2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54 ... 67  След.
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 14:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
mishafromusa
(Спасибо, что наконец-то откликнулись и начали делиться своими материалами.)

Я вижу в ваших слайдах http://mathfoolery.com/talk-2004.pdf один замечательный момент: акцент на playing, то есть, представление математики как игры и веселья, а не занудного копания в мелочах с серьёзным видом.

Это замечательно, я целиком "за". Именно так и надо математику представлять школьникам. И это совершенно утеряно в нашей программе, где акцент делается на заученном решении однообразных примеров тестов (ЕГЭ).

Что интересно, учебники для младших классов (1-4) стараются быть весёлыми и игровыми. Для старших - уже ни в какую.

mishafromusa в сообщении #880088 писал(а):
По-моему это нечто большее, чем просто 'поиграться с формулами и неравенствами."

По-моему, нет, но большего и не надо.

Вообще, пожалуй, умение "взять производную от любой элементарной функции" сильно превознесено. Его можно отложить на потом. Реально понадобится оно в вузе. (Или для тех же занудных "тесто-экзаменационных" заданий, генерируемых пачками без смысла.)

g______d в сообщении #880091 писал(а):
Типичный вопрос: как ведут себя нормы в $C$ собственных функций оператора Лапласа в области при больших $\lambda$? Я видел довольно много работ на эту тему, в том числе и за последние 10 лет.

Это всё для продвинутых математиков (максимум продвинутых же теорфизиков), или мы всё-таки обсуждаем преподавание нематематикам, школьникам и студентам?

-- 26.06.2014 15:22:18 --

mishafromusa в сообщении #880116 писал(а):
Нужно написать 2 книжки: Курс грязной математики и Высшая математика с точки зрения элементарной.

Ну напишите, кто вас останавливает?

Только присоединюсь к напоминанию: без чёткого понимания, для кого и для чего вы их пишете, вы обречены на провал (не во время написания, так по незаинтересованности читателей).

g______d в сообщении #880120 писал(а):
Не знаю, конечно, но у меня по Вашим рассказам сложилось впечатление, что это было больше как развлекательный курс, чем как серьёзный.

Для целей физики и нужен именно развлекательный курс математики.

mishafromusa в сообщении #880121 писал(а):
Зря что ли их натаскивали разлагать на множители?

Nota bene: натаскивали. Если предыдущий этап давать серьёзно, тщательно и мучительно, то вы, конечно, можете этим воспользоваться, и дать свой этап легко и играючи. Но это ударит по следующему этапу, уже за вами. Что там дальше? Ряды, дифуры, ТФКП, преобразование Фурье, функциональный анализ? Всё просядет, если не посыплется.

Это просто идея сбросить с себя ответственность. Да, так можно, и ученики будут вас сильно любить.

А если бы на предыдущем этапе школьников не натаскивали разлагать многочлены на множители? Тоже показали играючи пару примеров, и всё. Смогли бы вы тогда рассказать $\dfrac{x^n-a^n}{x-a}$ без долгого, на много часов, углубления в алгебру? Боюсь, нет.

g______d в сообщении #880128 писал(а):
Но физики обычно любят сразу применить формулу Тейлора (которую они называют рядом Тейлора и ищут в таблицах)

Во-первых, не раньше, чем про Тейлора расскажут на матанализе.
Во-вторых, физики ищут Тейлора не в таблицах, а умеют и сами при необходимости взять $n$-ю производную. Просто часто это муторно. С появлением Mathematica быстрее не лезть в таблицу, а спросить у машинки.

g______d в сообщении #880128 писал(а):
Могут даже бином Ньютона наизусть не помнить – потому что, во-первых, это есть в справочнике, а, во-вторых, – всё равно нужен только первый член.

Обижаете, $C_n^k$ выжжен в мозгу калёным железом.

-- 26.06.2014 15:46:11 --

g______d в сообщении #880133 писал(а):
Физики редко когда задумываются о том, можно ли выкинуть следующий порядок малости, а просто берут и выкидывают.

Ещё бы. Проще просто взять на 1-2 порядка больше чем надо (и выкинуть последующие). Повторяю: в физике все коэффициенты порядка единицы. За о-о-очень редким исключением.

Как страшную пугалку, в физике рассказывают про ряды, которые на протяжении ~100 членов сходятся, а потом где-то далеко расходятся (или не 100, а $e^{100},$ или наоборот, сначала растут, а потом сходятся). Но это бывает исключительно редко, и кажется, до времён КТП вообще не встречалось. Но это всё байки. Напороться на это труднее, чем на медведя посреди города.

mishafromusa в сообщении #880134 писал(а):
Я тоже уже на пенсии.

Самое время книжку писать.

mishafromusa в сообщении #880134 писал(а):
Вот их и надо к порядку приучить.

