Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[Munin]

Цитата:

ПЕРВООБРАЗНАЯ, п е р в о о б р а з н а я   (п р и м и т и в н а я)   ф у н к ц и я, для конечной функции $f(x)$ — такая функция $F(x),$ что всюду $F'(x)=f(x).$ Это определение является наиболее распространенным...


(Математическая Энциклопедия, автор статьи Лукашенко Т. П., ссылки на Кудрявцева и Никольского.)

[ewert]

Munin в сообщении #876769 писал(а):

(Математическая Энциклопедия, автор статьи Лукашенко Т. П., ссылки на Кудрявцева и Никольского.)

Ну пусть будет Кудрявцев. Прочитайте у него определение первообразной (это самое начало 18-го параграфа).

[Ms-dos4]

Munin
Запись $\[\int {f(x)dx} = F(x) + C\]$ корректна на промежутках, где $\[F(x)\]$ дифференцируема. Поэтому вообще говоря
$\[\int {\frac{{dx}}{x}} = \left\{ \begin{array}{l} \ln x + {C_1},x > 0\\ \ln ( - x) + {C_2},x < 0 \end{array} \right.\]$
(константы слева и справа могут быть разные).
Хотя где то я уже высказывал своё ИМХО, что запись "$\[ + C\]$" это лишь символизм, который нужен что бы показать множество значений, поэтому такие тонкости вряд ли интересны кому-то кроме математиков. Так что в принципе я не вижу проблем называть $\[\ln \left| x \right| + C\]$ первообразной. Ну сшита она из двух "настоящих", что в прочем ни на что не влияет.

[nnosipov]

Munin в сообщении #876766 писал(а):

В Математической Энциклопедии не так.

Хм, любопытно. И странно: зачем нужна первообразная на непромежутке?

Заглянул в "Курс мат. анализа" Кудрявцева: там первообразная определяется именно на промежутке.

[ewert]

Ms-dos4 в сообщении #876771 писал(а):

(константы слева и справа могут быть разные).

Они и только справа могут быть разными. Поэтому помечать их слева и справа разными индексами вполне бессмысленно.

Ms-dos4 в сообщении #876771 писал(а):

запись "\[ + C\]" это лишь символизм, который нужен что бы показать множество значений

И нужен этот символизм в точности для решения дифуров.

nnosipov в сообщении #876772 писал(а):

Хм, любопытно.

Ну просто небрежность. В принципе, для энциклопедии её даже и понять можно.

nnosipov в сообщении #876772 писал(а):

Заглянул в "Курс мат. анализа" Кудрявцева: там первообразная определяется именно на промежутке.

Дело даже не в Кудрявцеве конкретно -- так приходится определять в любом учебнике. Иначе просто невозможно будет произнести мантру "любые две первообразные различаются на константу".

[Munin]

ewert в сообщении #876768 писал(а):

Первообразная есть не что иное, как решение дифференциального уравнения.

Ну у вас всё с ног на голову поставлено. Верно только то, что первообразная удовлетворяет уравнению $F'(x)=f(x).$ Но понятие решения дифференциального уравнения у́же:

Цитата:

$$\dot{x}=f(x,t),\eqno(2)$$

где $f(x,t)$ — известная функция, определенная в нек-рой области $D$ плоскости $t,x.$ ...
Р е ш е н и е м д(ифференциального) у(равнения) о(быкновенного) (2) наз. функция $x=x(t),$ определенная и дифференцируемая на нек-ром интервале $I$ и удовлетворяющая условиям:


$$(t,x(t))\in D,\quad t\in I,$$

$$\dot{x}(t)=f(t,x(t)),\quad t\in I.$$

Решение д(ифференциального) у(равнения) о(быкновенного) (2) геометрически можно изобразить на плоскости $t,x$ в виде кривой с уравнением $x=x(t),\quad t\in I.$

Как видно, даже $F'(x)=f(x)$ может удовлетворять понятию дифференциального уравнения не всегда. В данном случае, оно имеет вид (2) только в случае, если допускать, что область $D$ может быть неодносвязной. Очевидно, решениями этого дифференциального уравнения будут не первообразные, а только сужения первообразных на интервалы, целиком лежащие в области определения $1/x.$

[nnosipov]

ewert в сообщении #876773 писал(а):

Ну просто небрежность. В принципе, для энциклопедии её даже и понять можно.

Видимо, да. Главное, ссылки на учебники есть.

Кстати, мне вспоминается один фрик, который здесь был как раз с этой темой --- про первообразную для $1/x$.

[ewert]

Munin в сообщении #876774 писал(а):

Но понятие решения дифференциального уравнения у́же:

Уже в том смысле, что шире, да? Тогда согласен.

Munin в сообщении #876774 писал(а):

В данном случае, оно имеет вид (2) только в случае, если допускать, что область $D$ может быть неодносвязной.

