Ряды

[champion12]

Otta в сообщении #878205 писал(а):

Стоп! напишите ручками в общем случае, что там сравнивается. Где Вы видите в тексте, который привели, частичные суммы? Вы его читали?

Читал, но что-то туплю:
Ручками:
Сравниваются положительные ряды, а не частичные суммы. Из сходимости ряда $B=\sum b_n$, у которого для всех $n\inN$ выполняется неравенство $a_n\le b_n$ следует сходимость ряда $A=\sum a_n$
Можно исследовать на абсолютную сходимость, обойтись без частичных сумм:

$A=\sum a_n=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left|e^{-nx}\dfrac{\cos(nx_0)}{n}\right|\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;B=\sum b_n=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2}{n^3x_0^2}$

Из сходимости $B$ следует сходимость $A$ для всех $x_0$ из заданного множества

[Otta]

champion12 в сообщении #878226 писал(а):

Из сходимости $B$ следует сходимость $A$ для всех $x_0$ из заданного множества

Следует, только неравенство-то какое должно выполняться? Можете не писать здесь, разберитесь сами.

Хорошо, ну и равномерная.

Upd Ага, написали. Ну и славно.

[champion12]

Otta в сообщении #878230 писал(а):

champion12 в сообщении #878226 писал(а):

Из сходимости $B$ следует сходимость $A$ для всех $x_0$ из заданного множества

Следует, только неравенство-то какое должно выполняться? Можете не писать здесь, разберитесь сами.

Хорошо, ну и равномерная.

Upd Ага, написали. Ну и славно.

Пока что не знаю -- с чего начать равномерную

-- 22.06.2014, 15:05 --

Сейчас попробую пременить подсказку ewert'a.

ewert в сообщении #878209 писал(а):

Попытайтесь подобрать такие константы $a<b$, чтобы при всех $n\in[\frac ax;\frac bx]$ числитель всей дроби был ограничен снизу одним и тем же положительным числом, не зависящим от икса. Затем оцените снизу соответствующий участок ряда и примените критерий Коши.

$a=0, b=\dfrac{2}{\pi}$?

[Otta]

В принципе, не так много теорем, позволяющих обосновывать отсутствие равномерной сходимости.
1. Необходимое условие равномерной сходимости,
2. Критерий Коши ее же,
3. Косвенно из соображений общего характера.

По крайней мере первым двум Вас должны были учить. Третьему обычно учатся сами. )

[ewert]

champion12 в сообщении #878245 писал(а):

$a=0$?

Ну ясно же, что подразумевался не ноль -- граница должна ведь всё-таки уходить на бесконечность по мере уменьшения икса.

[champion12]

Otta в сообщении #878249 писал(а):

В принципе, не так много теорем, позволяющих обосновывать отсутствие равномерной сходимости.
1. Необходимое условие равномерной сходимости,
2. Критерий Коши ее же,
3. Косвенно из соображений общего характера.

По крайней мере первым двум Вас должны были учить. Третьему обычно учатся сами. )

1) Выполняется необходимое условие, так как последовательность $u_n=e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}$ стремится к нулю для всех $x$ из $(0;\frac{\pi}{2})$
2) Для равномерной сходимости необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon>0$ существовало $N=N(\varepsilon)$ такое что при $n>N$ и $p>0$ было выполнено неравенство:$\left|\displastyle\sum\limits_{i=n+1}^{n+p}e^{-ix}\dfrac{\cos(ix)}{i}\right|<\varepsilon$
Тут уже сложнее, ведь нужно еще как-то построить отрицание, да? То есть нужно найти такой $\epsilon>0$, что при любом $i$ данное неравенство не выполняется?

-- 22.06.2014, 15:52 --

ewert в сообщении #878253 писал(а):

champion12 в сообщении #878245 писал(а):

$a=0$?

Ну ясно же, что подразумевался не ноль -- граница должна ведь всё-таки уходить на бесконечность по мере уменьшения икса.

