Насчёт
![$2\ne3$ $2\ne3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/c/02ccbaf7810451c2bb1007a5cd37c1a382.png)
: имена
могут обозначать одно и то же, но
не обязаны. Иначе все имена должны обозначать одно и то же, и толку от такого ноль.
Дополнение к предыдущему (это уже больше обоснования, чем примеры):
Если бы мы всегда всё знали, то могли бы и иметь вольность обозначать разные вещи всегда по-разному, но в случае незнания, чтобы разобраться, что как обозначить, нам придётся тогда сначала решить задачу (а это не обязательно получится, а без введения обозначений шансов ещё меньше). Такой подход неудобен, как и неиспользование нуля или электрического освещения.
Если же разные имена могут называть одно и то же, мы в дополнение получаем мощную вещь — замену. Мы можем заменить какое-то имя одним и тем же выражением во всех местах, и при этом справедливость рассуждения не изменится. Например, было
«Если
,
и
, то
и
»(это один из признаков равенства треугольников). Заменим
![$A'\mapsto B, B'\mapsto A, C'\mapsto C$ $A'\mapsto B, B'\mapsto A, C'\mapsto C$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/7/b67f76f0043f837a11b88c0e4a4da7d082.png)
и станет
«Если
,
и
, то
и
».
После преобразования это превращается в
«Если
, то
» —
мы забесплатно получили теорему, о том, что если два угла треугольника равны, он равнобедренный.
Если каждое имя обозначает что-то своё, мы не сможем провести замену чисто механически, нам каждый раз придётся проверять, а не получилось ли что-то, что уже названо по-другому, и такая замена, опять же, не очень полезна.
При этом гарантия, что одно обозначение обозначает только одну вещь, а не несколько, остаётся всегда.