Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[mishafromusa]

Munin в сообщении #880302 писал(а):

Зачем алгебра, если есть пальцы?

Пальцы это не математика, спросите у ewertа

-- 26.06.2014, 22:56 --

Munin в сообщении #880302 писал(а):

Смогли бы вы тогда рассказать $\dfrac{x^n-a^n}{x-a}$ без долгого, на много часов, углубления в алгебру? Боюсь, нет.

Конечно да, можно просто разделить уголком, а это должны знать все, а заодно и теорему Безу рассказать, что многочлен с корнем $a$ делится на $x-a$. И между прочим, дифференцируемость -- это как раз обобщение теоремы Безу на другие функции. И вообще можно на примерах $n=2$ и $n=3$ усмотреть ответ.

[g______d]

Munin в сообщении #880569 писал(а):

До когда на потом? Я думаю, что смело не раньше вуза. В вузе, может быть, на 2 семестр 1 курса, но дальше у меня смелости не хватает.

Нет, "на потом" – это когда будет возможность сколько-нибудь нормально пройти их в курсе математики. У кого-то это 1 курс, у кого-то старшие классы.

А для нужд физики, возможно, достаточно объяснить физическую интерпретацию производной и научить искать ответ в справочнике. Вообще, если пофантазировать: может быть, вместо "математики для физиков" ввести справочниковое дело? Справочниковедение? Справочникологию? На самом деле ведь полезный навык, вообще во всех сферах деятельности.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #880193 писал(а):

Тут только одна проблема: формулы лучше выводить, а не угадывать.

Для кого и для чего лучше? Этот конкретный случай, конечно, очень простой, и я согласен, что проще всего сделать по индукции, используя правило дифференцирования произведения, здесь даже и угадывать ничего не надо, само получается. Но даже тут можно показать несколько способов и сравнить их, это интересно и полезно для студентов. Кроме того, очень часто надо сначала именно угадать, иначе мы даже не будем знать что мы хотим доказывать. И нужно учить студентов и школьников угадывать тоже, а не только доказывать. Умение угадывать очень важно и для математиков, если они хотят сделать что-то новое.

-- 27.06.2014, 06:43 --

Munin в сообщении #880302 писал(а):

Nota bene: натаскивали. Если предыдущий этап давать серьёзно, тщательно и мучительно, то вы, конечно, можете этим воспользоваться, и дать свой этап легко и играючи. Но это ударит по следующему этапу, уже за вами. Что там дальше? Ряды, дифуры, ТФКП, преобразование Фурье, функциональный анализ? Всё просядет, если не посыплется.

Тщательно -- это не обязательно мучительно и даже не обязательно серьёзно. Работа над интересным предметом не обязана быть скучищей или каторгой. Играючи -- это не обязательно несерьёзно, наоборот, это может мотивировать людей и в деталях разобраться, и задачи порешать. И я не предлагал ограничиться слайдами, они лишь введение.

-- 27.06.2014, 06:55 --

g______d в сообщении #880505 писал(а):

А вообще, "playing" можно противопоставлять не только "решению однообразных примеров тестов", а ещё и полноценному курсу, в котором не будет занудства, но будут доказательства.

Вот только понятие полноценности надо получше понять. Для очень многих людей уныло брести строго логическим путём -- это занудство, это неестественно, а именно так и устроены многие курсы матана.

-- 27.06.2014, 07:02 --

g______d в сообщении #880505 писал(а):

По-моему, это в качестве рекламной лекции в основном и полезно. Чтобы люди записывались на курс математики.

К сожалению нет, назвать это рекламой нельзя, это слишком непохоже на то, как обычно преподаётся математика.

-- 27.06.2014, 07:10 --

g______d в сообщении #880685 писал(а):

это когда будет возможность сколько-нибудь нормально пройти их в курсе математики.

Нормально для кого? Строго логические построения и последовательность изложения ненормальны для большинства людей.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #880055 писал(а):

Это хорошая цитата, и я про неё где-то тоже говорил

Вот здесь, стр. 4 и 5: http://fizmat.ucoz.com/_ld/0/2_Arnold_chto_tak.pdf

-- 27.06.2014, 07:53 --

Munin в сообщении #880302 писал(а):

Это замечательно, я целиком "за". Именно так и надо математику представлять школьникам.

Хотите внедрить?

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #880049 писал(а):

mishafromusa в сообщении #879990 писал(а):

Где вы в последний раз видели не кусочно гёльдеровы функции

в классе кусочно гельдеровых функций от Ваших упрощений следа не останется, наоборот , более громоздкие доказательства пойдут, чем просто для непрерывных функций.

