Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[Munin]

mishafromusa
(Спасибо, что наконец-то откликнулись и начали делиться своими материалами.)

Я вижу в ваших слайдах http://mathfoolery.com/talk-2004.pdf один замечательный момент: акцент на playing, то есть, представление математики как игры и веселья, а не занудного копания в мелочах с серьёзным видом.

Это замечательно, я целиком "за". Именно так и надо математику представлять школьникам. И это совершенно утеряно в нашей программе, где акцент делается на заученном решении однообразных примеров тестов (ЕГЭ).

Что интересно, учебники для младших классов (1-4) стараются быть весёлыми и игровыми. Для старших - уже ни в какую.

mishafromusa в сообщении #880088 писал(а):

По-моему это нечто большее, чем просто 'поиграться с формулами и неравенствами."

По-моему, нет, но большего и не надо.

Вообще, пожалуй, умение "взять производную от любой элементарной функции" сильно превознесено. Его можно отложить на потом. Реально понадобится оно в вузе. (Или для тех же занудных "тесто-экзаменационных" заданий, генерируемых пачками без смысла.)

g______d в сообщении #880091 писал(а):

Типичный вопрос: как ведут себя нормы в $C$ собственных функций оператора Лапласа в области при больших $\lambda$? Я видел довольно много работ на эту тему, в том числе и за последние 10 лет.

Это всё для продвинутых математиков (максимум продвинутых же теорфизиков), или мы всё-таки обсуждаем преподавание нематематикам, школьникам и студентам?

-- 26.06.2014 15:22:18 --

mishafromusa в сообщении #880116 писал(а):

Нужно написать 2 книжки: Курс грязной математики и Высшая математика с точки зрения элементарной.

Ну напишите, кто вас останавливает?

Только присоединюсь к напоминанию: без чёткого понимания, для кого и для чего вы их пишете, вы обречены на провал (не во время написания, так по незаинтересованности читателей).

g______d в сообщении #880120 писал(а):

Не знаю, конечно, но у меня по Вашим рассказам сложилось впечатление, что это было больше как развлекательный курс, чем как серьёзный.

Для целей физики и нужен именно развлекательный курс математики.

mishafromusa в сообщении #880121 писал(а):

Зря что ли их натаскивали разлагать на множители?

Nota bene: натаскивали. Если предыдущий этап давать серьёзно, тщательно и мучительно, то вы, конечно, можете этим воспользоваться, и дать свой этап легко и играючи. Но это ударит по следующему этапу, уже за вами. Что там дальше? Ряды, дифуры, ТФКП, преобразование Фурье, функциональный анализ? Всё просядет, если не посыплется.

Это просто идея сбросить с себя ответственность. Да, так можно, и ученики будут вас сильно любить.

А если бы на предыдущем этапе школьников не натаскивали разлагать многочлены на множители? Тоже показали играючи пару примеров, и всё. Смогли бы вы тогда рассказать $\dfrac{x^n-a^n}{x-a}$ без долгого, на много часов, углубления в алгебру? Боюсь, нет.

g______d в сообщении #880128 писал(а):

Но физики обычно любят сразу применить формулу Тейлора (которую они называют рядом Тейлора и ищут в таблицах)

Во-первых, не раньше, чем про Тейлора расскажут на матанализе.
Во-вторых, физики ищут Тейлора не в таблицах, а умеют и сами при необходимости взять $n$-ю производную. Просто часто это муторно. С появлением Mathematica быстрее не лезть в таблицу, а спросить у машинки.

g______d в сообщении #880128 писал(а):

Могут даже бином Ньютона наизусть не помнить – потому что, во-первых, это есть в справочнике, а, во-вторых, – всё равно нужен только первый член.

Обижаете, $C_n^k$ выжжен в мозгу калёным железом.

-- 26.06.2014 15:46:11 --

g______d в сообщении #880133 писал(а):

Физики редко когда задумываются о том, можно ли выкинуть следующий порядок малости, а просто берут и выкидывают.

Ещё бы. Проще просто взять на 1-2 порядка больше чем надо (и выкинуть последующие). Повторяю: в физике все коэффициенты порядка единицы. За о-о-очень редким исключением.

Как страшную пугалку, в физике рассказывают про ряды, которые на протяжении ~100 членов сходятся, а потом где-то далеко расходятся (или не 100, а $e^{100},$ или наоборот, сначала растут, а потом сходятся). Но это бывает исключительно редко, и кажется, до времён КТП вообще не встречалось. Но это всё байки. Напороться на это труднее, чем на медведя посреди города.

mishafromusa в сообщении #880134 писал(а):

Я тоже уже на пенсии.

Самое время книжку писать.

mishafromusa в сообщении #880134 писал(а):

Вот их и надо к порядку приучить.

