Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #874660 писал(а):

Munin
Вы, кстати, спрашивали что-то про плохие функции в приложениях. Представляете, какие ударные волны прыгают в стволе пушки между затвором и задницей снаряда, пока снаряд движется по стволу.

Кстати, там как раз не ударные. Пока снаряд движется по стволу, горение пороха обязано быть дефлаграционным, а не детонационным (дефлаграция - возгорание из-за роста температуры, а не из-за прихода ударной волны). Детонация как раз катастрофа, и приводит к разрыву ствола. С этим боролись с самого момента изобретения пороха и пушки, и это один из важнейших критериев для метательного пороха (пожалуй даже, важнейший).

Ударные волны есть: в капсюле во время подрыва (вот капсюль детонирует, а его горячие продукты взрыва - уже поджигают порох); на срезе ствола после вылета снаряда; вокруг самого снаряда (после вылета он сверхзвуковой); на всяких дульных тормозах, газоотводных каналах и прочее.

Хотя, конечно, в других местах ударные волны в приложениях есть. Та же детонация, и разные приложения взрывов. Сверхзвуковая аэродинамика.

----------------

А задачей "класса функций, рисуемых мелом по доске" вы не заинтересовались? Мне представляется, что это кусочно-(проекции $x(t)\in C^k,\quad y(t)\in C^k\quad(k\in\mathbb{N})$ на плоскость $x,y$). Но может быть, можно ещё больше сузить.

-- 12.06.2014 19:15:13 --

ewert в сообщении #874670 писал(а):

Что значит "именно инженерные"?

Слив засчитан. Очередное враньё - тоже.

[ewert]

Munin в сообщении #874662 писал(а):

Я думал о наборе "треугольник, прямоугольник, круг",

Круг -- фигура далеко не простая (с точки зрения площади).

Munin в сообщении #874662 писал(а):

(Для школьников: на самом деле, прямоугольник. Потому что площадь прямоугольника мы знаем как посчитать.)

На самом деле безразлично, как строить площадь -- только по прямоугольникам или по многоугольникам вообще. Оба подхода эквивалентны. Просто через прямоугольники логика короче, и не только для школьников.

Проблемы возникают при попытке обобщить понятие площади на фигуры с криволинейными границами.

Oleg Zubelevich в сообщении #874651 писал(а):

существование интеграла Римана от равномерно липшицевой функции на отрезке , кстати, доказывается тривиально, без всякой подготовки

Конечно. Просто само понятие липшицевости не очень естественно. И не очень полезно в данном случае, т.к. доказательство интегрируемости непрерывных функций ненамного сложнее -- особенно на фоне сложности самой конструкции интеграла.

-- Чт июн 12, 2014 19:24:45 --

Munin в сообщении #874674 писал(а):

Слив засчитан.

Если ТВ или ФА не нужны Вам лично, то это ещё не значит, что они не нужны инженерам. Не следует судить только по себе.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #874630 писал(а):

Ни там, ни там обнаружить теоремы Ньютона-Лейбница мне не удалось. Вообще не обнаружилось никакой связи интеграла ни с площадями, ни с суммами.

Раздел 2.8 второй ссылки, т.е. стр. 42-44.

[Munin]

ewert в сообщении #874679 писал(а):

Круг -- фигура далеко не простая (с точки зрения площади).

Поэтому специально для вас, [censored], я написал иначе.

ewert в сообщении #874679 писал(а):

Проблемы возникают при попытке обобщить понятие площади на фигуры с криволинейными границами.

У вас - да.

ewert в сообщении #874679 писал(а):

Если ТВ или ФА не нужны Вам лично, то это ещё не значит, что они не нужны инженерам.

Я не говорил ничего про ТВ и ФА.

-- 12.06.2014 20:26:56 --

Вообще вся тема
Why do we teach calculus students the derivative as a limit?
http://mathoverflow.net/questions/40082/why-do-we-teach-calculus-students-the-derivative-as-a-limit
интересная. Я пока прочитал первый и второй ответы, второй меня особенно порадовал (http://mathoverflow.net/a/40147).

[mishafromusa]

ewert в сообщении #874679 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #874651 писал(а):

существование интеграла Римана от равномерно липшицевой функции на отрезке , кстати, доказывается тривиально, без всякой подготовки

Конечно. Просто само понятие липшицевости не очень естественно. И не очень полезно в данном случае, т.к. доказательство интегрируемости непрерывных функций ненамного сложнее -- особенно на фоне сложности самой конструкции интеграла.

