Частичные суммы, поди, неверно посчитали. Напишите еще разик сами для себя одну за другой.
Да, неверно, разобрался, спасибо.
Почему? Проверьте оценку на конкретных значениях.
И вовсе необязательно пытаться замажорировать ряд обобщенным гармоническим, живите проще, оценивайте естественней.
Да, оценку проверил, там знак в другую сторону, действительно.
А что значит естественнее? Это значит -- по определению, через частичные суммы? Пока что исследовал с выколотой окрестностью нуля.
![$e^{nx}>1+nx+\dfrac{n^2x^2}{2}>\dfrac{n^2x^2}{2}$ $e^{nx}>1+nx+\dfrac{n^2x^2}{2}>\dfrac{n^2x^2}{2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/4/e8430483e3284a2fed38ad96f74c583082.png)
![$e^{-nx}<\dfrac{2}{n^2x^2}$ $e^{-nx}<\dfrac{2}{n^2x^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/9/989ad5348d57b1ae84d0f4cb49922cea82.png)
Рассмотрим сходимость на множестве
![$E(\varepsilon;\frac{\pi}{2})$ $E(\varepsilon;\frac{\pi}{2})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/f/8dfe698f85c67a9140e5326397b28a4382.png)
![$\left|e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}\right|\le \left|\dfrac{2}{n^3x^2}\right|\le \left|\dfrac{2}{n^3\varepsilon^2}\right|$ $\left|e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}\right|\le \left|\dfrac{2}{n^3x^2}\right|\le \left|\dfrac{2}{n^3\varepsilon^2}\right|$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/e/4fe2997e5549a519c2c50f69f80812e982.png)
По признаку вейештрасса на множестве
![$E(\varepsilon;\frac{\pi}{2})$ $E(\varepsilon;\frac{\pi}{2})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/f/8dfe698f85c67a9140e5326397b28a4382.png)
ряд будет сходится равномерно. Раз будет равномерно сходится, то поточечно тоже.
Но с нулем проблема, да. А нельзя просто сказать, что при
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
будет гармонический ряд, потому равномерной сходимости нет, да и все?
Чего т.в.г.?
Я имею ввиду это
![$\displaystyle\sup_{x\in M} \left|0,5-\dfrac{1}{(k+1)x+1}-0,5\right|\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in M$ $\displaystyle\sup_{x\in M} \left|0,5-\dfrac{1}{(k+1)x+1}-0,5\right|\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/1/b610f1f585b6671e704e1a0adcab624d82.png)