Вот не надо неуместных идей о том, к чему надо приучить физиков. Физики себя прекрасно чувствуют без этих советов.

g______d в сообщении #880135 писал(а):

А ещё в школьной геометрии была такая мозгоразрывающая вещь, как угол между касательной и хордой. До этого касательная вводилась как прямая, пересекающая окружность в одной точке, а чтобы понять вышеуказанную вещь, можно было воспользоваться теоремой о равенстве двух углов, опирающихся на равные дуги, и перейти к пределу, но для этого нужно было правильное определение касательной.

Не уверен, что не ляпну глупость, но мне кажется, можно проще: проведём хорду вправо и вспомогательную хорду влево от точки касания. Ну и касательная будет между ними.

g______d в сообщении #880140 писал(а):

У них уже есть понятие скорости, интуитивное, и оно ближе всего к понятию предела.

Всё-таки оно ближе всего к понятию производной. Тоже является функцией времени. И вообще, производную любой функции от $t$ часто называют неформально "скорость роста чего-то", и от другой переменной - иногда тоже. Даже в экономике. "Сопротивление - скорость роста напряжения при увеличении тока", как-то так.

mishafromusa в сообщении #880153 писал(а):

Понятие о скорости есть у всех, проблема в том, чтобы сделать это понятие полезным для вычислений.

Проблема в том, что вы неправильно выделили и распознали проблему.

g______d в сообщении #880155 писал(а):

А большинство физических вычислений начинаются словами "рассмотрим достаточно малое $\Delta x$" или "$\Delta t$".

Нет, не надо. Таких физических вычислений не бывает :-) Это так в школьных учебниках физики дают некоторые свойства производных, которым место в курсе матанализа.

А физические вычисления начинаются словами "имеем такие-то законы, покрутив их, получим дифур, и начинаем его решать", или "поскольку $a$ - малый параметр, то отсюда следует...". И это всё примерно в вузе.

В школе физических вычислений вообще практически нет. Алгебраические уравнения (не более сложные, чем падение по параболе) - это не вычисления вообще. И вставлены они в курс физики только для того, чтобы опять же, было что спрашивать на тестах-экзаменах. Бр-р-р! Достаточно параболу показать, и объяснить её свойства, что там вычислять-то по пятьдесят раз?

g______d в сообщении #880155 писал(а):

Кстати говоря, хорошим примером использования свойств производной являются лабораторные работы и вычисление погрешности; например, что при сложении складываются абсолютные погрешности, а при умножении относительные (если не говорить про средние квадратичные). Сложение относительных погрешностей – в чистом виде производная произведения.

Тут +1.

mishafromusa в сообщении #880225 писал(а):

Зачем на пальцах если есть алгебра?

Зачем алгебра, если есть пальцы?

Вы же как раз хотите понятности. Алгебра - это не понятность, а совсем наоборот. Игра в закорючки. Ноль интуиции (точнее, интуиция там появляется весьма поздно, к эпохе ТФКП, когда график полинома $n$-й степени сам в голове всплывает, с кучей корней и экстремумов, а иногда и с нулями на комплексной плоскости).

[mishafromusa]

ewert в сообщении #880292 писал(а):

mishafromusa в сообщении #880225 писал(а):

Почему? $x^n -a^n =(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\dots +a^{n-1})$ всё просто.

Многоточие уже не слишком радует. А если теперь ещё и честно расписать отсюда Вашу любимую липшицеву дифференцируемость...На сколько строчек растянется формула?...[/eking]Не на много. Вообще если подойти этому концептуально, а не механически, то всё становится понятно. Если расписать выражение $p( x+h)$, где $p$ многочлен, по степеням $h$, то будет постоянный член $p(x)$, линейный член $p'(x)h$ а остальное равно $h^2$ на многочлен, и локально липшицева оценка следует.
Если вернуться к нашей формуле, то видно, что второй множитель равен $na^{n-1}$ плюс многочлен, имеющий нуль $x=a$ и следовательно делящийся на $x-a$, вот и всё.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #880292 писал(а):

mishafromusa в сообщении #880225 писал(а):

Почему? $x^n -a^n =(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\dots +a^{n-1})$ всё просто.

Многоточие уже не слишком радует. А если теперь ещё и честно расписать отсюда Вашу любимую липшицеву дифференцируемость...На сколько строчек растянется формула?...