Это для равномерно непрепывных, а не для непрепывных в каждой точке, тут нужна ещё теорема о равномерной непрерывности, которая использует компактность. А так конечно, и для других модулей непрерывности, и эпсилон-дельта, конструкция та же самая, и её можно быстро объяснить, или просто сослаться на липшицев случай когда понадобится.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #874674 писал(а):

Кстати, там как раз не ударные. Пока снаряд движется по стволу, горение пороха обязано быть дефлаграционным, а не детонационным (дефлаграция - возгорание из-за роста температуры, а не из-за прихода ударной волны). Детонация как раз катастрофа, и приводит к разрыву ствола. С этим боролись с самого момента изобретения пороха и пушки, и это один из важнейших критериев для метательного пороха (пожалуй даже, важнейший).

странно, при движении поршня по стволу ударные волны возникают, а при движении пороховых газов -- нет.
Но задач с ударными волнами хватает. Это пример дифуров с решениями из пространств Соболева (вот кстати и интеграл Лебега) При численном моделировании таких решений рассматриваются схемы , сходящиеся именно в пространствах Соболева.

-- Чт июн 12, 2014 20:06:35 --

Munin в сообщении #874674 писал(а):

Мне представляется, что это кусочно-(проекции $x(t)\in C^k,\quad y(t)\in C^k\quad(k\in\mathbb{N})$ на плоскость $x,y$).

наверно

[ex-math]

Munin в сообщении #874638 писал(а):

полноценное понятие окрестности - штука сложная

Да, но шаг от интервала к произвольному открытому множеству сделать проще, чем увидеть в куче эпсилон-дельт с кванторами эти самые интервалы и понять, что думать надо про интервалы, а не про эпсилоны.

Munin в сообщении #874638 писал(а):

Для нематематиков вся литература написана на языке "ну вы знаете, что такое производная, и знаете, как её посчитать".

В общем, да. Хотя все-таки термин "нематематики" слишком неконкретный. Бывают, например, архитекторы, историки и прочие гуманитарии -- им бы наверно подошло какое-то изложение "на пальцах" типа калькулюса. Бывают экономисты -- вот как раз им липшицев вариант может подойти, они очень любят работать с неравенствами. Бывают физики-химики, к которым все-таки надо подходить как к математикам с сокращенной программой, здесь -- только классическое изложение. Ну и еще бывают технические специальности, инженеры -- они должны хорошо вычислять, способ изложения теории как будто не имеет особого значения.
mishafromusa
Конкретизируйте, пожалуйста, на каких именно нематематиков Вы рассчитываете? Каких специальностей?

Munin в сообщении #874638 писал(а):

Тут сумбур.

Вы правы Конечно, так сравнивать некорректно. Просто это само собой получается, на инстинктивном уровне. Фактически, главное различие между "тогда" и "теперь" указал nnosipov -- ослабли административные рычаги в виде зачетов и отчислений, остальное почти не изменилось.

[g______d]

Munin в сообщении #874572 писал(а):

Насколько я понимаю, цель подобного "введения в понятие производной" - состоит ровно в том, чтобы быстро позволить изложить "алгебраическую теорию дифференцирования", и натаскать на технику её применения, чтобы ученики могли практически применять производную, где бы она там им ни понадобилась. Например, в физике, и например, в анализе нескольких переменных.

Это всё не "с целью развлечения", и вообще не "путь в математику". Это преодоление небольшого порога, и отдых на нём. Наверняка, дальнейшее продвижение стоит начать с того, чтобы рассказать всё-таки про пределы и эпсилон-дельта, что будет воспринято как формализация и уточнение уже известных понятий.

Это было к аргументу, что у mishafromusa что версия с доказательствами, что без них, не лучше соответствующих версий классического анализа, и замечаниие относилось к версии с доказательствами. А без доказательств и с объяснениями на пальцах прекрасно справляются хорошие преподаватели Calculus и даже хорошие преподаватели физики в школе, пришедшие из теорфизики.

