2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 ... 67  След.
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 15:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
    Цитата:
    ПЕРВООБРАЗНАЯ, п е р в о о б р а з н а я   (п р и м и т и в н а я)   ф у н к ц и я, для конечной функции $f(x)$ — такая функция $F(x),$ что всюду $F'(x)=f(x).$ Это определение является наиболее распространенным...

    (Математическая Энциклопедия, автор статьи Лукашенко Т. П., ссылки на Кудрявцева и Никольского.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 15:18 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #876769 писал(а):
(Математическая Энциклопедия, автор статьи Лукашенко Т. П., ссылки на Кудрявцева и Никольского.)

Ну пусть будет Кудрявцев. Прочитайте у него определение первообразной (это самое начало 18-го параграфа).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 15:21 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Munin
Запись $\[\int {f(x)dx}  = F(x) + C\]$ корректна на промежутках, где $\[F(x)\]$ дифференцируема. Поэтому вообще говоря
$\[\int {\frac{{dx}}{x}}  = \left\{ \begin{array}{l}
\ln x + {C_1},x > 0\\
\ln ( - x) + {C_2},x < 0
\end{array} \right.\]$
(константы слева и справа могут быть разные).
Хотя где то я уже высказывал своё ИМХО, что запись "$\[ + C\]$" это лишь символизм, который нужен что бы показать множество значений, поэтому такие тонкости вряд ли интересны кому-то кроме математиков. Так что в принципе я не вижу проблем называть $\[\ln \left| x \right| + C\]$ первообразной. Ну сшита она из двух "настоящих", что в прочем ни на что не влияет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 15:22 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Munin в сообщении #876766 писал(а):
В Математической Энциклопедии не так.
Хм, любопытно. И странно: зачем нужна первообразная на непромежутке?

Заглянул в "Курс мат. анализа" Кудрявцева: там первообразная определяется именно на промежутке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 15:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ms-dos4 в сообщении #876771 писал(а):
(константы слева и справа могут быть разные).

Они и только справа могут быть разными. Поэтому помечать их слева и справа разными индексами вполне бессмысленно.

Ms-dos4 в сообщении #876771 писал(а):
запись "\[ + C\]" это лишь символизм, который нужен что бы показать множество значений

И нужен этот символизм в точности для решения дифуров.

nnosipov в сообщении #876772 писал(а):
Хм, любопытно.

Ну просто небрежность. В принципе, для энциклопедии её даже и понять можно.

nnosipov в сообщении #876772 писал(а):
Заглянул в "Курс мат. анализа" Кудрявцева: там первообразная определяется именно на промежутке.

Дело даже не в Кудрявцеве конкретно -- так приходится определять в любом учебнике. Иначе просто невозможно будет произнести мантру "любые две первообразные различаются на константу".

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #876768 писал(а):
Первообразная есть не что иное, как решение дифференциального уравнения.

Ну у вас всё с ног на голову поставлено. Верно только то, что первообразная удовлетворяет уравнению $F'(x)=f(x).$ Но понятие решения дифференциального уравнения у́же:
    Цитата:
    $$\dot{x}=f(x,t),\eqno(2)$$ где $f(x,t)$ — известная функция, определенная в нек-рой области $D$ плоскости $t,x.$ ...
    Р е ш е н и е м д(ифференциального) у(равнения) о(быкновенного) (2) наз. функция $x=x(t),$ определенная и дифференцируемая на нек-ром интервале $I$ и удовлетворяющая условиям:
    $$(t,x(t))\in D,\quad t\in I,$$ $$\dot{x}(t)=f(t,x(t)),\quad t\in I.$$ Решение д(ифференциального) у(равнения) о(быкновенного) (2) геометрически можно изобразить на плоскости $t,x$ в виде кривой с уравнением $x=x(t),\quad t\in I.$
Как видно, даже $F'(x)=f(x)$ может удовлетворять понятию дифференциального уравнения не всегда. В данном случае, оно имеет вид (2) только в случае, если допускать, что область $D$ может быть неодносвязной. Очевидно, решениями этого дифференциального уравнения будут не первообразные, а только сужения первообразных на интервалы, целиком лежащие в области определения $1/x.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 15:35 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
ewert в сообщении #876773 писал(а):
Ну просто небрежность. В принципе, для энциклопедии её даже и понять можно.
Видимо, да. Главное, ссылки на учебники есть.

Кстати, мне вспоминается один фрик, который здесь был как раз с этой темой --- про первообразную для $1/x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 15:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #876774 писал(а):
Но понятие решения дифференциального уравнения у́же:

Уже в том смысле, что шире, да? Тогда согласен.

Munin в сообщении #876774 писал(а):
В данном случае, оно имеет вид (2) только в случае, если допускать, что область $D$ может быть неодносвязной.

