2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 16  След.
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 14:35 


09/01/14

178
Цитата:
Что у вас ноль? Пустое множество? Так пишите $\varnothing$

Ну, так я и исходил именно из факта $0\subseteq\left\{0\right\}$ :-)
Ведь по мощности $\varnothing = 0$

Цитата:
Почему?

Почему? Хм, это аксиоматическое свойство пустого множества, увы, по другом я не могу это назвать.

-- 28.06.2014, 15:36 --

Цитата:
Пользуясь этим определением, ответьте, верно ли, что $\varnothing \subseteq \{\varnothing\}$ и что $\{\varnothing\} \subseteq \{\{\varnothing\}\}$.

Да, теперь я просто по убеждению уверен, что это верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 14:38 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Bonaqua в сообщении #881210 писал(а):
Ведь по мощности $\varnothing = 0$
Давайте забудем про мощности.
Bonaqua в сообщении #881210 писал(а):
Хм, это аксиоматическое свойство пустого множества, увы, по другом я не могу это назвать.

Погодите.
У вас есть ваше определение $A\subseteq B\Leftrightarrow\forall x|x\in A\Rightarrow x\in B$ --- вы можете его применить к двум примерам $\varnothing \subseteq \{\varnothing\}$ и $\{\varnothing\} \subseteq \{\{\varnothing\}\}$.

-- Сб июн 28, 2014 15:39:11 --

Bonaqua в сообщении #881210 писал(а):
Да, теперь я просто по убеждению уверен, что это верно.
Примените определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 14:44 


09/01/14

178
Цитата:
У вас есть ваше определение $A\subseteq B\Leftrightarrow\forall x|x\in A\Rightarrow x\in B$ --- вы можете его применить к двум примерам $\varnothing \subseteq \{\varnothing\}$ и $\{\varnothing\} \subseteq \{\{\varnothing\}\}$.


Так, ну попробуем.
$\varnothing  \subseteq \{\varnothing\} \Leftrightarrow \forall x| x\in\varnothing\Rightarrow x\in\varnothing$
Аналогично и второй пример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 14:47 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Bonaqua в сообщении #881216 писал(а):
Так, ну попробуем.
У вас $B$ не совпадает. Пробуйте ещё раз.
Bonaqua в сообщении #881216 писал(а):
Аналогично и второй пример.
Да ничего подобного. Вот во втором два множества --- какие в них элементы, как определение сработает?

Вам доставляет удовольствие по два слова каждый раз писать? Чтоб потом уточнять и уточнять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 14:55 


09/01/14

178
Цитата:
У вас $B$ не совпадает. Пробуйте ещё раз.

$\varnothing  \subseteq \{\varnothing\} \Leftrightarrow \forall x| x\in\varnothing\Rightarrow x\in \left\{\varnothing\right\}$

Цитата:
Вам доставляет удовольствие по два слова каждый раз писать? Чтоб потом уточнять и уточнять?

Мне уже ничего вообще не доставляет удовольствие :-)

Цитата:
Да ничего подобного. Вот во втором два множества --- какие в них элементы, как определение сработает?

Двойные скобки я вообще вижу впервые. Типа множество множества, содержащего единственный элемент пустого множества? И является ли оно надмножеством множества, единственный элемент которого является пустое множество? Ну, сравниваются теперь два множества, следовательно, ответ должен быть нет, поскольку только пустое множество может являться подмножеством, а не оно как элемент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 15:01 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Bonaqua в сообщении #881221 писал(а):
$\varnothing  \subseteq \{\varnothing\} \Leftrightarrow \forall x| x\in\varnothing\Rightarrow x\in \left\{\varnothing\right\}$

Теперь записано правильно. И почему это верно? Вот возьмите все элементы первого множества, для каждого из них проверьте, является ли он элементом второго.
Bonaqua в сообщении #881221 писал(а):
Двойные скобки я вообще вижу впервые.
Это возвращение к
Nemiroff в сообщении #881036 писал(а):
Что означает запись $\{a,b,c,\ldots\}$?
Bonaqua в сообщении #881221 писал(а):
Типа множество множества, содержащего единственный элемент пустого множества? И является ли оно надмножеством множества, единственный элемент которого является пустое множество? Ну, сравниваются теперь два множества, следовательно, ответ должен быть нет, поскольку только пустое множество может являться подмножеством, а не оно как элемент.
:facepalm:

Давайте я один раз вам продемонстрирую, что именно я хочу услышать.
Вот пример $\{\varnothing\} \subseteq \{\varnothing\}$.
Слева имеем множество, в котором один элемент, а именно $\varnothing$. Справа имеем множество, в котором один элемент --- тоже $\varnothing$. Для любого элемента из левого множества, то бишь только для $\varnothing$, верно, что он принадлежит правому множеству. Поэтому включение верно.
Можно и по-другому --- слева и справа стоит одно и то же множество, а потому включение верно --- но это нечестно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 15:14 


09/01/14

178
Цитата:
Теперь записано правильно. И почему это верно? Вот возьмите все элементы первого множества, для каждого из них проверьте, является ли он элементом второго.

Ну, да, само собой.

Цитата:
Что означает запись $\{a,b,c,\ldots\}$?