Munin в сообщении #874612 писал(а):

С чего это вдруг именно в таком? Лично я думаю, что цель анализа в том, чтобы понять такие вещи, как:
- знак и нули;
- производную, возрастание и убывание, экстремумы;
- определённый интеграл;
- неопределённый интеграл и решение дифференциальных уравнений;
- некоторые топологические явления (здесь непрерывность);
- асимптотическое поведение, порядки малости (здесь предел).
Порядок не обязательно именно такой, но для практических нужд (нематематиков) элементарное исследование функций ("анализ" в изначальном смысле) требуется гораздо раньше, чем продвинутое.

Я не вижу способа это изложить, не воткнув непрерывность куда-то в начало. Уж точно до производной. Потому что наличие разрыва, по крайней мере, для функций с достаточно простыми графиками, – одна из самых простых вещей, и требование отсутствия разрыва тоже интуитивно понятно. Даже теорема о промежуточном значении здесь очень к месту, это один из неформально очевидных и важных фактов.

Munin в сообщении #874612 писал(а):

Нет, студенты-нематематики изучают не произвольные функции! И вы с этим уже соглашались. Зачем же по-новой произносить отвергнутое утверждение?

Я не помню, чтобы соглашался в таком виде. В любом университетском курсе математики необходимо произносить слова про чёрных ящик аргумент–значение, которым является функция. Это, во-первых, позволяет использовать интуицию из computer science (которое у всех прикладников есть чуть ли не с рождения, и здесь очень к месту), а, во-вторых, важно с точки зрения физики, т. к. элементарность или аналитичность траектории предполагают её полную детерминированность, причём независимо от внешних воздействий.

Munin в сообщении #874627 писал(а):

Аналогично, человеку, умеющему считать производные, и всякие эпсилон-дельты самоочевидны. Но дают-то счёт и аксиомы Пеано в другом порядке.

В том-то и дело, что если человека научили считать производные от элементарных функций по формально-алгебраическим правилам, он прекрасно обойдётся без эпсилон-дельта, и ему вообще не нужно будет определение, чтобы применить алгоритм подсчёта производной синуса синуса косинуса.

Munin в сообщении #874638 писал(а):

Можно, но почему-то так не делается. Почему, чёрт возьми?

На самом деле делается. Хорошие преподаватели Calculus и пределы, и производные, и непрерывность объясняют на пальцах; примерно как хорошие учителя физики. И для прикладников это не так плохо, в принципе. Можно и до доказательства формулы Ньютона-Лейбница с помощью картинки дойти.

Munin в сообщении #874612 писал(а):

Кроме одной: что так было бы весьма нужно и полезно для применения вне математики.

Старайтесь поменьше употреблять квантор всеобщности.

Я плохо понимаю, где могут быть сами по себе полезны навыки механического вычисления производной вне математики; внутри, впрочем, тоже. Если производная встречается в законе физики, то есть какие-то причины, по которым она туда входит; например, как скорость. Ну тогда нужно заранее знать, что скорость – это производная.

Munin в сообщении #874627 писал(а):

И точно аналогичный факт справедлив и для площади. Её существование не всегда верно именно тогда, когда фигура получается из бесконечного числа простых фигур (сложением и вычитанием, например).

Площадь под графиком элементарной функции – простая фигура?

Munin в сообщении #874638 писал(а):

Этого вы толком не продемонстрировали.

Пока не могу. Курса нет, есть какие-то невнятные слайды и текст, готовый на 20%.

-- Чт, 12 июн 2014 11:47:09 --

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Я отдельно сформулирую возражение, которое мне кажется важным. Любой краткий курс/курс для прикладников должен основываться на нормальном курсе для математиков. Желательно как-то согласовать теоремы и обозначения. Просто чтобы при необходимости можно было восстановить нужные детали или точную формулировку. Мне кажется, что это довольно важный принцип университетского образования: возможность в нужный момент углубиться. Это аргумент здесь был высказан не только мной.

Так вот, если мы хотим определять какие-то свои производные и какую-то свою ULD, нужно начать с построения соответствующего полного курса анализа на этой основе. Я думаю, что полный курс на этой основе будет хуже и длиннее, чем классический курс. По крайней мере, такая картина вырисовывается, если потребовать всё доказывать.

Ну и вот, если полный курс длиннее и хуже, то нет никакой причины считать, что краткая версия будет короче и лучше. Функция "взять краткую версию курса", в первом приближении монотонна.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #874712 писал(а):

Раздел 2.8 второй ссылки, т.е. стр. 42-44.

