перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)

[fronnya]

Munin в сообщении #881234 писал(а):

1. Можно (и нужно) перемножать длинную цепочку матриц:

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot\underset{n\text{ раз}}{\ldots}\cdot\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$

2. Бывают более удобные сокращённые способы, но они годятся не для любых матриц. Более того, такие способы позволяют возводить матрицы в нецелую степень, как и действительные числа. Но это вы изучите потом на линейной алгебре, а сейчас не стоит забегать вперёд: чтобы рассказать об этом, потребуется изложить много предварительной теории.

ладно, буду перемножать

[Munin]

Кстати, это хорошая тренировка. В продвинутых областях математики и физики перемножение матриц стоит уметь делать "на автоматизме", точно так же, как вы работаете с числами, с алгебраическими выражениями. Иначе это будет сильно тормозить чтение и понимание любых простых рассуждений и объяснений.

[fronnya]

Munin в сообщении #881248 писал(а):

Кстати, это хорошая тренировка. В продвинутых областях математики и физики перемножение матриц стоит уметь делать "на автоматизме", точно так же, как вы работаете с числами, с алгебраическими выражениями. Иначе это будет сильно тормозить чтение и понимание любых простых рассуждений и объяснений.

я стараюсь делать это аккуратно и быстро. Но больше аккуратно, чем быстро. Но уже намного лучше получается, чем раньше. И я не собираюсь останавливаться.

[Munin]

Два интересных примера, которые вам могут понравиться, а в будущем могут пригодиться:

1. Возведите в $n$-ю степень

$$\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\hphantom{-}\cos\alpha\end{pmatrix},$$

где $\alpha$ - произвольное число.

2. Возведите в $n$-ю степень

$$\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix},$$

где $a,b$ - произвольные числа.

-- 28.06.2014 16:59:24 --

Подсказка: можно рассуждать по индукции.

fronnya в сообщении #881250 писал(а):

я стараюсь делать это аккуратно и быстро. Но больше аккуратно, чем быстро. Но уже намного лучше получается, чем раньше.

Это и замечательно! Так и надо: аккуратно и быстро, причём аккуратность на первом месте. Ещё коллекционируйте способы проверять результаты вычислений.

[fronnya]

Munin в сообщении #881251 писал(а):

Два интересных примера, которые вам могут понравиться, а в будущем могут пригодиться:

1. Возведите в $n$-ю степень

$$\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\hphantom{-}\cos\alpha\end{pmatrix},$$

где $\alpha$ - произвольное число.

2. Возведите в $n$-ю степень

$$\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix},$$

где $a,b$ - произвольные числа.

-- 28.06.2014 16:59:24 --

Подсказка: можно рассуждать по индукции.

fronnya в сообщении #881250 писал(а):

я стараюсь делать это аккуратно и быстро. Но больше аккуратно, чем быстро. Но уже намного лучше получается, чем раньше.

Это и замечательно! Так и надо: аккуратно и быстро, причём аккуратность на первом месте. Ещё коллекционируйте способы проверять результаты вычислений.

Ну я все для начала возвел в квадрат, а потом мне подсказала интуиция, хотя второй пример я возвел ещё в третью степень и все мои ожидания подтвердились. Если нужно делать каким-то другим способом, то Вы мне уж подскажите, пожалуйста.

1.

$$\begin {pmatrix} \cos {n\alpha} & -\sin {n\alpha}\\ \sin{n\alpha} & \cos{n\alpha} \end{pmatrix}$$

2.

$$\begin {pmatrix} a^n & 0\\ 0 & b^n \end{pmatrix}$$

-- 28.06.2014, 15:14 --

я не знаком с методом индукции

[Slow]

Все таки лучше изучить метод мат. индукции, потому что интуиция может и подвести, а то вдруг при $n=1000$ увиденная закономерность не выполняется.

[fronnya]

Slow в сообщении #881259 писал(а):

Все таки лучше изучить метод мат. индукции, потому что интуиция может и подвести, а то вдруг при $n=1000$ увиденная закономерность не выполняется.

