Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[ewert]

mishafromusa в сообщении #872979 писал(а):

Из неё же оценки следуют, которые потом и берутся за определения.

Не вижу логики. Просто элементарной логики (даже не математической). Как из оценок для какого-то крайне экзотического случая может следовать хоть что-то, что было бы применимо к общему случаю, заведомо не укладывающемуся в этот частный?

[mishafromusa]

ewert в сообщении #872976 писал(а):

mishafromusa в сообщении #872975 писал(а):

просветитесь.

Зачем? зачем мне шашечки, когда мне нужно ехать?...

Ну так и поезжайте, зачем только разговаривать, если никакого желания понять нет?

-- 07.06.2014, 17:41 --

ewert в сообщении #872981 писал(а):

Не вижу логики.

Вы просто не хотите понять, что тут спорить? Да откуда вообще берутся ваши любимые определения, кроме как из обобщения частных случаев? Не с потолка же?

-- 07.06.2014, 17:56 --

ewert в сообщении #872981 писал(а):

Как из оценок для какого-то крайне экзотического случая может следовать хоть что-то, что было бы применимо к общему случаю, заведомо не укладывающемуся в этот частный?

Вот именно так часто и происходит, я удивлён, что Вы не замечали.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #872982 писал(а):

Вот именно так часто и происходит, я удивлён, что Вы не замечали.

Я не менее удивлён, как Вы не можете различать онтогенез и филогенез. Мало ли что было при Царе Горохе. На сегодня актуально лишь то, что актуально сегодня.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #872954 писал(а):

Определение получается абсолютно немотивированным.

Ага, значит огорошить учеников эпсилонами и дельтами, которые непонятно как и где друг для друга сушествуют -- это мотивированно, а посчитать ручками наклон касательной к графику одночлена -- это не мотивировано, всё понятно....

[ewert]

mishafromusa в сообщении #872991 писал(а):

а посчитать ручками наклон касательной к графику одночлена

Вы забываете, что синус -- функция не вполне линейная. Как и практически любая встречающаяся на практике.

В практических задачах же Вы никак не сможете посчитать этот наклон ручками. Т.е. сможете, но лишь в некотором приближении. Однако теория у Вас абстрактна, и потому степень этого приближения Вы проконтролировать не в состоянии. Ну нет у Вас для этого никакого формального аппарата, потому и надеяться не на что.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #872945 писал(а):

производная – это штука, которую в каждой точке можно посчитать или померить

В том-то и дело, что в каждой индивидуальной точке померить нельзя, точек бесконечное множество. Можно только доказать оценки в тех или иных интервалах значений.

-- 07.06.2014, 18:39 --

ewert в сообщении #872993 писал(а):

В практических задачах же Вы никак не сможете посчитать этот наклон ручками. Т.е. сможете, но лишь в некотором приближении.

Для многочлена можно, нужно просто посмотреть на него, как на многочлен приращения аргумента, и сразу видно, что чего касается. Для синуса можно доказать аналогичную оценку, так что всё в порядке.

-- 07.06.2014, 18:45 --

ewert в сообщении #872993 писал(а):

Однако теория у Вас абстрактна, и потому степень этого приближения Вы проконтролировать не в состоянии. Ну нет у Вас для этого никакого формального аппарата, потому и надеяться не на что.

Да не объясняйте мне про мою теорию, в которой Вы не разобрались. Она совсем не чисто формальна, там же множители, на которые происходит разложение (если говорить об этой формулировке) должны удовлетворять некоторым оценкам! И формальный аппарат, если говорить о дифференцировании, интегрировании, и оценках -- почти тот же, просто вместо эпсилонов и дельт исползуется конкретные модули непрерывности.

-- 07.06.2014, 18:53 --

ewert в сообщении #872990 писал(а):

На сегодня актуально лишь то, что актуально сегодня.

Да, понятно, подолбим сегодняшнюю формалистику из узколобого учебника, списанного с учебника при царе Горохе, а потом -- хоть потоп.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #872993 писал(а):

Ну нет у Вас для этого никакого формального аппарата, потому и надеяться не на что.

И формальный аппарат, если говорить о дифференцировании, интегрировании, и оценках -- почти тот же, просто вместо эпсилонов и дельт исползуются конкретные модули непрерывности. И вообще, так как у каждой непрепывной функции есть модуль непрерывности, то все гладкие функции обслуживаются. И я же объяснил уже как поточечное дифференцирование включается в схему разложения на множители, так и делал, в сущности, Вейерштрасс, да кстати и Каратеодори (только для комплексной переменной).

[Munin]

ewert в сообщении #872964 писал(а):

если нет непрерывности (точнее, ограниченности, но с практической точки зрения это то же самое, что и непрерывность)

С практической точки зрения, это как раз отчётливо разные вещи. Например, шум может быть заведомо меньше какой-нибудь оценки сверху (< зиллионы), но при этом не меньше любых попыток его ещё как-то уменьшить.

-- 08.06.2014 13:51:15 --

(Оффтоп)

mishafromusa в сообщении #872982 писал(а):

зачем только разговаривать, если никакого желания понять нет?

