Подмножества

[arseniiv]

Bonaqua в сообщении #881295 писал(а):

Если без лишних операций, то да: a \neq b чисто семантически.

В том-то и дело, что если у нас есть два имени $a$ и $b$, они могут обозначать одно и то же. Например, мы обозначим ширину прямоугольника $a$, а длину $b$ — ничто не запрещает тому прямоугольнику быть квадратом, и нам иметь $a = b$. Или мы знаем ещё и площадь $S$, а ширину не знаем. Мы не имеем права предположить, что обязательно $a\ne b$, потому что мы можем найти, что $S/a$ — а это $b$ — равно $a$.

Если вы знаете об указателях в программировании, у вас в руках неплохая аналогия: значения двух разных переменных-указателей могут содержать как разные адреса памяти, так и один в общем случае, и только при каких-то дополнительных ограничениях они этого не могут. Аналогия теряется, если вспомнить, что указатели могут указывать и на адрес, в котором они сами расположены, если это значения в оперативной памяти. Имена так на другие имена не ссылаются и вообще «автоматически разыменовываются».

[Bonaqua]

Цитата:

В том-то и дело, что если у нас есть два имени $a$ и $b$, они могут обозначать одно и то же. Например, мы обозначим ширину прямоугольника $a$, а длину $b$ — ничто не запрещает тому прямоугольнику быть квадратом, и нам иметь $a = b$. Или мы знаем ещё и площадь $S$, а ширину не знаем. Мы не имеем права предположить, что обязательно $a\ne b$, потому что мы можем найти, что $S/a$ — а это $b$ — равно $a$.

Согласен, пример с квадратом убедителен.
А второй мне немного не понятен, хотя и звучит тоже убедительно.
С цифрами-то как быть? $2\neq3$ -- думаю, чтобы доказать обратное, без софизмов здесь не обойтись.

[Munin]

Пример как раз был дан для того, чтобы вы увидели, что с цифрами это очевидно (и верно), а с переменными - неверно. Здесь цифры играют роль констант. Бывают константы, которые обозначаются буквами, а не цифрами, например, $\pi,e,i,\varphi$ или в физике $g.$

То есть, когда вы говорите "множество $A$ по-любому не равно множеству $B$", надо сначала задуматься, в каком смысле у вас здесь употреблены буквы: это переменные или константы? Если переменные, то обозначаемые ими объекты могут быть случайно и равны.

[arseniiv]

Насчёт $2\ne3$: имена могут обозначать одно и то же, но не обязаны. Иначе все имена должны обозначать одно и то же, и толку от такого ноль.

Дополнение к предыдущему (это уже больше обоснования, чем примеры):

Если бы мы всегда всё знали, то могли бы и иметь вольность обозначать разные вещи всегда по-разному, но в случае незнания, чтобы разобраться, что как обозначить, нам придётся тогда сначала решить задачу (а это не обязательно получится, а без введения обозначений шансов ещё меньше). Такой подход неудобен, как и неиспользование нуля или электрического освещения.

Если же разные имена могут называть одно и то же, мы в дополнение получаем мощную вещь — замену. Мы можем заменить какое-то имя одним и тем же выражением во всех местах, и при этом справедливость рассуждения не изменится. Например, было
«Если $\angle BAC = \angle B'A'C'$, $\angle ABC = \angle A'B'C'$ и $|AB| = |A'B'|$, то $|AC| = |A'C'|$ и $|BC| = |B'C'|$»
(это один из признаков равенства треугольников). Заменим $A'\mapsto B, B'\mapsto A, C'\mapsto C$ и станет
«Если $\angle BAC = \angle ABC$, $\angle ABC = \angle BAC$ и $|AB| = |BA|$, то $|AC| = |BC|$ и $|BC| = |AC|$».
После преобразования это превращается в
«Если $\angle BAC = \angle ABC$, то $|AC| = |BC|$» —
мы забесплатно получили теорему, о том, что если два угла треугольника равны, он равнобедренный.
Если каждое имя обозначает что-то своё, мы не сможем провести замену чисто механически, нам каждый раз придётся проверять, а не получилось ли что-то, что уже названо по-другому, и такая замена, опять же, не очень полезна.

При этом гарантия, что одно обозначение обозначает только одну вещь, а не несколько, остаётся всегда.

[Munin]

arseniiv в сообщении #881324 писал(а):

Насчёт $2\ne3$: имена могут обозначать одно и то же, но не обязаны.