Не на много. Вообще если подойти этому концептуально, а не механически, то всё становится понятно. Если расписать выражение $p( x+h)$, где $p$ многочлен, по степеням $h$, то будет постоянный член $p(x)$, линейный член $p'(x)h$ а остальное равно $h^2$ на многочлен, и локально липшицева оценка следует.
Если вернуться к нашей формуле, то видно, что второй множитель равен $na^{n-1}$ плюс многочлен, имеющий нуль $x=a$ и следовательно делящийся на $x-a$, вот и всё.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #880480 писал(а):

Если расписать выражение $p( x+h)$, где $p$ многочлен, по степеням $h$, то будет постоянный член $p(x)$, линейный член $p'(x)h$ а остальное равно $h^2$ на многочлен,

Вот и распишите все аккуратно. Побуквенно. А потом так же аккуратненько подсчитайте знаки.

А так, концептуально -- конечно, всем ежам всё понятно; и всем очевидно, что всё это можно изложить в сей секунд. До тех пор, пока не попытаешься это всё-таки формализовать.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #880483 писал(а):

mishafromusa в сообщении #880480 писал(а):

Если расписать выражение $p( x+h)$, где $p$ многочлен, по степеням $h$, то будет постоянный член $p(x)$, линейный член $p'(x)h$ а остальное равно $h^2$ на многочлен,

Вот и распишите все аккуратно. Побуквенно. А потом так же аккуратненько подсчитайте знаки.

А так, концептуально -- конечно, всем ежам всё понятно; и всем очевидно, что всё это можно изложить в сей секунд. До тех пор, пока не попытаешься это всё-таки формализовать.

Да что формализовывать-то? Что многочлен локально ограничен? Это знает даже ёж. И расписывать не нужно, т.к. всё линейно, а для $x^n$ уже сосчитано.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #880489 писал(а):

Что многочлен локально ограничен? Это знает даже ёж.

Какой многочлен-то?... Вы его сперва аккуратно выпишьте (того, кому предназначено быть ограниченным), со всеми его слагаемыми, и с обоими его аргументами. Потом подсчитайте знаки.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #880494 писал(а):

mishafromusa в сообщении #880489 писал(а):

Что многочлен локально ограничен? Это знает даже ёж.

Какой многочлен-то?... Вы его сперва аккуратно выпишьте (того, кому предназначено быть ограниченным), со всеми его слагаемыми, и с обоими его аргументами. Потом подсчитайте знаки.

Да любой! И никакие знаки не нужны, оценка по абсолютной величине.

[g______d]

Munin в сообщении #880302 писал(а):

Это замечательно, я целиком "за". Именно так и надо математику представлять школьникам. И это совершенно утеряно в нашей программе, где акцент делается на заученном решении однообразных примеров тестов (ЕГЭ).

По-моему, это в качестве рекламной лекции в основном и полезно. Чтобы люди записывались на курс математики.

А вообще, "playing" можно противопоставлять не только "решению однообразных примеров тестов", а ещё и полноценному курсу, в котором не будет занудства, но будут доказательства.

Munin в сообщении #880302 писал(а):

Вообще, пожалуй, умение "взять производную от любой элементарной функции" сильно превознесено. Его можно отложить на потом.

+1

Munin в сообщении #880302 писал(а):

Это всё для продвинутых математиков (максимум продвинутых же теорфизиков), или мы всё-таки обсуждаем преподавание нематематикам, школьникам и студентам?

Это было про замечание о том, что пространство $C$ в PDE встречается только как патология; к курсу, в общем-то, отношения не имеющее.

Munin в сообщении #880302 писал(а):

Для целей физики и нужен именно развлекательный курс математики.

По-моему, развлекательный курс нужен в первую очередь для развлечения. А можно, наверное, совместить приятное с полезным и ещё чему-то научить.

Munin в сообщении #880302 писал(а):

Обижаете, $C_n^k$ выжжен в мозгу калёным железом.

Подозреваю, что не у всех, хотя могу и ошибаться. И уж точно не у всех он называется $C_n^k$ :)

Munin в сообщении #880302 писал(а):

Не уверен, что не ляпну глупость, но мне кажется, можно проще: проведём хорду вправо и вспомогательную хорду влево от точки касания. Ну и касательная будет между ними.

Я был маленький и глупый. Сейчас-то я знаю, что это решается дополнительным построением. Можно, например, построить вторую хорду такой же длины из точки касания и воспользоваться суммой углов треугольника (мы, кстати, вообще об одном и том же утверждении говорим?)

Munin в сообщении #880302 писал(а):

Это так в школьных учебниках физики дают некоторые свойства производных, которым место в курсе матанализа.

Я имел ввиду вывод формулы для разложения ускорения на нормальное и тангенциальное, до сих пор помню как какой-то кошмар, какая-то картинка с кучей стрелочек и дельт.

При том, что, зная производную, всё выводится очень легко.

[mishafromusa]

Это же те же самые выкладки, которые делаются при подсчёте производной от $x^n$ через предел, но оценки поконкретнее, ewert

-- 26.06.2014, 15:45 --

g______d в сообщении #880505 писал(а):

По-моему, это в качестве рекламной лекции в основном и полезно. Чтобы люди записывались на курс математики.

