Если да, то отсюда легко доказывается, что необходимое условие будет и существование алгоритма, получающего текст произвольной задачи из

и выдающего в качестве результата текст решающего ее алгоритма.
Это неправда. Существует алгоритм, получающий
доказательство того, что задача лежит в

, и выдающий полиномиальный алгоритм ее решения.
Гм... Вроде я про это же говорил, но только в терминах текста? Я же исхожу из существования текста алгоритма-решения для

полной задачи.
Тогда - у нас есть полиномиальное преобразование, позволяющее из текста

- решения некоторой

-полной задачи с предикатом

- получать решение для произвольной задачи

из

(есть такая теорема). Проcто есть алгоритм

, полиномиальный по времени своей работы, который из текста

решения для NP-полной задачи делает текст решения для той задачи, текст которой представлен в

:
![$[z=\widehat{R_ {L_0}(x)}] \Rightarrow [T(z, \widehat{L_i(x, y)}) = \widehat{R_{L_i}(x)} ] $ $[z=\widehat{R_ {L_0}(x)}] \Rightarrow [T(z, \widehat{L_i(x, y)}) = \widehat{R_{L_i}(x)} ] $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/7/0078ded32a75e9921a38e92dfe4ce6ce82.png)
где шляпа над обозначением для алгоритма обозначает текст данного алгоритма (ну или его Гёделев номер - что по сути то же самое).
Притом это без всякого значка «существование» в левой стороне импликации - там может быть любой z, который является текстом решающего алгоритма (там могут быть разные решения). И алгоритм

тоже вполне конкретный. Мы знаем,
как преобразовать решение

-полной задачи в решение любой задачи

, даже не зная самого решения

-полной задачи.
Так вот, если у нас решена

-полная задача

, то:
1.

- существует текст решающего ее алгоритма;
2.
![$[z=\widehat{R_ {L_0}(x)}] \Rightarrow [T(z, \widehat{L_i(x, y)}) = \widehat{R_{L_i}(x)} ]$ $[z=\widehat{R_ {L_0}(x)}] \Rightarrow [T(z, \widehat{L_i(x, y)}) = \widehat{R_{L_i}(x)} ]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/9/c69ec4d47a77a423a7046d1610d76eac82.png)
(это преобразование разобрано раньше);
3.
![$[(\exists z) z=\widehat{R_ {L_0}(x)}] \Rightarrow [T(z, \widehat{L_i(x, y)}) = \widehat{R_{L_i}(x)} ]$ $[(\exists z) z=\widehat{R_ {L_0}(x)}] \Rightarrow [T(z, \widehat{L_i(x, y)}) = \widehat{R_{L_i}(x)} ]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/6/a960ecc06ed0e0eceb51c67c524f78ca82.png)
- из п. 2 по правилу вывода для квантора

(по крайней мере в «Основаниях математики» Гильберта и Бернайса это правило вывода, в других книгах это иногда выводится из другого набора аксиом);
4.
![$[T(z, \widehat{L_i(x, y)}) = \widehat{R_{L_i}(x)} ]$ $[T(z, \widehat{L_i(x, y)}) = \widehat{R_{L_i}(x)} ]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/b/75ba1f7fbb8e2ebdaad6109ddaddfb2082.png)
- из пп. 1 и 3 по правилу вывода

Последний пункт и есть тот алгоритм, который находит текст алгоритма-решение за полиномиальное время для любой задачи из

. И он выведен из предположения 1. Поэтому п. 4 - это необходимое условие для случая

.