2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 Re: Ряды
Сообщение21.06.2014, 20:56 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
А вот теперь два. Внимание, вопрос. Как из оценки
champion12 в сообщении #878027 писал(а):
$|S_k(x)|=\left|\displaystyle\sum_{n=1}^{k}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}\right|\le \displaystyle\sum_{n=1}^{k}\dfrac{2}{n^3x^2}$

следует сходимость исходного ряда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение21.06.2014, 21:15 


23/09/12
180
Otta в сообщении #878032 писал(а):
А вот теперь два. Внимание, вопрос. Как из оценки
champion12 в сообщении #878027 писал(а):
$|S_k(x)|=\left|\displaystyle\sum_{n=1}^{k}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}\right|\le \displaystyle\sum_{n=1}^{k}\dfrac{2}{n^3x^2}$

следует сходимость исходного ряда?

Вот на этот вопрос -- не знаю ответа, к сожалению

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение21.06.2014, 21:19 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Ну здорово. А зачем тогда оценивали?

Вспоминайте признаки сходимости, что могу сказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение21.06.2014, 21:26 


23/09/12
180
Otta в сообщении #878053 писал(а):
Ну здорово. А зачем тогда оценивали?

Вспоминайте признаки сходимости, что могу сказать.


Есть же признаки равномерной сходимости, а мы ведь про поточечную говорим...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение21.06.2014, 21:31 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
А поточечную мы обычно методом гадания на кофейной гуще определяли всегда? Что значит, что ряд сходится поточечно? Будет ли сходиться поточечно ряд $\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1{k+x^2}$? Да? нет? почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение21.06.2014, 21:36 


23/09/12
180
Otta в сообщении #878062 писал(а):
А поточечную мы обычно методом гадания на кофейной гуще определяли всегда? Что значит, что ряд сходится поточечно? Будет ли сходиться поточечно ряд $\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1{k+x^2}$? Да? нет? почему?

Не будет, так как для любого $x=x_0$ ряд $\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1{k+x^2}$ по признаку сравнения с гармоническим рядом -- расходится...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение21.06.2014, 21:37 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Ну вот, оказывается, какие-то и признаки есть...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение21.06.2014, 21:38 


23/09/12
180
Ах, точно, спасибо, виноват)

$|S_k(x)|=\left|\displaystyle\sum_{n=1}^{k}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}\right|\le \displaystyle\sum_{n=1}^{k}\dfrac{2}{n^3x^2}$

Для любого $x=x_0\in(0;\frac{\pi}{2})$ по признаку сравнения $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}$ будет сходится.

-- 21.06.2014, 21:40 --

А с чего лучше все-таки начать доказывать отсутствие равномерной сходимости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение21.06.2014, 21:42 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Да ёшкин кот. Ну в каком признаке есть вот это вот все, что Вы пишете? У них ведь формулировки есть, в формулировках что-то совершенно конкретное записано. По какому признаку Вы действовали сейчас?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение22.06.2014, 11:44 


23/09/12
180
Otta в сообщении #878072 писал(а):
Да ёшкин кот. Ну в каком признаке есть вот это вот все, что Вы пишете? У них ведь формулировки есть, в формулировках что-то совершенно конкретное записано. По какому признаку Вы действовали сейчас?

Этим (чтобы не наврать, прикрепляю картинку)
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение22.06.2014, 12:24 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Чудесно. И что же там сравнивается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение22.06.2014, 12:51 


23/09/12
180
$A=\sum a_n=\displaystyle\sum_{n=1}^{k}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx_0)}{n}\right|\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;B=\sum b_n=\displaystyle\sum_{n=1}^{k}\dfrac{2}{n^3x_0^2}$

Из сходимости $B$ следует сходимость $A$ для всех $x_0$ из заданного множества

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение22.06.2014, 12:54 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Стоп! напишите ручками в общем случае, что там сравнивается. Где Вы видите в тексте, который привели, частичные суммы? Вы его читали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение22.06.2014, 13:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
champion12 в сообщении #877596 писал(а):
1) Найти область сходимости и равномерной сх-ти.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}$

на $M=\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$

Ну и формулировочки у вас. Как в принципе можно найти "область равномерной сходимости"?!

champion12 в сообщении #878070 писал(а):
по признаку сравнения $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}\dfrac{\cos(nx)}{n}$ будет сходится.

Это безнадёжно -- пытаться применять признаки сравнения для знакопеременного ряда.

Попытайтесь подобрать такие константы $a<b$, чтобы при всех $n\in[\frac ax;\frac bx]$ числитель всей дроби был ограничен снизу одним и тем же положительным числом, не зависящим от икса. Затем оцените снизу соответствующий участок ряда и примените критерий Коши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение22.06.2014, 13:42 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
ewert в сообщении #878209 писал(а):
Это безнадёжно -- пытаться применять признаки сравнения для знакопеременного ряда.

Что уж безнадежно, смотря как применять.
ewert в сообщении #878209 писал(а):
Попытайтесь подобрать такие константы $a<b$,

ewert, не гоните его, он еще с поточечной сходимостью не разобрался.

А формулировки заданий действительно очень кривые.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 105 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group