Подмножества

[Bonaqua]

Цитата:

Что у вас ноль? Пустое множество? Так пишите $\varnothing$

Ну, так я и исходил именно из факта $0\subseteq\left\{0\right\}$
Ведь по мощности $\varnothing = 0$

Цитата:

Почему?

Почему? Хм, это аксиоматическое свойство пустого множества, увы, по другом я не могу это назвать.

-- 28.06.2014, 15:36 --

Цитата:

Пользуясь этим определением, ответьте, верно ли, что $\varnothing \subseteq \{\varnothing\}$ и что $\{\varnothing\} \subseteq \{\{\varnothing\}\}$.

Да, теперь я просто по убеждению уверен, что это верно.

[Nemiroff]

Bonaqua в сообщении #881210 писал(а):

Ведь по мощности $\varnothing = 0$

Давайте забудем про мощности.

Bonaqua в сообщении #881210 писал(а):

Хм, это аксиоматическое свойство пустого множества, увы, по другом я не могу это назвать.

Погодите.
У вас есть ваше определение $A\subseteq B\Leftrightarrow\forall x|x\in A\Rightarrow x\in B$ --- вы можете его применить к двум примерам $\varnothing \subseteq \{\varnothing\}$ и $\{\varnothing\} \subseteq \{\{\varnothing\}\}$.

-- Сб июн 28, 2014 15:39:11 --

Bonaqua в сообщении #881210 писал(а):

Да, теперь я просто по убеждению уверен, что это верно.

Примените определение.

[Bonaqua]

Цитата:

У вас есть ваше определение $A\subseteq B\Leftrightarrow\forall x|x\in A\Rightarrow x\in B$ --- вы можете его применить к двум примерам $\varnothing \subseteq \{\varnothing\}$ и $\{\varnothing\} \subseteq \{\{\varnothing\}\}$.

Так, ну попробуем.
$\varnothing \subseteq \{\varnothing\} \Leftrightarrow \forall x| x\in\varnothing\Rightarrow x\in\varnothing$
Аналогично и второй пример.

[Nemiroff]

Bonaqua в сообщении #881216 писал(а):

Так, ну попробуем.

У вас $B$ не совпадает. Пробуйте ещё раз.

Bonaqua в сообщении #881216 писал(а):

Аналогично и второй пример.

Да ничего подобного. Вот во втором два множества --- какие в них элементы, как определение сработает?

Вам доставляет удовольствие по два слова каждый раз писать? Чтоб потом уточнять и уточнять?

[Bonaqua]

Цитата:

У вас $B$ не совпадает. Пробуйте ещё раз.

$\varnothing \subseteq \{\varnothing\} \Leftrightarrow \forall x| x\in\varnothing\Rightarrow x\in \left\{\varnothing\right\}$

Цитата:

Вам доставляет удовольствие по два слова каждый раз писать? Чтоб потом уточнять и уточнять?

Мне уже ничего вообще не доставляет удовольствие

Цитата:

Да ничего подобного. Вот во втором два множества --- какие в них элементы, как определение сработает?

Двойные скобки я вообще вижу впервые. Типа множество множества, содержащего единственный элемент пустого множества? И является ли оно надмножеством множества, единственный элемент которого является пустое множество? Ну, сравниваются теперь два множества, следовательно, ответ должен быть нет, поскольку только пустое множество может являться подмножеством, а не оно как элемент.

[Nemiroff]

Bonaqua в сообщении #881221 писал(а):

$\varnothing \subseteq \{\varnothing\} \Leftrightarrow \forall x| x\in\varnothing\Rightarrow x\in \left\{\varnothing\right\}$

Теперь записано правильно. И почему это верно? Вот возьмите все элементы первого множества, для каждого из них проверьте, является ли он элементом второго.

Bonaqua в сообщении #881221 писал(а):

Двойные скобки я вообще вижу впервые.

Это возвращение к

Nemiroff в сообщении #881036 писал(а):

Что означает запись $\{a,b,c,\ldots\}$?

Bonaqua в сообщении #881221 писал(а):

Типа множество множества, содержащего единственный элемент пустого множества? И является ли оно надмножеством множества, единственный элемент которого является пустое множество? Ну, сравниваются теперь два множества, следовательно, ответ должен быть нет, поскольку только пустое множество может являться подмножеством, а не оно как элемент.

Давайте я один раз вам продемонстрирую, что именно я хочу услышать.
Вот пример $\{\varnothing\} \subseteq \{\varnothing\}$.
Слева имеем множество, в котором один элемент, а именно $\varnothing$. Справа имеем множество, в котором один элемент --- тоже $\varnothing$. Для любого элемента из левого множества, то бишь только для $\varnothing$, верно, что он принадлежит правому множеству. Поэтому включение верно.
Можно и по-другому --- слева и справа стоит одно и то же множество, а потому включение верно --- но это нечестно.

[Bonaqua]

Цитата:

Теперь записано правильно. И почему это верно? Вот возьмите все элементы первого множества, для каждого из них проверьте, является ли он элементом второго.

Ну, да, само собой.

Цитата:

Что означает запись $\{a,b,c,\ldots\}$?

Исходя из того, что это некоторое множество, состоящее из элементов $a,b,c$, следовательно двойные скобки означают принадлежность множеству множества как элемента: то есть множество, содержащее элемент пустого множества будет являться элементом иного множества, содержащего это множество как единственный свой элемент. Звучит как оскорбление.

[Nemiroff]

Bonaqua в сообщении #881228 писал(а):

множество, содержащее элемент пустого множества

Абракадабра. Похожая на верное утверждение абракадабра.