Что усложняется? Всё слово в слово, и не только для гёльдеровости, но и для (локально) равномерной непрерывности/дифференцируемости.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #880726 писал(а):

проще всего сделать по индукции, используя правило дифференцирования произведения, здесь даже и угадывать ничего не надо, само получается.

Само -- ничего не получится, в принципе не получится. По индукции можно доказывать лишь заранее сформулированные утверждения.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #880633 писал(а):

Пальцы это не математика, спросите у ewertа

Тогда давайте переименуем тему: "Как упростить преподавание пальцев нематематикам?" :-)

Потому что нематематикам именно пальцы и нужны. Та снобистская "математика, которая не пальцы", им не нужна.

mishafromusa в сообщении #880633 писал(а):

Конечно да, можно просто разделить уголком, а это должны знать все

Нет, не должны. Перед вами студенты, которые уголком делили до этого только десятичные числа.

mishafromusa в сообщении #880633 писал(а):

И вообще можно на примерах $n=2$ и $n=3$ усмотреть ответ.

Можно. Хотя это решение "угадайкой", и обесценивает всю педагогическую ценность вашего примера.

g______d в сообщении #880685 писал(а):

Нет, "на потом" – это когда будет возможность сколько-нибудь нормально пройти их в курсе математики. У кого-то это 1 курс, у кого-то старшие классы.

Недостаточно радикально :-)

g______d в сообщении #880685 писал(а):

А для нужд физики, возможно, достаточно объяснить физическую интерпретацию производной и научить искать ответ в справочнике. Вообще, если пофантазировать: может быть, вместо "математики для физиков" ввести справочниковое дело? Справочниковедение? Справочникологию? На самом деле ведь полезный навык, вообще во всех сферах деятельности.

Вообще "поиск информации". По справочникам, по интернету, составление библиографии, анализ источников, начиная со здавости того, "что написано на XXX сайте" и "что написано в Википедии".

И вот это стоило бы начать уже в школе. Даже в средних классах: молодёжь-то у нас продвинутая.

mishafromusa в сообщении #880726 писал(а):

Играючи -- это не обязательно несерьёзно

Но заведомо не тщательно.

Потому что играть в тщательность умеют только зануды. А среди детей таких не слишком много.

mishafromusa в сообщении #880726 писал(а):

Играючи -- ...это может мотивировать людей и в деталях разобраться, и задачи порешать.

А может и не мотивировать. В этом какой-то большой недостаток. Если вы чего-то не даёте сами - то не можете гарантировать, что все получат.

mishafromusa в сообщении #880726 писал(а):

К сожалению нет, назвать это рекламой нельзя, это слишком непохоже на то, как обычно преподаётся математика.

Реклама как раз этим свойством и обладает :-)

mishafromusa в сообщении #880749 писал(а):

Хотите внедрить?

Нет. Я не про ваши конкретные слайды.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #880888 писал(а):

Перед вами студенты, которые уголком делили до этого только десятичные числа.

А делить уголком многочлены ещё проще, и процедура знакомая, так что все всё быстро поймут, без проблем.

-- 27.06.2014, 12:16 --

Munin в сообщении #880888 писал(а):

Реклама как раз этим свойством и обладает

Да, но во всех цивилизованных странах есть законы против грубой дизинформации в рекламе.

-- 27.06.2014, 12:24 --

Munin в сообщении #880888 писал(а):

Можно. Хотя это решение "угадайкой", и обесценивает всю педагогическую ценность вашего примера.

Уметь угадывать не менее важно, чем уметь доказывать или пользоваться готовыми рецептами, и в математике тоже.

-- 27.06.2014, 12:32 --

ewert в сообщении #880873 писал(а):

mishafromusa в сообщении #880726 писал(а):

проще всего сделать по индукции, используя правило дифференцирования произведения, здесь даже и угадывать ничего не надо, само получается.

Само -- ничего не получится, в принципе не получится. По индукции можно доказывать лишь заранее сформулированные утверждения.

Неправда, если есть трюк, позволяющий перейти к следующему $n$ от предыдущего, то гипотеза появляется по ходу дела. Называть это индукцией или нет -- это уже цепляние к словам.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #880910 писал(а):

А делить уголком многочлены ещё проще, и процедура знакомая,

Опыт показывает, кстати, что сложнее. И именно потому, что процедура знакома; именно это знакомство и провоцирует ошибки.