Ну, в общем, да. "Петя" и "Семёнов", например. Просто в математике это обычно избыточно. Когда мы говорим "треугольник $\textit{а}$ на рис. 5", нам незачем называть тот же треугольник $\textit{б}.$

Но когда мы, не глядя на конкретный чертёж, пишем абстрактные слова, типа "Для любых двух треугольников $a,b$ верно...", то мы должны учитывать шанс, что $a=b.$ Всегда.

[Xaositect]

Bonaqua в сообщении #881312 писал(а):

С цифрами-то как быть? $2\neq3$ -- думаю, чтобы доказать обратное, без софизмов здесь не обойтись.

$2=3$ действительно не особо полезно, а вот, например, $2=0$ иногда бывает очень приятно.
Но Вы пока не думайте об этом.

Кстати, правильный ответ на мою задачку - 1, 3, 4, 5. Попробуйте хотя бы с ответом рабобраться, что к чему. И не забывайте формальные определения конечного множества: $x\in \{a,b,\dots,k\}\Rightarrow x=a\vee x=b\vee\dots \vee x=k$(в частности, $x\in \{a\} \Leftrightarrow x = a$) и подмножества: $A\subseteq B\Leftrightarrow \forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)$, $A\subsetneq B\Leftrightarrow A\subseteq B \mathop{\&} A\neq B$.
В начале полезно побыть тупым компьютером и поприменять эти формальные определения, имея в виду смысл понятий, но не особо это показывая.

[Munin]

Xaositect в сообщении #881336 писал(а):

В начале полезно побыть тупым компьютером и поприменять эти формальные определения

В самом начале полезно побыть ещё более тупым компьютером, и просто прочитать эти формальные определения. Тщательно. Разбираясь хотя бы со смыслом каждой буквы.

[Bonaqua]

Ну, в виду того, что $\left\{ \varnothing \right\}$ - булеан пустого множества, значит, само пустое множество, как я понимаю, является его собственным подмножеством. Ввиду этого, 3 и 5 точно верны; 1 верно по определению. Но 4?
Зная все определения, я не могу понять, почему 4 является правильный вариантом. Ладно, потом сам разберусь.
Но 7 почему не подходит?

[Nemiroff]

Bonaqua в сообщении #881347 писал(а):

Но 7 почему не подходит?

post881244.html#p881244

-- Сб июн 28, 2014 19:33:00 --

Bonaqua в сообщении #881347 писал(а):

Ну, в виду того, что $\left\{ \varnothing \right\}$ - булеан пустого множества, значит, само пустое множество, как я понимаю, является его собственным подмножеством.

Это малосвязанные события.

-- Сб июн 28, 2014 19:33:30 --

Bonaqua в сообщении #881347 писал(а):

1 верно по определению

Они все верны или неверны по определению.

[arseniiv]

Bonaqua, вы имеете дело с конечными множествами и потому можете выписать все их подмножества. Имея их перед глазами, вам будет проще ответить.

Xaositect в сообщении #880694 писал(а):

7. $\{\varnothing\} \subseteq \{\{\varnothing\}\}$

Один список для левого и один для правого.

[Nemiroff]

Bonaqua в сообщении #881347 писал(а):

Зная все определения

Как вы можете одновременно знать вот это:

Xaositect в сообщении #881336 писал(а):

$A\subsetneq B\Leftrightarrow A\subseteq B \mathop{\&} A\neq B$

, знать, что 3 выражение верно и не понимать, почему верно четвертое?

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Ну вот, проснулись arseniiv и Munin и загрузили бедного ТС по самое не могу всякими интерференциями да алгебрами булевыми ;-) Потихонечку нужно, по шажочкам ;-)

Bonaqua, ЕМНИП, вы так и не ответили вот на это:

Aritaborian в сообщении #881056 писал(а):

Возьмём набор множеств $A_i=\{i\}, i\in \mathbb{N}$. Очевидно, это будет бесконечный набор множеств. Найдём теперь $\bigcap_i A_i$.

[Bonaqua]

Цитата:

знать, что 3 выражение верно и не понимать, почему верно четвертое?

Знать и применять - вещи разные

4 верно, поскольку пустое множество является собственным подмножеством своего булеана.
3 верно, поскольку верно

$$\varnothing \subseteq \{\varnothing\}\Leftrightarrow \forall x| x\in\varnothing\Rightarrow x\in \left\{\varnothing\right\}$$

1 по определению, а 5 вы, собственно, сами доказали

[arseniiv]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #881354 писал(а):

Потихонечку нужно, по шажочкам

Через ямы надо прыгать!

[Aritaborian]

Bonaqua, посмотрите, plz, выше. Я там отредактировал ;-)

(Оффтоп)

Бывают ямы, а бывают каньоны.