Ряды

[Otta]

А вот теперь два. Внимание, вопрос. Как из оценки

champion12 в сообщении #878027 писал(а):

$|S_k(x)|=\left|\displaystyle\sum_{n=1}^{k}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}\right|\le \displaystyle\sum_{n=1}^{k}\dfrac{2}{n^3x^2}$

следует сходимость исходного ряда?

[champion12]

Otta в сообщении #878032 писал(а):

А вот теперь два. Внимание, вопрос. Как из оценки

champion12 в сообщении #878027 писал(а):

$|S_k(x)|=\left|\displaystyle\sum_{n=1}^{k}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}\right|\le \displaystyle\sum_{n=1}^{k}\dfrac{2}{n^3x^2}$

следует сходимость исходного ряда?

Вот на этот вопрос -- не знаю ответа, к сожалению

[Otta]

Ну здорово. А зачем тогда оценивали?

Вспоминайте признаки сходимости, что могу сказать.

[champion12]

Otta в сообщении #878053 писал(а):

Ну здорово. А зачем тогда оценивали?

Вспоминайте признаки сходимости, что могу сказать.

Есть же признаки равномерной сходимости, а мы ведь про поточечную говорим...

[Otta]

А поточечную мы обычно методом гадания на кофейной гуще определяли всегда? Что значит, что ряд сходится поточечно? Будет ли сходиться поточечно ряд $\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1{k+x^2}$? Да? нет? почему?

[champion12]

Otta в сообщении #878062 писал(а):

А поточечную мы обычно методом гадания на кофейной гуще определяли всегда? Что значит, что ряд сходится поточечно? Будет ли сходиться поточечно ряд $\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1{k+x^2}$? Да? нет? почему?

Не будет, так как для любого $x=x_0$ ряд $\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1{k+x^2}$ по признаку сравнения с гармоническим рядом -- расходится...

[Otta]

Ну вот, оказывается, какие-то и признаки есть...

[champion12]

Ах, точно, спасибо, виноват)

$|S_k(x)|=\left|\displaystyle\sum_{n=1}^{k}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}\right|\le \displaystyle\sum_{n=1}^{k}\dfrac{2}{n^3x^2}$

Для любого $x=x_0\in(0;\frac{\pi}{2})$ по признаку сравнения $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}$ будет сходится.

-- 21.06.2014, 21:40 --

А с чего лучше все-таки начать доказывать отсутствие равномерной сходимости?

[Otta]

Да ёшкин кот. Ну в каком признаке есть вот это вот все, что Вы пишете? У них ведь формулировки есть, в формулировках что-то совершенно конкретное записано. По какому признаку Вы действовали сейчас?

[champion12]

Otta в сообщении #878072 писал(а):

Да ёшкин кот. Ну в каком признаке есть вот это вот все, что Вы пишете? У них ведь формулировки есть, в формулировках что-то совершенно конкретное записано. По какому признаку Вы действовали сейчас?

Этим (чтобы не наврать, прикрепляю картинку)

[Otta]

Чудесно. И что же там сравнивается?

[champion12]

$A=\sum a_n=\displaystyle\sum_{n=1}^{k}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx_0)}{n}\right|\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;B=\sum b_n=\displaystyle\sum_{n=1}^{k}\dfrac{2}{n^3x_0^2}$

Из сходимости $B$ следует сходимость $A$ для всех $x_0$ из заданного множества

[Otta]

Стоп! напишите ручками в общем случае, что там сравнивается. Где Вы видите в тексте, который привели, частичные суммы? Вы его читали?

[ewert]

champion12 в сообщении #877596 писал(а):

1) Найти область сходимости и равномерной сх-ти.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}$

на $M=\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$

Ну и формулировочки у вас. Как в принципе можно найти "область равномерной сходимости"?!

champion12 в сообщении #878070 писал(а):

по признаку сравнения $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}$ будет сходится.

Это безнадёжно -- пытаться применять признаки сравнения для знакопеременного ряда.

Попытайтесь подобрать такие константы $a<b$, чтобы при всех $n\in[\frac ax;\frac bx]$ числитель всей дроби был ограничен снизу одним и тем же положительным числом, не зависящим от икса. Затем оцените снизу соответствующий участок ряда и примените критерий Коши.

[Otta]

ewert в сообщении #878209 писал(а):

Это безнадёжно -- пытаться применять признаки сравнения для знакопеременного ряда.

Что уж безнадежно, смотря как применять.

ewert в сообщении #878209 писал(а):

Попытайтесь подобрать такие константы $a<b$,

ewert, не гоните его, он еще с поточечной сходимостью не разобрался.

А формулировки заданий действительно очень кривые.