Спасибо (я до этого места просто не долистал -- не мог себе представить, что ключевое утверждение загнано на самые последние страницы). В принципе, там всё более-менее нормально, однако есть несколько нюансов.

1). "And there will be such a number because $\underline f\le f\le\overline f$ implies $\int_a^b\underline f\,dx\le\int_a^b\overline f\,dx$"

Вы здесь ссылаетесь на аксиому полноты (в дедекиндовом варианте); но с какой стати ссылаетесь-то?... Вы ведь, насколько помню, про вещественные числа вообще категорически отказывались говорить. К тому же и ссылаетесь, формально говоря, неверно: у Вас через $\underline f$ и $\overline f$ была обозначена пара "одноузловых" функций, нужны же -- произвольные.

2). ", so we can define $\int_a^bf\,dx=I.$"

Вы не имеете права так определять: Вы уже давно (и опрометчиво) определили определённый интеграл как разность первообразных. Сочините временно какое-нибудь другое обозначение, чтобы Ваш текст стал осмыслен.

3). То, что Вы там доказываете -- это вовсе не теорема Ньютона-Лейбница; эта теорема при Вашем подходе верна просто по определению. Доказываете Вы существование первообразных у липшицевых функций. Пустячок, конечно, но нелепость логики немножко раздражает.

4). Вы совершенно напрасно пытаетесь улучшить оценки аж в четыре раза -- это практически абсолютно бессмысленно, не говоря уж о теоретически. И при этом отвлекает внимание. Лучше уберите этот фрагмент вообще нафиг.

5). Я не увидел чёткой привязки интеграла к площадям (смутные и туманные полунамёки не в счёт). Между тем это вопрос идейный.

В общем, методически это несколько не вполне фонтан. Как можно было бы Ваш липшицев подход хоть отчасти реанимировать (хотя мне он так и остаётся глубоко отвратительным):

а) с самого начала определять определённый интеграл именно через ну пусть даже и ломаные, но никак не через первообразные;

б) зафиксировать аксиому полноты и лишь потом на неё ссылаться (ну или не аксиому, а пусть хоть недоказываемую теорему, но что-то зафиксировать необходимо, иначе это просто не математика ни в каком смысле);

в) зафиксировать открытым текстом связь между интегралом и площадью (раз уж интегральные суммы не в жилу). При этом совсем не обязательно привлекать точную теорию (она сложна), достаточно интуитивных представлений о площади. Но чётко сформулировать эту связь -- необходимо, иначе это опять же не математика.

[mishafromusa]

ex-math в сообщении #874737 писал(а):

mishafromusa
Конкретизируйте, пожалуйста, на каких именно нематематиков Вы рассчитываете? Каких специальностей?

Эти заметки могли бы быть полезны всем, кто хочет быстро познакомиться с предметом, не особенно зацикливаясь на абсолютной строгости изложения, но и не пренебрегая логикой понятий и математическим содержанием. Сообразительные школьники находят это интересным. Будущие математики тоже могут это почитать и позабавиться, т.к. ничего крамольного в этом подходе нет.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #874727 писал(а):

странно, при движении поршня по стволу ударные волны возникают

Нет, там просто звуковые.

Может, мы по-разному термин используем? Ударная волна в физике - это разрывная функция, движущаяся быстрее звука (физически это происходит за счёт содержащейся в ней энергии, частицы вещества летят вперёд быстрее обычной средней скорости). Просто разрывная функция называется просто волной, а не ударной.

Oleg Zubelevich в сообщении #874727 писал(а):

Но задач с ударными волнами хватает. Это пример дифуров с решениями из пространств Соболева (вот кстати и интеграл Лебега) При численном моделировании таких решений рассматриваются схемы , сходящиеся именно в пространствах Соболева.

А, спасибо.

g______d в сообщении #874752 писал(а):

Я не вижу способа это изложить, не воткнув непрерывность куда-то в начало. Уж точно до производной.

Вот проблема в том, что:
- "я не вижу способа изложить производную, не воткнув перед ней непрерывность";
- "я не вижу способа изложить непрерывность, не воткнув перед ней предел" -
эти утверждения оба спорные, и не такие уж абсолютные, но приняв их оба, мы получаем то, что имеем: стандартный курс со стандартной проблемой: производные даются намного позже, чем нужны.

g______d в сообщении #874752 писал(а):

Потому что наличие разрыва, по крайней мере, для функций с достаточно простыми графиками, – одна из самых простых вещей, и требование отсутствия разрыва тоже интуитивно понятно.