Этого я и боюсь. К нам как-то преподаватель какой-то в школу приезжал и рассказывал про этот метод, он не трудный, но вылетело из головы.

[Munin]

Ответы правильные.

Метод индукции состоит, по сути, в том, чтобы то, до чего вы додумались по интуиции, сделать правдой, и доказать строго.

Возьмём предполагаемый ответ, скажем, на первый пример. Это $\begin{pmatrix}\cos n\alpha&-\sin n\alpha\\\sin n\alpha&\hphantom{-}\cos n\alpha\end{pmatrix}.$ Теперь делаем две вещи:

1. Проверяем, что этот ответ совпадает с правильным, для какого-то малого $n$ (например, $n=0,1$ или $2$). Здесь нам удобнее всего взять $n=1.$ Матрица в первой степени совпадает сама с собой. Подставляем $n=1$ в предполагаемую формулу, проверяем:

$$\begin{pmatrix}\cos 1\alpha&-\sin 1\alpha\\\sin 1\alpha&\hphantom{-}\cos 1\alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\hphantom{-}\cos\alpha\end{pmatrix}.$$

Убедились? Идём дальше.

2. Допустим, что ответ правильный для какого-то $n.$ Если считать это допущение верным, проверим, будет ли этот ответ правильным для следующей степени, то есть $n+1.$ Мы знаем:

$$\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\hphantom{-}\cos\alpha\end{pmatrix}^{n+1}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\hphantom{-}\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\hphantom{-}\cos\alpha\end{pmatrix}^n.$$

Дальше, по допущению подставляем ответ для степени $n$:

$$\ldots=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\hphantom{-}\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\cos n\alpha&-\sin n\alpha\\\sin n\alpha&\hphantom{-}\cos n\alpha\end{pmatrix}.$$

И вот здесь, нам надо честно перемножить матрицы. (Проделайте это сами.) И если в результате у нас получается

$$\ldots=\begin{pmatrix}\cos\,(n+1)\alpha&-\sin\,(n+1)\alpha\\\sin\,(n+1)\alpha&\hphantom{-}\cos\,(n+1)\alpha\end{pmatrix},$$

то ура! Мы доказали шаг индукции.

Эти две вещи вместе взятые - доказывают нашу формулу для любого $n.$ Допустим, мы хотим проверить, верно ли это для $n=1994$? По шагу индукции, мы видим, что это верно, если верно для $n=1993.$ А это верно, если верно для $n=1992.$ ... И наконец, вся эта цепочка верна, если всё это верно для $n=1.$ А это верно, потому что мы доказали для $n=1.$ Значит, (...пробегаем цепочку обратно...) и для $n=1994$ верно.

[fronnya]

Munin в сообщении #881274 писал(а):

Ответы правильные.

Метод индукции состоит, по сути, в том, чтобы то, до чего вы додумались по интуиции, сделать правдой, и доказать строго.

Возьмём предполагаемый ответ, скажем, на первый пример. Это $\begin{pmatrix}\cos n\alpha&-\sin n\alpha\\\sin n\alpha&\hphantom{-}\cos n\alpha\end{pmatrix}.$ Теперь делаем две вещи:

1. Проверяем, что этот ответ совпадает с правильным, для какого-то малого $n$ (например, $n=0,1$ или $2$). Здесь нам удобнее всего взять $n=1.$ Матрица в первой степени совпадает сама с собой. Подставляем $n=1$ в предполагаемую формулу, проверяем:

$$\begin{pmatrix}\cos 1\alpha&-\sin 1\alpha\\\sin 1\alpha&\hphantom{-}\cos 1\alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\hphantom{-}\cos\alpha\end{pmatrix}.$$

Убедились? Идём дальше.