Поскольку на числах эта процедура въелась уже в плоть и кровь и, соответственно, не воспринимается как нечто алгебраическое. Ну там что дважды два четыре -- какая ж это алгебра? -- это типа и так понятно. А тут уже надо сознавать, что это именно алгебра, а не просто привычка. И, в частности, не путаться со знаками (которых в арифметическом делении попросту нет), что с непривычки не всем под силу.

-- Пт июн 27, 2014 20:40:57 --

mishafromusa в сообщении #880910 писал(а):

если есть трюк, позволяющий

Ни одного трюка нет, покуда его не угадаешь (притом самостоятельно и в массовом масштабе). Иначе он не был бы трюком.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #880726 писал(а):

это может мотивировать людей и в деталях разобраться, и задачи порешать

Тогда может быть понять, что в данном случае значит "в деталях разобраться"? Всё равно разбираться они будут не сами, им надо помогать?

mishafromusa в сообщении #880726 писал(а):

Для очень многих людей уныло брести строго логическим путём -- это занудство, это неестественно, а именно так и устроены многие курсы матана.

mishafromusa в сообщении #880726 писал(а):

Строго логические построения и последовательность изложения ненормальны для большинства людей.

По-моему, если образование тщательно избегает занудства, неестественности, ненормальности, то с ним что-то не так. Самое естественное состояние для человека в гармонии с природой – разлагаться в земле. Образование должно что-то менять. Преодоление непонимания принципов работы математики – одна из важных частей образования. Высшего уж точно.

Munin в сообщении #880888 писал(а):

Потому что нематематикам именно пальцы и нужны. Та снобистская "математика, которая не пальцы", им не нужна.

Представлять о том, как устроена математика, чем она оперирует, что такое математическое доказательство, – нужно всем. Не обязательно при этом (нематематику) прорабатывать все доказательства, но нужно получить достаточное представление о процессе.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #880914 писал(а):

mishafromusa в сообщении #880910 писал(а):

если есть трюк, позволяющий

Ни одного трюка нет, покуда его не угадаешь (притом самостоятельно и в массовом масштабе). Иначе он не был бы трюком.

Вот это уже чистая демагогия, и это видно без очков. Вы сами же предложили трюк, т.е. воспользоваться формулой дифференцирования произведения, а теперь говорите, что его нет.

-- 27.06.2014, 15:32 --

ewert в сообщении #880914 писал(а):

mishafromusa в сообщении #880910 писал(а):

А делить уголком многочлены ещё проще, и процедура знакомая,

Опыт показывает, кстати, что сложнее. И именно потому, что процедура знакома; именно это знакомство и провоцирует ошибки.

Но это важнейший приём в алгебре, и многие его знают, и даже школьников ему учат. А тем, кто не знает, полезно узнать и освоить. Или Вы всё ещё считаете, что не дай бог в классе по анализу показать или применить что-то из алгебры (или наоборот)? Вот и получаются в результате аналитики, не имеющие представления об алгебре, или алгебраисты, не имеющие понятия об анализе.

-- 27.06.2014, 15:36 --

g______d в сообщении #880950 писал(а):

Тогда может быть понять, что в данном случае значит "в деталях разобраться"? Всё равно разбираться они будут не сами, им надо помогать?

Если детали достаточно простые, то и помощи нужно меньше, и многие из них можно представить в виде задач.

-- 27.06.2014, 15:39 --

g______d в сообщении #880950 писал(а):

По-моему, если образование тщательно избегает занудства, неестественности, ненормальности, то с ним что-то не так.

Опять утрирование и передёргивание.

-- 27.06.2014, 15:48 --

g______d в сообщении #880950 писал(а):

Представлять о том, как устроена математика, чем она оперирует, что такое математическое доказательство, – нужно всем. Не обязательно при этом (нематематику) прорабатывать все доказательства, но нужно получить достаточное представление о процессе.

Я согласен, что слишком избегать доказательств не стоит, но и слишком на них концентрироваться тоже не стоит, это создаёт карикатурное представление о математике, как наборе закостенелых логических цепочек, и мешает её применению, в особенности если пренебрегать догадками и поначалу нестрогими обобщениями, которые очень важны.

-- 27.06.2014, 15:57 --

g______d в сообщении #880950 писал(а):

Преодоление непонимания принципов работы математики – одна из важных частей образования. Высшего уж точно.

В математике есть много и другого, и более важного, чем строгость и цепляние к словам.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #880965 писал(а):

Опять утрирование и передёргивание.