Если давать производную как касательную, то этого требования можно не озвучивать, а всерьёз заняться непрерывностью позже. Или так и сказать "график функции должен быть непрерывной линией, а точнее, функция должна быть непрерывной функцией, но что это такое - мы с вами поговорим позже".

g______d в сообщении #874752 писал(а):

Я не помню, чтобы соглашался в таком виде.

Вы соглашались, что они изучают то, что можно нарисовать мелом на доске.

g______d в сообщении #874752 писал(а):

В любом университетском курсе математики необходимо произносить слова про чёрных ящик аргумент–значение, которым является функция.

Необходимо, но не обязательно говорить, что мы дальше изучаем произвольные такие функции. Можно даже явно сказать, что матанализ - это ветка математики, которая изучает более узкий класс функций, в некотором смысле "хорошие" и "не патологичные", и дать примеры - линию мелом на доске, и функцию Дирихле как пример "патологии".

В конце концов, понятие функции шире понятия матанализа, вы точно сказали: в курсе математики. Например, оно же фундаментально и в линейной алгебре, и в общей алгебре, и в комбинаторике, и даже в теории множеств.

g______d в сообщении #874752 писал(а):

На самом деле делается. Хорошие преподаватели Calculus

Ну, вы меня так скоро убедите в том, что calculus - это серебряная пуля. Моя позиция становится всё более и более перпендикулярной к позиции mishafromusa, скоро скалярное произведение станет отрицательным :-)

g______d в сообщении #874752 писал(а):

Я плохо понимаю, где могут быть сами по себе полезны навыки механического вычисления производной вне математики; внутри, впрочем, тоже. Если производная встречается в законе физики, то есть какие-то причины, по которым она туда входит; например, как скорость.

Да, причины. Но потом надо решать 100500 задач на эту скорость, или читать выкладки в учебниках или статьях, и там везде эти навыки механического вычисления нужны. Похоже, математикам даже и не снилось, что нематематики могут активней использовать математику, чем они сами.

g______d в сообщении #874752 писал(а):

Площадь под графиком элементарной функции – простая фигура?

Нет:

Munin в сообщении #874662 писал(а):

треугольник.
(Для школьников: на самом деле, прямоугольник...)

-- 13.06.2014 00:48:08 --

mishafromusa
Вот почему, когда вам задают конкретные вопросы, вы в ответ говорите общие слова?

И про полный курс (хотя бы схему, программу), и про целевую аудиторию.

Такое впечатление, что у вас ещё ничего толком не выношено и не сформулировано.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #874773 писал(а):

Эти заметки могли бы быть полезны всем, кто хочет быстро познакомиться с предметом, не особенно зацикливаясь на абсолютной строгости изложения, но и не пренебрегая логикой понятий и математическим содержанием.

Но Вы-то логикой откровенно пренебрегаете. Что не вполне есть хорошо, и что даже и студиозусов способно оттолкнуть.

[g______d]

Munin в сообщении #874776 писал(а):

Вы соглашались, что они изучают то, что можно нарисовать мелом на доске.

На piecewise $C^k$ и даже на $C^{\infty}$ я как раз согласен. Более того, "piecewise" тут лишнее, поскольку излом можно получить и с гладкими $x(t)$, $y(t)$, достаточно гладко остановиться ($e^{-1/t}$), а потом стартовать в другом направлении.

Но вот про аналитичность я не говорил ни разу. Аналитичность – жёсткое свойство.

Munin в сообщении #874776 писал(а):

Необходимо, но не обязательно говорить, что мы дальше изучаем произвольные такие функции. Можно даже явно сказать, что матанализ - это ветка математики, которая изучает более узкий класс функций, в некотором смысле "хорошие" и "не патологичные", и дать примеры - линию мелом на доске, и функцию Дирихле как пример "патологии".

Ну скажем так, нужно знакомить с представлением, что есть траектория, т. е. положение точки меняется со временем, и в любой момент она может, в принципе, пойти в любую сторону, а не строго по графику синуса.

Munin в сообщении #874776 писал(а):

Необходимо, но не обязательно говорить, что мы дальше изучаем произвольные такие функции. Можно даже явно сказать, что матанализ - это ветка математики, которая изучает более узкий класс функций, в некотором смысле "хорошие" и "не патологичные", и дать примеры - линию мелом на доске, и функцию Дирихле как пример "патологии".

