Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[mishafromusa]

Так я же объяснил в чём разница:

mishafromusa в сообщении #876654 писал(а):

Если смотреть чисто формально, то да. Но мы здесь обсуждаем преподавание, а не формалистику. Так вот, если начать с дифференцирования многочленов посредством выделения множителя $x-a$ из приращения функции $f(x)-f(a)$, то идея такого же трюка в более широком контексте непрерывных функций становится естественной. Конечно, если начинать с пределов и непрерывности (чего я предлагаю не делать), то разница небольшая.

Беда в том, что Вы постоянно прыгаете от одной детали к другой вместо того, чтобы посмотреть на всю картину.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #876664 писал(а):

Ну в данный момент основная проблема не в отсутствии нормальной программы, а в реализации существующих программ.

Может если технарей учить менее "чистой" математике, то станет легче.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #876692 писал(а):

Беда в том, что Вы постоянно прыгаете от одной детали к другой вместо того, чтобы посмотреть на всю картину.

Потому что вижу набор разрозненных и разнородных кусков, которые в картину не складываются. Причём, судя по всему, не только я не вижу. А много людей вообще видят?

mishafromusa в сообщении #876692 писал(а):

Может если технарей учить менее "чистой" математике, то станет легче.

Если речь идёт о России, то я, наверное, пропустил момент между тем, когда пределы входили в школьную программу (для всех, и для гуманитариев, и для технарей) и тем, когда речь зашла о выкидывании их из университетской, ну или о задвигании неизвестно куда. Я считаю, что в России технари вполне могут освоить традиционный курс математики с доказательствами и общепринятыми определениями, и курс математики для технарей по сравнению с курсом для математиков может отличаться количеством материала, но не основной структурой.

Если говорить о западной системе, то для тех, кто хочет нажимать на кнопки, но не хочет разбираться с пределами, – есть Calculus. А те, кто хотят, потом могут взять анализ, который будет читаться по Рудину и не будет перегружен взятием 100 интегралов.

[mishafromusa]

Мне всё понятно. Т.е. ничего интересного в моих рац-предложениях Вы не нашли. Кстати об интегралах: чему равен $\int dx/x$?

[g______d]

$\ln|x|+C_1$ при $x>0$ и $\ln |x|+C_2$ при $x<0$. В вопросе был подвох и я его не увидел?

[mishafromusa]

Мелкий подвох, 2 константы

[Munin]

g______d в сообщении #876649 писал(а):

"Функция $f$ имеет предел в точке $a$" и "функцию $f$ можно продолжить в точку $a$ так, чтобы результат был непрерывен в точке $a$" – это просто вообще одно и то же

Нет. Это не для всех одно и то же. Это одно и то же для вас, поскольку вы уже знаете все определения. Но это не одно и то же для студента, который определений ещё не знает. Вы забываете, что мы обсуждаем преподавание (а не просто построение аксиоматики в справочнике), а студент в каждый момент знает вещи $A,$ потом $A,B,$ потом $A,B,C$ - инкрементно.

Вообще, вы мне дали интересную мысль. Рассказ надо начинать с функций, определённых не на всей $\mathbb{R}$ (и не на всей $\mathbb{R}^n$), рассказать про устранимые точки разрыва, предельные точки (для области определения функции), и про доопределение в этих точках по непрерывности. При этом не давая понятия непрерывности вообще, а полагая его интуитивно ясным. Это надо ещё подумать.

g______d в сообщении #876658 писал(а):

и в восстановлении деталей в любом случае практика нужна.

Для чего? Эти детали (нематематикам, подчёркиваю!) никогда больше не нужны.

А на курсе функана, если они на него пойдут, их расскажут ещё раз.

g______d в сообщении #876658 писал(а):

По-моему, "сложное" (предел) расчленяется на "абсолютно тривиальное" (подстановка $L=f(a)$) и "такое же сложное" (непрерывность).

Вроде, вы соглашались, что интуитивное представление о непрерывности всем и так понятно?