Вот не надо неуместных идей о том, к чему надо приучить физиков. Физики себя прекрасно чувствуют без этих советов.

g______d в сообщении #880135 писал(а):
А ещё в школьной геометрии была такая мозгоразрывающая вещь, как угол между касательной и хордой. До этого касательная вводилась как прямая, пересекающая окружность в одной точке, а чтобы понять вышеуказанную вещь, можно было воспользоваться теоремой о равенстве двух углов, опирающихся на равные дуги, и перейти к пределу, но для этого нужно было правильное определение касательной.

Не уверен, что не ляпну глупость, но мне кажется, можно проще: проведём хорду вправо и вспомогательную хорду влево от точки касания. Ну и касательная будет между ними.

g______d в сообщении #880140 писал(а):
У них уже есть понятие скорости, интуитивное, и оно ближе всего к понятию предела.

Всё-таки оно ближе всего к понятию производной. Тоже является функцией времени. И вообще, производную любой функции от $t$ часто называют неформально "скорость роста чего-то", и от другой переменной - иногда тоже. Даже в экономике. "Сопротивление - скорость роста напряжения при увеличении тока", как-то так.

mishafromusa в сообщении #880153 писал(а):
Понятие о скорости есть у всех, проблема в том, чтобы сделать это понятие полезным для вычислений.

Проблема в том, что вы неправильно выделили и распознали проблему.

g______d в сообщении #880155 писал(а):
А большинство физических вычислений начинаются словами "рассмотрим достаточно малое $\Delta x$" или "$\Delta t$".

Нет, не надо. Таких физических вычислений не бывает :-) Это так в школьных учебниках физики дают некоторые свойства производных, которым место в курсе матанализа.

А физические вычисления начинаются словами "имеем такие-то законы, покрутив их, получим дифур, и начинаем его решать", или "поскольку $a$ - малый параметр, то отсюда следует...". И это всё примерно в вузе.

В школе физических вычислений вообще практически нет. Алгебраические уравнения (не более сложные, чем падение по параболе) - это не вычисления вообще. И вставлены они в курс физики только для того, чтобы опять же, было что спрашивать на тестах-экзаменах. Бр-р-р! Достаточно параболу показать, и объяснить её свойства, что там вычислять-то по пятьдесят раз?

g______d в сообщении #880155 писал(а):
Кстати говоря, хорошим примером использования свойств производной являются лабораторные работы и вычисление погрешности; например, что при сложении складываются абсолютные погрешности, а при умножении относительные (если не говорить про средние квадратичные). Сложение относительных погрешностей – в чистом виде производная произведения.

Тут +1.

mishafromusa в сообщении #880225 писал(а):
Зачем на пальцах если есть алгебра?

Зачем алгебра, если есть пальцы?

Вы же как раз хотите понятности. Алгебра - это не понятность, а совсем наоборот. Игра в закорючки. Ноль интуиции (точнее, интуиция там появляется весьма поздно, к эпохе ТФКП, когда график полинома $n$-й степени сам в голове всплывает, с кучей корней и экстремумов, а иногда и с нулями на комплексной плоскости).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 21:31 


12/02/14
808
ewert в сообщении #880292 писал(а):
mishafromusa в сообщении #880225 писал(а):
Почему? $x^n -a^n =(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\dots +a^{n-1})$ всё просто.

Многоточие уже не слишком радует. А если теперь ещё и честно расписать отсюда Вашу любимую липшицеву дифференцируемость...На сколько строчек растянется формула?...[/eking]Не на много. Вообще если подойти этому концептуально, а не механически, то всё становится понятно. Если расписать выражение $p( x+h)$, где $p$ многочлен, по степеням $h$, то будет постоянный член $p(x)$, линейный член $p'(x)h$ а остальное равно $h^2$ на многочлен, и локально липшицева оценка следует.
Если вернуться к нашей формуле, то видно, что второй множитель равен $na^{n-1}$ плюс многочлен, имеющий нуль $x=a$ и следовательно делящийся на $x-a$, вот и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 21:32 


12/02/14
808
ewert в сообщении #880292 писал(а):
mishafromusa в сообщении #880225 писал(а):
Почему? $x^n -a^n =(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\dots +a^{n-1})$ всё просто.

Многоточие уже не слишком радует. А если теперь ещё и честно расписать отсюда Вашу любимую липшицеву дифференцируемость...На сколько строчек растянется формула?...
Не на много. Вообще если подойти этому концептуально, а не механически, то всё становится понятно. Если расписать выражение $p( x+h)$, где $p$ многочлен, по степеням $h$, то будет постоянный член $p(x)$, линейный член $p'(x)h$ а остальное равно $h^2$ на многочлен, и локально липшицева оценка следует.
Если вернуться к нашей формуле, то видно, что второй множитель равен $na^{n-1}$ плюс многочлен, имеющий нуль $x=a$ и следовательно делящийся на $x-a$, вот и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 21:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mishafromusa в сообщении #880480 писал(а):
Если расписать выражение $p( x+h)$, где $p$ многочлен, по степеням $h$, то будет постоянный член $p(x)$, линейный член $p'(x)h$ а остальное равно $h^2$ на многочлен,

Вот и распишите все аккуратно. Побуквенно. А потом так же аккуратненько подсчитайте знаки.