А вообще, "playing" можно противопоставлять не только "решению однообразных примеров тестов", а ещё и полноценному курсу, в котором не будет занудства, но будут доказательства.

В том-то и дело, что в липшицевом подходе доказательств мало и они все простые.

-- 26.06.2014, 15:50 --

g______d в сообщении #880505 писал(а):

Подозреваю, что не у всех, хотя могу и ошибаться. И уж точно не у всех он называется $C_n^k$ :)

На западе это $(_k^n)$. читается "n pick k."

[Munin]

g______d в сообщении #880505 писал(а):

По-моему, это в качестве рекламной лекции в основном и полезно. Чтобы люди записывались на курс математики.

Не знаю. Я всё-таки считаю, что математика для нематематиков - предмет, к которому вы совершенно несерьёзно относитесь. К его коренным отличиям от математики для математиков.

g______d в сообщении #880505 писал(а):

А вообще, "playing" можно противопоставлять не только "решению однообразных примеров тестов", а ещё и полноценному курсу, в котором не будет занудства, но будут доказательства.

Можно, но зачем доводить придирки до абсурда? Вы же понимаете, что я не это имел в виду.

g______d в сообщении #880505 писал(а):

Это было про замечание о том, что пространство $C$ в PDE встречается только как патология; к курсу, в общем-то, отношения не имеющее.

Ну, это выглядело с точностью до наоборот: "мейнстрим, мол". Хорошо, спасибо за объяснение.

g______d в сообщении #880505 писал(а):

По-моему, развлекательный курс нужен в первую очередь для развлечения. А можно, наверное, совместить приятное с полезным и ещё чему-то научить.

Я это и имел в виду. Проблема в том, что в распространённой практике про приятное не просто забывают, а даже, кажется, прилагают максимум усилий, чтобы полезное сделать неприятным.

g______d в сообщении #880505 писал(а):

Я имел ввиду вывод формулы для разложения ускорения на нормальное и тангенциальное, до сих пор помню как какой-то кошмар, какая-то картинка с кучей стрелочек и дельт.

При том, что, зная производную, всё выводится очень легко.

Эта формула, кстати, встречается только в вузе. В школьной физике нафиг не нужна. Так что где её могли излагать без производной - вообще не могу вообразить.

[g______d]

Munin в сообщении #880558 писал(а):

Так что где её могли излагать без производной - вообще не могу вообразить.

Меня заставляли знать её доказательство (с этой жуткой картинкой) на физике в 8 классе. Но это мои личные проблемы, конечно.

[Munin]

g______d в сообщении #880505 писал(а):

Munin в сообщении #880302 писал(а):

Вообще, пожалуй, умение "взять производную от любой элементарной функции" сильно превознесено. Его можно отложить на потом.

+1

Довольно интересная точка согласия.

До когда на потом? Я думаю, что смело не раньше вуза. В вузе, может быть, на 2 семестр 1 курса, но дальше у меня смелости не хватает.

Хотя всё это одного поля ягоды: "возьми любую производную", "возьми любой интеграл", "реши любой дифур". Можно всё унести в справочник, и держать там.

В физике, де факто, нужны только некоторые производные, интегралы и дифуры. Ну разумеется, рассказать про правила дифференцирования стоит (чтобы потом не запинаться на какой-нибудь $x^n e^{-x^2/a}$), но надрессировывать на них - хм-м-м... В общем случае, в физике рисуют от руки какой-то график, говорят: "это, мол, потенциальная энергия", и дальше обсуждают её свойства в общем виде, рисуя так же от руки график производной от первого графика.

-- 27.06.2014 00:29:22 --

g______d в сообщении #880563 писал(а):

Меня заставляли знать её доказательство (с этой жуткой картинкой) на физике в 8 классе. Но это мои личные проблемы, конечно.

Скажем так, нестандартный курс.

[arseniiv]

У меня была подобная жуткая картинка при выводе центростремительного ускорения. Других нормальных ускорений там и не встречалось.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #880302 писал(а):

mishafromusa
(Спасибо, что наконец-то откликнулись и начали делиться своими материалами.)

Я это уже вывешивал, и вроде не один раз. Вот расширенный вариант, где разобраны другие модули непрерывности, дифференцирование, как разложение на можители и многая переменная: http://mathfoolery.com/talk-2010.pdf посмотрите, может тоже понравится.

[g______d]

Munin в сообщении #880558 писал(а):

Ну, это выглядело с точностью до наоборот: "мейнстрим, мол". Хорошо, спасибо за объяснение.

Я утверждал, что не патология, а, действительно, почти мейнстрим (пишу это на всякий случай, чтобы смысл случайно не исказился на $\pi$).