Поэтому, например, можно дать формальное определение непрерывности, и в то же время дать возможность студентам "пропустить его мимо ушей", и не выносить на экзамен: кому интересна строгость, те послушают, а кому не интересна - воспользуются образным представлением. А кому в будущем понадобится - посмотрят в справочниках.

g______d в сообщении #876669 писал(а):

Мне показалось, что это не отдельная фраза, а концепция, на которой основан весь курс и подход "Calculus without limits": заменить пределы непрерывностью.

Почему бы и нет, если непрерывность все прекрасно понимают, на основании "рисования функции мелом по доске"?

-- 18.06.2014 14:48:48 --

g______d в сообщении #876698 писал(а):

Я считаю, что в России технари вполне могут освоить традиционный курс математики с доказательствами и общепринятыми определениями

Мочь-то могут. Вопрос в другом, хорошо ли это? Нужд курса физики это точно не покрывает. Жутко затянуто.

Когда я учился, я воспринимал отставание курса математики от курса физики "примерно на год". Сейчас я обнаружил, что отставание идёт на 3-5 лет. Не понимаю, как это можно воспринимать как "всё хорошо, катастрофы нет".

g______d в сообщении #876698 писал(а):

и курс математики для технарей по сравнению с курсом для математиков может отличаться количеством материала, но не основной структурой.

А это почему? Если вы (надеюсь) не полагаете это аксиомой.

[ewert]

g______d в сообщении #876709 писал(а):

$\ln|x|+C_1$ при $x>0$ и $\ln |x|+C_2$ при $x<0$.

Достаточно просто $\ln|x|+C$.

mishafromusa в сообщении #876713 писал(а):

Мелкий подвох, 2 константы

Нет, гораздо более крупный: бесконечное количество констант.

[Munin]

ewert в сообщении #876751 писал(а):

Достаточно просто $\ln|x|+C$.

Достаточно, если пояснять, что такое $C,$ и что справа и слева от нуля оно может быть разным для одной и той же первообразной. Ответ, который дал g______d, гораздо проще в смысле прицепленных пояснений.

[ewert]

Munin в сообщении #876756 писал(а):

справа и слева от нуля оно может быть разным для одной и той же первообразной.

Не существует одной и той же первообразной и справа, и слева.

[Munin]

Дяденька ewert! Вы вообще помните, что такое первообразная? Это функция, от которой если взять производную, то получится данная $f.$

Так что, вы утверждаете, что не существует такой функции, производная от которой будет $1/x$ на всей области определения?

[ewert]

Munin в сообщении #876760 писал(а):

не существует такой функции, производная от которой будет $1/x$ на всей области определения?

Существует. Но она не называется первообразной.

И вот почему: попытайтесь-ка найти решение задачи Коши $y'=y^2,\ y(0)=1$ в точке $x=2$.

[nnosipov]

Munin в сообщении #876760 писал(а):

Это функция, от которой если взять производную, то получится данная $f.$

Вы забываете важное обстоятельство: понятие первообразной определяется на промежутке. Область определения функции $1/x$ таковым не является.

[Munin]

ewert в сообщении #876762 писал(а):

Существует. Но она не называется первообразной.

Оба-на.

ewert в сообщении #876762 писал(а):

И вот почему: попытайтесь-ка найти решение задачи Коши $y'=y^2,\ y(0)=1$ в точке $x=2$.

Вообще-то понятие первообразной вводится до задачи Коши.

nnosipov в сообщении #876764 писал(а):

Вы забываете важное обстоятельство: понятие первообразной определяется на промежутке.

Не только не забываю, но и не знал никогда. В Википедии не так. В Математической Энциклопедии не так. Причём там сказано, что бывают определения, где требования ещё более ослаблены - но не сказано, что бывают, где усилены.

[ewert]

Munin в сообщении #876766 писал(а):

Не только не забываю, но и не знал никогда.

Узнать никогда не поздно.

Munin в сообщении #876766 писал(а):

Вообще-то понятие первообразной вводится до задачи Коши.

Это иллюзия. Первообразная есть не что иное, как решение дифференциального уравнения. И именно поэтому через точку разрыва она не переносится.