Лучше бы по делу ответили. Мне уже начинают надоедать высказывания в стиле "большинство математиков зануды и формалисты, и сути своих определений не понимают".

mishafromusa в сообщении #880965 писал(а):

В математике есть много и другого, и более важного, чем строгость и цепляние к словам.

Математика отличается от остальных наук в первую очередь наличием строгости. И эффективность приложений математики именно в том, что утверждения оттуда верны вне зависимости от контекста (если не углубляться в основания). Демонстрировать это можно по-разному, конечно.

mishafromusa в сообщении #880965 писал(а):

Я согласен, что слишком избегать доказательств не стоит, но и слишком на них концентрироваться тоже не стоит,

При обучении студентов не стоит выдавать за доказательства и за точные определения то, что ими не является. Довольно легко пару раз продемонстрировать процесс превращения идеи (соображений, почему утверждение должно быть верным) в строгое рассуждение. А потом ограничиваться идеями и отсылать за строгими доказательствами к учебникам.

mishafromusa в сообщении #880965 писал(а):

это создаёт карикатурное представление о математике, как наборе закостенелых логических цепочек

Это представление как раз очень полезно на определенном этапе.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #880992 писал(а):

При обучении студентов не стоит выдавать за доказательства и за точные определения то, что ими не является.

Согласен, но не стоит впадать и в излишний педантизм, в особенности вначале.

-- 27.06.2014, 16:59 --

g______d в сообщении #880992 писал(а):

А потом ограничиваться идеями и отсылать за строгими доказательствами к учебникам.

Это здравая идея.

-- 27.06.2014, 17:15 --

g______d в сообщении #880950 писал(а):

По-моему, если образование тщательно избегает занудства, неестественности, ненормальности, то с ним что-то не так.

Хорошо, вот по делу. Полностью избегать трудно, но это не означает, что излишние занудство и неестественность способствуют усвоению предмета или делают его "более серьёзным."

[Munin]

g______d в сообщении #880950 писал(а):

Представлять о том, как устроена математика, чем она оперирует, что такое математическое доказательство, – нужно всем. Не обязательно при этом (нематематику) прорабатывать все доказательства, но нужно получить достаточное представление о процессе.

Отлично!

Давайте теперь представим, что о процессе дети представление получили. Скажем, на геометрии, где им тщательно доказали теорему Пифагора и теорему о сумме углов треугольника. Они впечатлены.

Теперь давайте считать эту задачу выполненной, и попробуем представить себе курс матанализа, не берущий на себя выполнение этой задачи. А? Можно?

g______d в сообщении #880992 писал(а):

Это представление как раз очень полезно на определенном этапе.

Ну-у-у... На каком именно этапе? Как этот этап не затянуть ненароком сверх должного?

[g______d]

Munin в сообщении #881020 писал(а):

Теперь давайте считать эту задачу выполненной, и попробуем представить себе курс матанализа, не берущий на себя выполнение этой задачи. А? Можно?

Можно. Будет Calculus, который я здесь уже 100 раз упоминал.

Хотя в целом я предпочел бы во всех курсах математики приводить примеры доказательств, специфичных именно для этой области. Например, в анализе (даже для нематематиков) показать пару теорем, использующих $\varepsilon$-$\delta$ язык.

Мое мнение о курсах для не-математиков, все-таки, в том, что курс должен оставаться курсом математики. Степень подробности — другой вопрос, но мне не кажется полезным изобретать (принципиально) другие теоремы и (принципиально) другие определения специально для не-математиков. В каком-то смысле роль математики в том, чтобы генерировать истины, близкие к абсолютным (хотя иногда и бесполезные для кого-то), и мне не кажется правильным эту роль отбирать.

-- Пт, 27 июн 2014 16:29:30 --

Munin в сообщении #881020 писал(а):

Как этот этап не затянуть ненароком сверх должного?

Для кого? Если для не-математиков, то это представление им ничем не помешает, они все равно будут пользоваться готовыми утверждениями и методами. Будет просто какая-то seal of approval, в существование которой им придется поверить, если они не захотят все сами проверять.

Для математиков (или людей, достаточно долго изучающих полноценную математику) это представление уходит само. Как только человек понимает, как происходят формальные доказательства, он поднимается на следующий уровень, на котором ему уже не нужно каждый раз проверять все детали, он знает, что их восстановит при необходимости. Дальше уровни абстракции растут, можно переходить на следующий, если твердо стоишь на предыдущем.