Я просто не очень понимаю -- откуда этот отрезок берется $n\in[\frac ax;\frac bx]$

-- 22.06.2014, 15:54 --

ewert в сообщении #878253 писал(а):

champion12 в сообщении #878245 писал(а):

$a=0$?

Ну ясно же, что подразумевался не ноль -- граница должна ведь всё-таки уходить на бесконечность по мере уменьшения икса.

Может тогда взять не ноль, а $\varepsilon>0$?

[Otta]

champion12 в сообщении #878266 писал(а):

1) Выполняется необходимое условие, так как последовательность $u_n=e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}$ стремится к нулю для всех $x$ из $(0;\frac{\pi}{2})$

champion12 в сообщении #878266 писал(а):

1. Необходимое условие равномерной сходимости,

champion12 в сообщении #878266 писал(а):

Тут уже сложнее, ведь нужно еще как-то построить отрицание, да? То есть нужно найти такой $\varepsilon>0$, что при любом $i$ данное неравенство не выполняется?

Запишите отрицание полностью. (А для этого нужно правильно написать отрицаемое.)

[champion12]

Существует $\epsilon>0$, такой что при любом $i$ выполняется неравенство $\left|\displastyle\sum\limits_{i=n+1}^{n+p}e^{-ix}\dfrac{\cos(ix)}{i}\right|\geqslant\varepsilon$

[Otta]

Неверно. Ни слова про $x$.

[ewert]

champion12 в сообщении #878284 писал(а):

такой что при любом $i$ выполняется неравенство $\left|\displastyle\sum\limits_{i=n+1}^{n+p}e^{-ix}\dfrac{\cos(ix)}{i}\right|\geqslant\varepsilon$

Этого не может быть хотя бы потому, что ни левая, ни правая часть неравенства от $i$ не зависят. Но не только поэтому.

[Otta]

Ну да.
champion12, судя по таким проблемам уже в формулировке, с решением будет совсем труба. Вы бы потренировались сперва на более легких примерах, что ли, посмотрели, как это делается, благо, литература есть. Не диктовать же Вам по слову.

[ewert]

Otta в сообщении #878290 писал(а):

Ни слова про $x$.

Ну это-то как раз понятно: ведь его не было и в утверждении равномерной сходимости. Т.е. он там был, но в неявном виде; вот и не удаётся при отрицании вытащить его на свет божий. Это-то ладно; здесь есть проблемы с логикой гораздо более грубые.

[champion12]

Существует $x$ и $\epsilon>0$, такой что при любом $n$ выполняется неравенство $\left|\displastyle\sum\limits_{i=n+1}^{n+p}e^{-ix}\dfrac{\cos(ix)}{i}\right|\geqslant\varepsilon$

[Otta]

champion12
Мимо.
ewert

(Оффтоп)

ewert в сообщении #878294 писал(а):

Ну это-то как раз понятно: ведь его не было и в утверждении равномерной сходимости. Т.е. он там был, но в неявном виде; вот и не удаётся при отрицании вытащить его на свет божий.

Ну, однако, равномерная фундаментальность вполне четко формулируется, разве нет? Не вижу проблемы, честно сказать, кроме проблем учебного характера.
Upd А, или Вы про вариант с супремумом? Так ТС явно знаком с другим.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #878299 писал(а):

Ну, однако, равномерная фундаментальность вполне четко формулируется, разве нет?

Дело в том, что отсутствие упоминания об иксах подразумевает квантор всеобщности, и в этом смысле исходное определение было сформулировано если и недостаточно чётко, то всё же более-менее осмысленно. Однако для отрицания -- неудобно.

champion12 в сообщении #878296 писал(а):

любом $n$ выполняется неравенство $\left|\displastyle\sum\limits_{i=n+1}^{n+p}e^{-ix}\dfrac{\cos(ix)}{i}\right|\geqslant\varepsilon$

А теперь подсчитайте количества разных буковок в Вашем прямом утверждении и в обратном. Эти количества явно не совпадают. Не наводит на размышления?