Естественно, область подразумевается именно односвязной: решения на несвязанных компонентах никакого отношения друг к другу не имеют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 15:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ms-dos4 в сообщении #876771 писал(а):
Запись $\[\int {f(x)dx}  = F(x) + C\]$ корректна на промежутках, где $\[F(x)\]$ дифференцируема. Поэтому вообще говоря
$\[\int {\frac{{dx}}{x}} = \left\{ \begin{array}{l}
\ln x + {C_1},x > 0\\
\ln ( - x) + {C_2},x < 0
\end{array} \right.\]$
(константы слева и справа могут быть разные).

Вы это не мне говорите (я с этим полностью согласен), а ewert-у, который после многих лет преподавания почему-то определения забыл.

nnosipov в сообщении #876772 писал(а):
Хм, любопытно. И странно: зачем нужна первообразная на непромежутке?

Может, для общности?

Как, например, быть с первообразной от функции на $\mathbb{C}\setminus\{z_0\}$? Тоже считать, что она низачем не нужна?

ewert в сообщении #876773 писал(а):
Они и только справа могут быть разными. Поэтому помечать их слева и справа разными индексами вполне бессмысленно.

Только справа они могут быть разными только для разных первообразных. А справа и слева - они могут быть разными и для одной первообразной.

ewert в сообщении #876773 писал(а):
Ну просто небрежность. В принципе, для энциклопедии её даже и понять можно.

Ну-ну. Началось "все неправы, один я Д'Артаньян".

ewert в сообщении #876773 писал(а):
Иначе просто невозможно будет произнести мантру "любые две первообразные различаются на константу".

Бессмысленные мантры произносить не стоит. А осмысленное утверждение в Математической Энциклопедии звучит так:
    Цитата:
    У заданной на отрезке функции любые две п(ервообразные) отличаются на постоянную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 15:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #876779 писал(а):
Как, например, быть с первообразной от функции на $\mathbb{C}\setminus\{z_0\}$?

Между прочим, хороший пример. Если понимать, что он означает. А означает он в т.ч. и то, что в комплексной плоскости запись

Ms-dos4 в сообщении #876771 писал(а):
$\int {\frac{{dx}}{x}}  = \left\{ \begin{array}{l}\ln x + {C_1},x > 0\\\ln ( - x) + {C_2},x < 0\end{array} \right.$

-- не только бессмысленна, но ещё и неверна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 15:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #876778 писал(а):
Естественно, область подразумевается именно односвязной

Этого в Математической Энциклопедии не произнесено.

ewert в сообщении #876778 писал(а):
решения на несвязанных компонентах никакого отношения друг к другу не имеют.

Даже и на одном связном компоненте могут никакого отношения друг к другу не иметь. Понятие решения дано вместе с интервалом решения. При этом, интервал решения и область задания уравнения соотносятся между собой через условие
$$(t,x(t))\in D,\quad t\in I.$$ Его не зря отдельно выписали.

-- 18.06.2014 16:48:51 --

ewert в сообщении #876780 писал(а):
А означает он в т.ч. и то, что в комплексной плоскости запись

Ms-dos4 в сообщении #876771 писал(а):
$\int {\frac{{dx}}{x}}  = \left\{ \begin{array}{l}\ln x + {C_1},x > 0\\\ln ( - x) + {C_2},x < 0\end{array} \right.$

-- не только бессмысленна, но ещё и неверна.

Разумеется. И что?

-- 18.06.2014 16:51:59 --

(Бессмысленность связана с тем, что на комплексных числах нет отношения порядка $<.$ А неверность - с тем, что две области, неодносвязные на действительной прямой, становятся частью одной односвязной области определения на комплексной плоскости.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 15:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #876783 писал(а):
Разумеется. И что?

Ровно то, что на вещественной оси первая строчка не имеет никакого отношения ко второй, и поэтому запись бессмысленна. При попытке же придать ей смысл выходом в комплексную плоскость она становится неверной.

Вообще обобщать можно что угодно и как угодно. Однако если такое обобщение бесполезно, то оно никому и не нужно. С попыткой определения первообразной на произвольном множестве дело ровно так и обстоит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 16:13 


10/02/11
6786
Зорич:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 16:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #876789 писал(а):
Зорич:

А ещё Ильин-Позняк, Пискунов, Фихтенгольц... Короче, все, кому это приходится преподавать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 16:28 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Munin в сообщении #876779 писал(а):
Как, например, быть с первообразной от функции на $\mathbb{C}\setminus\{z_0\}$? Тоже считать, что она низачем не нужна?
Ну, не валите всё в одну кучу. Первообразная для функции комплексной переменной, заданной в области --- известное понятие. Но речь шла о вещественном случае.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 991 ]  На страницу Пред.  1 ... 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 ... 67  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group