Исходя из того, что это некоторое множество, состоящее из элементов $a,b,c$, следовательно двойные скобки означают принадлежность множеству множества как элемента: то есть множество, содержащее элемент пустого множества будет являться элементом иного множества, содержащего это множество как единственный свой элемент. Звучит как оскорбление.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 15:32 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Bonaqua в сообщении #881228 писал(а):
множество, содержащее элемент пустого множества
Абракадабра. Похожая на верное утверждение абракадабра.
Bonaqua в сообщении #881228 писал(а):
Ну, да, само собой.
:facepalm:
Вы можете взять моё решение из предыдущего поста и повторить (повторить, ничего не выкидывая, не говоря про очевидность) для примера $\varnothing \subseteq \{\varnothing\}$ а затем повторить(!!!) для примера $\{\varnothing\} \subseteq \{\{\varnothing\}\}$? В одном сообщении. СРАЗУ.

Двойные скобки --- это не "двойные скобки", это не один символ. Просто в одних фигурных скобках внутри что-то стоит. Это что-то может состоять из жирафов, радуги или фигурных скобок --- дело десятое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 15:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Bonaqua в сообщении #881228 писал(а):
Звучит как оскорбление.
:lol: :lol:
Зато правда!
(Я бы не говорил слов "элемент пустого множества"; лучше "...пустое множество как элемент".)

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 15:43 


09/01/14

178
Цитата:
Вы можете взять моё решение из предыдущего поста и повторить (повторить, ничего не выкидывая, не говоря про очевидность) для примера $\varnothing \subseteq \{\varnothing\}$ а затем повторить(!!!) для примера $\{\varnothing\} \subseteq \{\{\varnothing\}\}$? В одном сообщении. СРАЗУ.


$\left\{\varnothing\right\}  \subseteq \left\{\{\varnothing\}\right\} \Leftrightarrow \forall x| x\in\left\{\varnothing\ \right} \Rightarrow x\in \left\{\left\{\varnothing\right\}\right\}$

-- 28.06.2014, 16:47 --

Слева имеем множество, в котором один элемент, а именно $\varnothing$. Справа имеем множества, содержащее множество в котором один элемент, а именно $\varnothing$, как единственный свой элемент. Для любого элемента из левого множества, то бишь только для $\varnothing$, верно, что он принадлежит правому множеству. Поэтому включение верно. Не знаю как у вас работают тараканы в голове, а я не могу понять в этом понятийном сумасброде ничего. Для меня как все было тавтологией, так и осталось. 1,3,5,7 - ответы верные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 15:48 


20/03/14
12041
 !  Bonaqua
Устное замечание за систематическое неверное оформление цитат.
Чтобы сослаться на фрагмент сообщения, нужно выделить этот фрагмент и нажать на кнопку "вставка" в сообщении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 15:51 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Вот это
Bonaqua в сообщении #881241 писал(а):
Справа имеем множества, содержащее множество в котором один элемент, а именно $\varnothing$, как единственный свой элемент.
противоречит вот этому
Bonaqua в сообщении #881241 писал(а):
Для любого элемента из левого множества, то бишь только для $\varnothing$, верно, что он принадлежит правому множеству.

Правому множеству принадлежит множество, содержащее $\varnothing$, а не сам $\varnothing$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 16:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Bonaqua в сообщении #880618 писал(а):
Каким бы не было множество A, оно по- любому не будет равноB.

Подумайте вот о таких двух фразах:
"Каким бы ни было число $2,$ оно по-любому не будет равно $3.$"
"Каким бы ни было число $a,$ оно по-любому не будет равно $b.$"
Верны ли они обе, или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 16:28 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Добавлю немного к прошлому:
Bonaqua в сообщении #881035 писал(а):
Пересечение множеств иногда называют произведением множеств, нет?
Насколько мне известно, «сумма» и «произведение» и соответствующие обозначения $A+B, AB$ — это остатки прошлого (в старых книгах это встречается, по моим впечатлениям, чаще), когда, видимо, некоторые думали, что аналогия с операциями над числами достаточно хороша для того, чтобы не вводить другие обозначения. Время показало, что нет — что сложение и умножение чисел дают много неверных аналогий. Пересечение и объединение оба дистрибутивны относительно друг друга (у чисел только $\cdot$ относительно $+$), они идемпотентны («числовые» $+, \cdot$ — нет), и некоторые другие отличия (говорят, что они над всеми множествами образуют решётку — а не, скажем, кольцо, как обычно $+, \cdot$ с числовыми системами). Операции $\cup, \cap$ намного ближе к логическим дизъюнкции $\vee$ («или») и конъюнкции $\wedge$ («и»), и, будучи ограничены на какое-то множество $B = \mathcal PA$ всех подмножеств $A$, образуют булеву алгебру вместе с операцией дополнения $\overline X := B\setminus X$ − как и $\vee,\wedge,\neg$. (Из операций над множествами можно получить кольцо, но вместо объединения в качестве сложения надо будет взять симметрическую разность $X\vartriangle Y := X\cap Y\setminus X\cup Y = (X\setminus Y)\cup(Y\setminus X)$, но, в отличие от числовых, в этом кольце вычитание — то же самое $\vartriangle$.)

Ещё называние объединения произведением интерферирует с декартовым произведением множеств, мощность которого для конечных $|X\times Y| = |X||Y|$, так что «произведение» намного лучше смотрится со вторым, если искать аналогий с числами.

Так что стоит, даже читая где-то «сумма и произведение множеств», про себя это сразу заменять на «объединение и пересечение множеств». Просто во избежание невольных аналогий. Для $\cup,\cap$ достаточно и своих наглядных образов. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества
Сообщение28.06.2014, 17:24 


09/01/14

178
Цитата:
Верны ли они обе, или нет?

Если без лишних операций, то да: $a \neq b$ чисто семантически.

Спасибо, arseniiv, за отличный материал. Про симметрическую разность однажды слышал - сказали, мол, это не самое удачное название для этой операции. Что вы думаете по этому поводу?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 239 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 16  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group