2. Допустим, что ответ правильный для какого-то $n.$ Если считать это допущение верным, проверим, будет ли этот ответ правильным для следующей степени, то есть $n+1.$ Мы знаем:

$$\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\hphantom{-}\cos\alpha\end{pmatrix}^{n+1}=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\hphantom{-}\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\hphantom{-}\cos\alpha\end{pmatrix}^n.$$

Дальше, по допущению подставляем ответ для степени $n$:

$$\ldots=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\hphantom{-}\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\cos n\alpha&-\sin n\alpha\\\sin n\alpha&\hphantom{-}\cos n\alpha\end{pmatrix}.$$

И вот здесь, нам надо честно перемножить матрицы. (Проделайте это сами.) И если в результате у нас получается

$$\ldots=\begin{pmatrix}\cos\,(n+1)\alpha&-\sin\,(n+1)\alpha\\\sin\,(n+1)\alpha&\hphantom{-}\cos\,(n+1)\alpha\end{pmatrix},$$

то ура! Мы доказали шаг индукции.

Эти две вещи вместе взятые - доказывают нашу формулу для любого $n.$ Допустим, мы хотим проверить, верно ли это для $n=1994$? По шагу индукции, мы видим, что это верно, если верно для $n=1993.$ А это верно, если верно для $n=1992.$ ... И наконец, вся эта цепочка верна, если всё это верно для $n=1.$ А это верно, потому что мы доказали для $n=1.$ Значит, (...пробегаем цепочку обратно...) и для $n=1994$ верно.

Спасибо большое, я понял, второй пример, что вы дали, тоже доказал методом индукции

-- 28.06.2014, 16:19 --

можете ещё что-нибудь подобное подкинуть ?

[Munin]

fronnya
Когда вы цитируете всё сообщение целиком, это называется "оверквотинг" (чрезмерное цитирование). Лучше так не делать.

Если хотите ответить на какие-то конкретные слова - их и процитируйте. Если хотите ответить на всё сообщение целиком - не цитируйте его вообще. Достаточно написать имя автора (как я), или ссылку на сообщение. Ведь сообщение и так есть в теме, и все его увидят и могут прочитать. Зачем дублировать простыню текста?

fronnya в сообщении #881287 писал(а):

Спасибо большое, я понял, второй пример, что вы дали, тоже доказал методом индукции

Интереснее первый :-)

Хорошо, если вы такой молодец, найдите

$$\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}^n,$$

где $a,b$ - произвольные числа. (Как знал, что этот пример пригодится...)

[Xaositect]

Ну кстати, для матрицы $\left(\begin{matrix}a_1 b_1 & a_1 b_2\\ a_2 b_1 & a_2 b_2\end{matrix}\right)$, как у Вас в примере $\begin {pmatrix}-5&5\\-5&5\end{pmatrix}^n$, тоже несложно степени посчитать (и вообще для $(a_i b_j)$).

[Munin]

И расскажите, что вы думаете про

$$\sqrt{\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}}$$

(здесь для упрощения укажу, что $0\ne a\ne\pm b\ne 0$).

-- 28.06.2014 18:24:55 --

Xaositect
О, отличный пример!

-- 28.06.2014 18:28:41 --

Munin в сообщении #881290 писал(а):

$$\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}^n,$$

Ой, чёрт, я готов мой пример снять. По крайней мере, он потребует экспонент-логарифмов или гиперболических функций, если вы с ними не знакомы, то можете не справиться.

[fronnya]

Munin в сообщении #881290 писал(а):

$$\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}^n,$$

тут у меня получился бред.

Munin в сообщении #881296 писал(а):

И расскажите, что вы думаете про

$$\sqrt{\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}}$$

(здесь для упрощения укажу, что $0\ne a\ne\pm b\ne 0$).

А тут тоже бред получится, если учитывать то, что я сделал для

$$\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}^n,$$

[bot]

Какие ещё экспонент-логарифмы? Для первокура всё просто - матрица ведь диагонализируема. А для школьника рановато.

[fronnya]

Xaositect, мой котелок что-то совсем перестает варить, дырка образовалась что ли .. Я остыну немного осмыслю все то, что здесь было написано выше и попробую.