюбить?

Нет, не думаю. Просто интересно как выбор был сделан.

[ewert]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #882062 писал(а):

предположим, что нам известно, что любая непрерывная на отрезке функция ограничена. Тогда достижение ей максимума доказывается в 1 строчку рассмотрением функции $\frac{1}{M-f(x)}$, где $M=\sup\limits_{x\in [a,b]}f(x)$

Я предпочитаю более тупой (и традиционный) подход: вторую теорему тоже доказывать бисекцией с выходом на компактность.

Неэкономно, неэстетично?... -- да. Но зато идейно и совсем не долго. А поскольку это лишь один раз -- с неэстетичностью можно и сжиться.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #882059 писал(а):

Вы же предлагаете для формального обоснования монотонности использовать вместо этой геометрически совершенно прозрачной цепочки какую-то мутотень с супремумами.

Нет не мутотень, наивная идея доказательства -- двигаться вперёд достаточно маленькими шагами, пользуясь положительностью производной. Когда дифференцируемость лишь поточечная, нет гарантии, что мы доберёмся до правого конца, поэтому надо взять точную грань. Зато это не вводит людей в забуждение, что компактность нужна для теоремы о возрастании. Нехорошо обманывать детей.

[ewert]

(Оффтоп)

mishafromusa в сообщении #882081 писал(а):

Нет не мутодень,

Да, Вы правы: это не мутодень, а мутоночь.

(извините, не смог удержаться; к делу это не относится, конечно)

[mishafromusa]

g______d в сообщении #882062 писал(а):

как раз трюк с неравенством, как Вы любите.

Но это от противного

[ewert]

(Оффтоп)

Xugin в сообщении #882067 писал(а):

Просто интересно как выбор был сделан.

Выбор достаточно часто бывает случаен. Вот я в своё время по сугубо случайным причинам пошёл на физфак, а не на матмех (просто проспал, грубо говоря, олимпиаду по математике, а по физике куда-то там продвинулся). Но потом всё равно свалился в математику -- у нас на физфаке была достаточно крутая математическая школа.

[Munin]

Господа, рассудите нас с mishafromusa: говорит он что-нибудь новое по теме, или нет?

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Вы все тут кругами ходите не первую неделю.

[Munin]

(Оффтоп)

Aritaborian
Разница в том, что кто-то видит, что он ходит кругами, а кто-то нет.

[mishafromusa]

ewert, а как доказывается достижение максимума непрерывной функцией? Берётся верхняя грань её значений, а потом из последовательности значений аргументов, такой, что соответствующие значения функции сходятся к этой грани, выбирается сходящаяся подпоследовательность, так что без мутотени и вашего Ролля не докажешь.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #882170 писал(а):

а как доказывается достижение максимума непрерывной функцией? Берётся верхняя грань её значений, а потом из последовательности значений аргументов, такой, что соответствующие значения функции сходятся к этой грани, выбирается сходящаяся подпоследовательность,

Ну я предложил выше с помощью ограниченности. Ограниченность-то непрерывной функции заведомо не является мутотенью. Трюк, кстати, существенно использует именно поточечное определение непрерывности.

-- Вс, 29 июн 2014 21:12:59 --

mishafromusa в сообщении #882170 писал(а):

так что без мутотени и вашего Ролля не докажешь.

В любом случае, не считатю это мутотенью, достаточно научиться рассказывать нормально.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #882174 писал(а):

Трюк, кстати, существенно использует именно поточечное определение непрерывности.

И доказательство от противного Целый букет прелестей, сначала докажите, что матан непротиворечив, а потом пользуйте.