А так, концептуально -- конечно, всем ежам всё понятно; и всем очевидно, что всё это можно изложить в сей секунд. До тех пор, пока не попытаешься это всё-таки формализовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 21:45 


12/02/14
808
ewert в сообщении #880483 писал(а):
mishafromusa в сообщении #880480 писал(а):
Если расписать выражение $p( x+h)$, где $p$ многочлен, по степеням $h$, то будет постоянный член $p(x)$, линейный член $p'(x)h$ а остальное равно $h^2$ на многочлен,

Вот и распишите все аккуратно. Побуквенно. А потом так же аккуратненько подсчитайте знаки.

А так, концептуально -- конечно, всем ежам всё понятно; и всем очевидно, что всё это можно изложить в сей секунд. До тех пор, пока не попытаешься это всё-таки формализовать.
Да что формализовывать-то? Что многочлен локально ограничен? Это знает даже ёж. И расписывать не нужно, т.к. всё линейно, а для $x^n$ уже сосчитано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 21:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mishafromusa в сообщении #880489 писал(а):
Что многочлен локально ограничен? Это знает даже ёж.

Какой многочлен-то?... Вы его сперва аккуратно выпишьте (того, кому предназначено быть ограниченным), со всеми его слагаемыми, и с обоими его аргументами. Потом подсчитайте знаки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 21:55 


12/02/14
808
ewert в сообщении #880494 писал(а):
mishafromusa в сообщении #880489 писал(а):
Что многочлен локально ограничен? Это знает даже ёж.

Какой многочлен-то?... Вы его сперва аккуратно выпишьте (того, кому предназначено быть ограниченным), со всеми его слагаемыми, и с обоими его аргументами. Потом подсчитайте знаки.
Да любой! И никакие знаки не нужны, оценка по абсолютной величине.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #880302 писал(а):
Это замечательно, я целиком "за". Именно так и надо математику представлять школьникам. И это совершенно утеряно в нашей программе, где акцент делается на заученном решении однообразных примеров тестов (ЕГЭ).


По-моему, это в качестве рекламной лекции в основном и полезно. Чтобы люди записывались на курс математики.

А вообще, "playing" можно противопоставлять не только "решению однообразных примеров тестов", а ещё и полноценному курсу, в котором не будет занудства, но будут доказательства.

Munin в сообщении #880302 писал(а):
Вообще, пожалуй, умение "взять производную от любой элементарной функции" сильно превознесено. Его можно отложить на потом.


+1

Munin в сообщении #880302 писал(а):
Это всё для продвинутых математиков (максимум продвинутых же теорфизиков), или мы всё-таки обсуждаем преподавание нематематикам, школьникам и студентам?


Это было про замечание о том, что пространство $C$ в PDE встречается только как патология; к курсу, в общем-то, отношения не имеющее.

Munin в сообщении #880302 писал(а):
Для целей физики и нужен именно развлекательный курс математики.


По-моему, развлекательный курс нужен в первую очередь для развлечения. А можно, наверное, совместить приятное с полезным и ещё чему-то научить.

Munin в сообщении #880302 писал(а):
Обижаете, $C_n^k$ выжжен в мозгу калёным железом.


Подозреваю, что не у всех, хотя могу и ошибаться. И уж точно не у всех он называется $C_n^k$ :)

Munin в сообщении #880302 писал(а):
Не уверен, что не ляпну глупость, но мне кажется, можно проще: проведём хорду вправо и вспомогательную хорду влево от точки касания. Ну и касательная будет между ними.


Я был маленький и глупый. Сейчас-то я знаю, что это решается дополнительным построением. Можно, например, построить вторую хорду такой же длины из точки касания и воспользоваться суммой углов треугольника (мы, кстати, вообще об одном и том же утверждении говорим?)

Munin в сообщении #880302 писал(а):
Это так в школьных учебниках физики дают некоторые свойства производных, которым место в курсе матанализа.


Я имел ввиду вывод формулы для разложения ускорения на нормальное и тангенциальное, до сих пор помню как какой-то кошмар, какая-то картинка с кучей стрелочек и дельт.

При том, что, зная производную, всё выводится очень легко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 22:17 


12/02/14
808
Это же те же самые выкладки, которые делаются при подсчёте производной от $x^n$ через предел, но оценки поконкретнее, ewert

-- 26.06.2014, 15:45 --

g______d в сообщении #880505 писал(а):
По-моему, это в качестве рекламной лекции в основном и полезно. Чтобы люди записывались на курс математики.