Естественно, область подразумевается именно односвязной: решения на несвязанных компонентах никакого отношения друг к другу не имеют.

[Munin]

Ms-dos4 в сообщении #876771 писал(а):

Запись $\[\int {f(x)dx} = F(x) + C\]$ корректна на промежутках, где $\[F(x)\]$ дифференцируема. Поэтому вообще говоря
$\[\int {\frac{{dx}}{x}} = \left\{ \begin{array}{l}
\ln x + {C_1},x > 0\\
\ln ( - x) + {C_2},x < 0
\end{array} \right.\]$
(константы слева и справа могут быть разные).

Вы это не мне говорите (я с этим полностью согласен), а ewert-у, который после многих лет преподавания почему-то определения забыл.

nnosipov в сообщении #876772 писал(а):

Хм, любопытно. И странно: зачем нужна первообразная на непромежутке?

Может, для общности?

Как, например, быть с первообразной от функции на $\mathbb{C}\setminus\{z_0\}$? Тоже считать, что она низачем не нужна?

ewert в сообщении #876773 писал(а):

Они и только справа могут быть разными. Поэтому помечать их слева и справа разными индексами вполне бессмысленно.

Только справа они могут быть разными только для разных первообразных. А справа и слева - они могут быть разными и для одной первообразной.

ewert в сообщении #876773 писал(а):

Ну просто небрежность. В принципе, для энциклопедии её даже и понять можно.

Ну-ну. Началось "все неправы, один я Д'Артаньян".

ewert в сообщении #876773 писал(а):

Иначе просто невозможно будет произнести мантру "любые две первообразные различаются на константу".

Бессмысленные мантры произносить не стоит. А осмысленное утверждение в Математической Энциклопедии звучит так:

Цитата:

У заданной на отрезке функции любые две п(ервообразные) отличаются на постоянную.

[ewert]

Munin в сообщении #876779 писал(а):

Как, например, быть с первообразной от функции на $\mathbb{C}\setminus\{z_0\}$?

Между прочим, хороший пример. Если понимать, что он означает. А означает он в т.ч. и то, что в комплексной плоскости запись

Ms-dos4 в сообщении #876771 писал(а):

$\int {\frac{{dx}}{x}} = \left\{ \begin{array}{l}\ln x + {C_1},x > 0\\\ln ( - x) + {C_2},x < 0\end{array} \right.$

-- не только бессмысленна, но ещё и неверна.

[Munin]

ewert в сообщении #876778 писал(а):

Естественно, область подразумевается именно односвязной

Этого в Математической Энциклопедии не произнесено.

ewert в сообщении #876778 писал(а):

решения на несвязанных компонентах никакого отношения друг к другу не имеют.

Даже и на одном связном компоненте могут никакого отношения друг к другу не иметь. Понятие решения дано вместе с интервалом решения. При этом, интервал решения и область задания уравнения соотносятся между собой через условие

$$(t,x(t))\in D,\quad t\in I.$$

Его не зря отдельно выписали.

-- 18.06.2014 16:48:51 --

ewert в сообщении #876780 писал(а):

А означает он в т.ч. и то, что в комплексной плоскости запись

Ms-dos4 в сообщении #876771 писал(а):

$\int {\frac{{dx}}{x}} = \left\{ \begin{array}{l}\ln x + {C_1},x > 0\\\ln ( - x) + {C_2},x < 0\end{array} \right.$

-- не только бессмысленна, но ещё и неверна.

Разумеется. И что?

-- 18.06.2014 16:51:59 --

(Бессмысленность связана с тем, что на комплексных числах нет отношения порядка $<.$ А неверность - с тем, что две области, неодносвязные на действительной прямой, становятся частью одной односвязной области определения на комплексной плоскости.)

[ewert]

Munin в сообщении #876783 писал(а):

Разумеется. И что?

Ровно то, что на вещественной оси первая строчка не имеет никакого отношения ко второй, и поэтому запись бессмысленна. При попытке же придать ей смысл выходом в комплексную плоскость она становится неверной.

Вообще обобщать можно что угодно и как угодно. Однако если такое обобщение бесполезно, то оно никому и не нужно. С попыткой определения первообразной на произвольном множестве дело ровно так и обстоит.

[Oleg Zubelevich]

Зорич:

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #876789 писал(а):

Зорич:

А ещё Ильин-Позняк, Пискунов, Фихтенгольц... Короче, все, кому это приходится преподавать.

[nnosipov]

Munin в сообщении #876779 писал(а):

Как, например, быть с первообразной от функции на $\mathbb{C}\setminus\{z_0\}$? Тоже считать, что она низачем не нужна?

Ну, не валите всё в одну кучу. Первообразная для функции комплексной переменной, заданной в области --- известное понятие. Но речь шла о вещественном случае.