Более узкий – безусловно. Просто есть принципиальная разница между требованием гладкости и требованием "быть многочленом" или даже "быть аналитической". Нужно понимать, что можно поменять функцию в окрестности одной точки, не изменив её в окрестности другой точки. Принцип локальности в какой-то формулировке важен в физике.

Munin в сообщении #874776 писал(а):

Но потом надо решать 100500 задач на эту скорость, или читать выкладки в учебниках или статьях, и там везде эти навыки механического вычисления нужны. Похоже, математикам даже и не снилось, что нематематики могут активней использовать математику, чем они сами.

Навыки нужны, но не сами по себе; если у нас есть только навыки, мы сможем только сделать тождественное преобразование в формуле. А нужно ещё как-то эту формулу связать с реальным миром, интерпретировать; т. е. и на входе, и на выходе нам нужно понимать определение производной, а не только правила преобразования одних производных в другие.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #874756 писал(а):

Вы здесь ссылаетесь на аксиому полноты (в дедекиндовом варианте); но с какой стати ссылаетесь-то?... Вы ведь, насколько помню, про вещественные числа вообще категорически отказывались говорить. К тому же и ссылаетесь, формально говоря, неверно: у Вас через $\underline f$ и $\overline f$ была обозначена пара "одноузловых" функций, нужны же -- произвольные.

Я не ссылаюсь, я просто приближаю интеграл интегралами одноузловых функций, можно приблизить с произвольной точностью -- ну и слава богу, произвольные функции тут не нужны. Положительность интеграла тогда следует из его положительности для одноузловых функций. Собственно говоря, ситуациия такая: мы можем интегрировать некоторуе функции, и интеграл положителен, Тогда мы можем распространить его на более широкий класс с сохранением положительности, вот и всё.

-- 12.06.2014, 17:13 --

ewert в сообщении #874756 писал(а):

2). ", so we can define $\int_a^bf\,dx=I.$"

Вы не имеете права так определять: Вы уже давно (и опрометчиво) определили определённый интеграл как разность первообразных. Сочините временно какое-нибудь другое обозначение, чтобы Ваш текст стал осмыслен.

Ну да, это конечно так, и стоило бы заметить, что новоопределённый интеграл согласуется с уже определённым. Это совсем просто, т.к. уже определённый интеграл положителен. Спасибо за замечание.

[Munin]

g______d в сообщении #874785 писал(а):

Более того, "piecewise" тут лишнее, поскольку излом можно получить и с гладкими $x(t)$, $y(t)$, достаточно гладко остановиться ($e^{-1/t}$), а потом стартовать в другом направлении.

У меня были сомнения, что можно получить произвольную асимптотику вокруг точки остановки.

g______d в сообщении #874785 писал(а):

Ну скажем так, нужно знакомить с представлением, что есть траектория, т. е. положение точки меняется со временем, и в любой момент она может, в принципе, пойти в любую сторону, а не строго по графику синуса.

Это, знаете ли, задача физиков :-) И они с нею справляются.

g______d в сообщении #874785 писал(а):

Более узкий – безусловно. Просто есть принципиальная разница между требованием гладкости и требованием "быть многочленом" или даже "быть аналитической".

Ну хватит уже пыхать пламенем про "быть многочленом"? Никто же этого не предлагал. Разобрались давно.

g______d в сообщении #874785 писал(а):

Навыки нужны, но не сами по себе

Разумеется, они только precondition. Суть-то в том, что pre-, а не post-.

g______d в сообщении #874785 писал(а):

А нужно ещё как-то эту формулу связать с реальным миром, интерпретировать; т. е. и на входе, и на выходе нам нужно понимать определение производной, а не только правила преобразования одних производных в другие.

Э нет, здесь вы топчетесь по той же ошибке, которую я уже пытался объяснить ewert (но бесполезно). Понятие, суть ≠ определение. Даже в математике подчас, а уж в физике - подавно.

(В качестве анекдотического примера не в тему: определение треугольника в разных школьных учебниках даётся разное: с внутренностью и без, с порядком вершин и без, с вырожденными вариантами и без, как множество точек и как множество объектов... - а понятие треугольника везде одинаковое, и даже теоремы про них почти одинаковые.)