Bonaqua в сообщении #881228 писал(а):

Ну, да, само собой.

Вы можете взять моё решение из предыдущего поста и повторить (повторить, ничего не выкидывая, не говоря про очевидность) для примера $\varnothing \subseteq \{\varnothing\}$ а затем повторить(!!!) для примера $\{\varnothing\} \subseteq \{\{\varnothing\}\}$? В одном сообщении. СРАЗУ.

Двойные скобки --- это не "двойные скобки", это не один символ. Просто в одних фигурных скобках внутри что-то стоит. Это что-то может состоять из жирафов, радуги или фигурных скобок --- дело десятое.

[ИСН]

Bonaqua в сообщении #881228 писал(а):

Звучит как оскорбление.

Зато правда!
(Я бы не говорил слов "элемент пустого множества"; лучше "...пустое множество как элемент".)

[Bonaqua]

Цитата:

Вы можете взять моё решение из предыдущего поста и повторить (повторить, ничего не выкидывая, не говоря про очевидность) для примера $\varnothing \subseteq \{\varnothing\}$ а затем повторить(!!!) для примера $\{\varnothing\} \subseteq \{\{\varnothing\}\}$? В одном сообщении. СРАЗУ.

$\left\{\varnothing\right\} \subseteq \left\{\{\varnothing\}\right\} \Leftrightarrow \forall x| x\in\left\{\varnothing\ \right} \Rightarrow x\in \left\{\left\{\varnothing\right\}\right\}$

-- 28.06.2014, 16:47 --

Слева имеем множество, в котором один элемент, а именно $\varnothing$. Справа имеем множества, содержащее множество в котором один элемент, а именно $\varnothing$, как единственный свой элемент. Для любого элемента из левого множества, то бишь только для $\varnothing$, верно, что он принадлежит правому множеству. Поэтому включение верно. Не знаю как у вас работают тараканы в голове, а я не могу понять в этом понятийном сумасброде ничего. Для меня как все было тавтологией, так и осталось. 1,3,5,7 - ответы верные.

[Lia]

Bonaqua
Устное замечание за систематическое неверное оформление цитат.
Чтобы сослаться на фрагмент сообщения, нужно выделить этот фрагмент и нажать на кнопку "вставка" в сообщении.

[Nemiroff]

Вот это

Bonaqua в сообщении #881241 писал(а):

Справа имеем множества, содержащее множество в котором один элемент, а именно $\varnothing$, как единственный свой элемент.

противоречит вот этому

Bonaqua в сообщении #881241 писал(а):

Для любого элемента из левого множества, то бишь только для $\varnothing$, верно, что он принадлежит правому множеству.

Правому множеству принадлежит множество, содержащее $\varnothing$, а не сам $\varnothing$.

[Munin]

Bonaqua в сообщении #880618 писал(а):

Каким бы не было множество A, оно по- любому не будет равноB.

Подумайте вот о таких двух фразах:

"Каким бы ни было число $2,$ оно по-любому не будет равно $3.$"

"Каким бы ни было число $a,$ оно по-любому не будет равно $b.$"

Верны ли они обе, или нет?

[arseniiv]

Добавлю немного к прошлому:

Bonaqua в сообщении #881035 писал(а):

Пересечение множеств иногда называют произведением множеств, нет?

Насколько мне известно, «сумма» и «произведение» и соответствующие обозначения $A+B, AB$ — это остатки прошлого (в старых книгах это встречается, по моим впечатлениям, чаще), когда, видимо, некоторые думали, что аналогия с операциями над числами достаточно хороша для того, чтобы не вводить другие обозначения. Время показало, что нет — что сложение и умножение чисел дают много неверных аналогий. Пересечение и объединение оба дистрибутивны относительно друг друга (у чисел только $\cdot$ относительно $+$), они идемпотентны («числовые» $+, \cdot$ — нет), и некоторые другие отличия (говорят, что они над всеми множествами образуют решётку — а не, скажем, кольцо, как обычно $+, \cdot$ с числовыми системами). Операции $\cup, \cap$ намного ближе к логическим дизъюнкции $\vee$ («или») и конъюнкции $\wedge$ («и»), и, будучи ограничены на какое-то множество $B = \mathcal PA$ всех подмножеств $A$, образуют булеву алгебру вместе с операцией дополнения $\overline X := B\setminus X$ − как и $\vee,\wedge,\neg$. (Из операций над множествами можно получить кольцо, но вместо объединения в качестве сложения надо будет взять симметрическую разность $X\vartriangle Y := X\cap Y\setminus X\cup Y = (X\setminus Y)\cup(Y\setminus X)$, но, в отличие от числовых, в этом кольце вычитание — то же самое $\vartriangle$.)

Ещё называние объединения произведением интерферирует с декартовым произведением множеств, мощность которого для конечных $|X\times Y| = |X||Y|$, так что «произведение» намного лучше смотрится со вторым, если искать аналогий с числами.

Так что стоит, даже читая где-то «сумма и произведение множеств», про себя это сразу заменять на «объединение и пересечение множеств». Просто во избежание невольных аналогий. Для $\cup,\cap$ достаточно и своих наглядных образов.

[Bonaqua]

Цитата:

Верны ли они обе, или нет?

Если без лишних операций, то да: $a \neq b$ чисто семантически.

Спасибо, arseniiv, за отличный материал. Про симметрическую разность однажды слышал - сказали, мол, это не самое удачное название для этой операции. Что вы думаете по этому поводу?