А вообще, "playing" можно противопоставлять не только "решению однообразных примеров тестов", а ещё и полноценному курсу, в котором не будет занудства, но будут доказательства.
В том-то и дело, что в липшицевом подходе доказательств мало и они все простые.

-- 26.06.2014, 15:50 --

g______d в сообщении #880505 писал(а):
Подозреваю, что не у всех, хотя могу и ошибаться. И уж точно не у всех он называется $C_n^k$ :)
На западе это $(_k^n)$. читается "n pick k."

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #880505 писал(а):
По-моему, это в качестве рекламной лекции в основном и полезно. Чтобы люди записывались на курс математики.

Не знаю. Я всё-таки считаю, что математика для нематематиков - предмет, к которому вы совершенно несерьёзно относитесь. К его коренным отличиям от математики для математиков.

g______d в сообщении #880505 писал(а):
А вообще, "playing" можно противопоставлять не только "решению однообразных примеров тестов", а ещё и полноценному курсу, в котором не будет занудства, но будут доказательства.

Можно, но зачем доводить придирки до абсурда? Вы же понимаете, что я не это имел в виду.

g______d в сообщении #880505 писал(а):
Это было про замечание о том, что пространство $C$ в PDE встречается только как патология; к курсу, в общем-то, отношения не имеющее.

Ну, это выглядело с точностью до наоборот: "мейнстрим, мол". Хорошо, спасибо за объяснение.

g______d в сообщении #880505 писал(а):
По-моему, развлекательный курс нужен в первую очередь для развлечения. А можно, наверное, совместить приятное с полезным и ещё чему-то научить.

Я это и имел в виду. Проблема в том, что в распространённой практике про приятное не просто забывают, а даже, кажется, прилагают максимум усилий, чтобы полезное сделать неприятным.

g______d в сообщении #880505 писал(а):
Я имел ввиду вывод формулы для разложения ускорения на нормальное и тангенциальное, до сих пор помню как какой-то кошмар, какая-то картинка с кучей стрелочек и дельт.

При том, что, зная производную, всё выводится очень легко.

Эта формула, кстати, встречается только в вузе. В школьной физике нафиг не нужна. Так что где её могли излагать без производной - вообще не могу вообразить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 23:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #880558 писал(а):
Так что где её могли излагать без производной - вообще не могу вообразить.


Меня заставляли знать её доказательство (с этой жуткой картинкой) на физике в 8 классе. Но это мои личные проблемы, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 23:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #880505 писал(а):
Munin в сообщении #880302 писал(а):
Вообще, пожалуй, умение "взять производную от любой элементарной функции" сильно превознесено. Его можно отложить на потом.

+1

Довольно интересная точка согласия.

До когда на потом? Я думаю, что смело не раньше вуза. В вузе, может быть, на 2 семестр 1 курса, но дальше у меня смелости не хватает.

Хотя всё это одного поля ягоды: "возьми любую производную", "возьми любой интеграл", "реши любой дифур". Можно всё унести в справочник, и держать там.

В физике, де факто, нужны только некоторые производные, интегралы и дифуры. Ну разумеется, рассказать про правила дифференцирования стоит (чтобы потом не запинаться на какой-нибудь $x^n e^{-x^2/a}$), но надрессировывать на них - хм-м-м... В общем случае, в физике рисуют от руки какой-то график, говорят: "это, мол, потенциальная энергия", и дальше обсуждают её свойства в общем виде, рисуя так же от руки график производной от первого графика.

-- 27.06.2014 00:29:22 --

g______d в сообщении #880563 писал(а):
Меня заставляли знать её доказательство (с этой жуткой картинкой) на физике в 8 классе. Но это мои личные проблемы, конечно.

Скажем так, нестандартный курс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 23:45 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
У меня была подобная жуткая картинка при выводе центростремительного ускорения. Других нормальных ускорений там и не встречалось. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение27.06.2014, 04:20 


12/02/14
808
Munin в сообщении #880302 писал(а):
mishafromusa
(Спасибо, что наконец-то откликнулись и начали делиться своими материалами.)
Я это уже вывешивал, и вроде не один раз. Вот расширенный вариант, где разобраны другие модули непрерывности, дифференцирование, как разложение на можители и многая переменная: http://mathfoolery.com/talk-2010.pdf посмотрите, может тоже понравится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение27.06.2014, 04:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #880558 писал(а):
Ну, это выглядело с точностью до наоборот: "мейнстрим, мол". Хорошо, спасибо за объяснение.


Я утверждал, что не патология, а, действительно, почти мейнстрим (пишу это на всякий случай, чтобы смысл случайно не исказился на $\pi$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 991 ]  На страницу Пред.  1 ... 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54 ... 67  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group