Тоже замечал это за ewert-ом неоднократно.

ewert в сообщении #872990 писал(а):

Я не менее удивлён, как Вы не можете различать онтогенез и филогенез. Мало ли что было при Царе Горохе. На сегодня актуально лишь то, что актуально сегодня.

Здесь не биология, и то, как всё рассказать - это вопрос выбора преподавателя. Сознательного выбора. "Нету обязательного фиксированного онтогенеза," если пользоваться этой аналогией (плохой, в общем-то). А позиция "буду так, как предыдущий профессор делал, и не сдвинусь ни на миллиметр, потому что ета правельно" - как раз этого выбора избегает. И вообще осознания вопроса.

ewert в сообщении #872993 писал(а):

В практических задачах же Вы никак не сможете посчитать этот наклон ручками. Т.е. сможете, но лишь в некотором приближении. Однако теория у Вас абстрактна, и потому степень этого приближения Вы проконтролировать не в состоянии.

А это не проблема теории. Это проблема вообще. Если мы в практической задаче имеем набор значений функции в точках, то дальше можем только интерполировать (и иногда аппроксимировать) его, например, полиномом. И для полинома - всё окей, считается. Или каким-то другим способом с формулой. Для которого тоже - окей, считается.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #872973 писал(а):

Лишь зная достаточно универсальное определение, мы способны осознать, какие подводные камни и где нас ожидают.

И многие из этит подводных камней появляются именно от того, что наши определения слишком универсальны, т.е. попыток объять необъятное.

-- 08.06.2014, 08:19 --

g______d в сообщении #872945 писал(а):

Кроме того, для задач университетского анализа самый естественный класс – $C^1$; для него большинство теорем и формулируется. Для него, конечно, нужны свойства непрерывных функций, но не вижу никакого смысла пропускать непрерывность и на всех парах мчаться к производным.

Смысл в том, что липшицевы функции возникают совершенно естественно при рассмотрении дифференцируемых по Липшицу функций, а эта дифференцируемость -- совершенно естесвенное обобщение дифференцирования многочленов. Липшицевость -- это очень важный частный случай непрепывности, на котором выявляются практически все важные свойства общих непрерывных функций. Научившись дифференцировать, интегрировать, и решать ДУ в липшицевом классе, мы получаем с одной стороны -- огромное поле применений, а с другой -- мотивацию и для рассмотрения более общих непрерывных функций, сходимости рядов и последовательностей функций, начиная со степенных рядов, итд. Уже умея работать с липшицевымли функциями, разобраться в непребывности гораздо легче, чем с нуля. Вопрос в том, двигаться ли от простого к сложному или от сложного к простому, и липшицева теория совершенно элементарна по сравнению с тяжеловесной техникой кассического анализа.
Кроме того, ученикам, интересующимся в основном приложениями математики, интересно научиться её применять как можно быстрее и проще, а общие вопросы основ и "строгости" представляют для них второстепенный интерес. Для них начинать с основ, т.е. вещественных чисел, пределов и непрерывности -- неестественно. С другой стороны, может и они заинтересуются основами, когда их важность проявится на практике.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #873129 писал(а):

Липшицевость -- это очень важный частный случай непрепывности, на котором выявляются практически все важные свойства общих непрерывных функций. Научившись дифференцировать, интегрировать, и решать ДУ в липшицевом классе,

В этом классе -- не научитесь, даже и не надейтесь. Липшицевых функций слишком много, и уродства их достаточно многочисленны.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #873368 писал(а):

mishafromusa в сообщении #873129 писал(а):

Липшицевость -- это очень важный частный случай непрепывности, на котором выявляются практически все важные свойства общих непрерывных функций. Научившись дифференцировать, интегрировать, и решать ДУ в липшицевом классе,

В этом классе -- не научитесь, даже и не надейтесь. Липшицевых функций слишком много, и уродства их достаточно многочисленны.

Я имел в виду "понимая производную в смысле Липшицевой дифференцируемости," когда я говорил "в липшицевом классе," и это понятно из контекста, не надо цепляться к словам. Арнольд в своём учебнике по ОДУ занимается исключительно гладкими задачами. Между прочим, Вы правильно заметили Muninу насчёт его программы, что математики физику знают неважно, а физики неважно знают математику. Одна из причин этого в том, что математики зациклены на формаистике, и пихают её всем, кого они учат, в результате никто толком математики и не знает. По той же причине математики толком не понимают физики.

[Munin]

Для ОДУ это более естественно. Даже более естественно, чем для ДУЧП: особенность не обойдёшь вокруг (разве что на комплексной плоскости).

[ewert]

mishafromusa в сообщении #873417 писал(а):

Арнольд в своём учебнике по ОДУ занимается исключително гладкими задачами.

Имеет полное право, у него курс -- вполне специальный. Однако же независимо от этого: гладкость -- ни разу не есть липшицевость. Нехорошо вводить детишек в заблуждение невнятной терминологией.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #873428 писал(а):

mishafromusa в сообщении #873417 писал(а):

Арнольд в своём учебнике по ОДУ занимается исключително гладкими задачами.

Имеет полное право, у него курс -- вполне специальный. Однако же независимо от этого: гладкость -- ни разу не есть липшицевость. Нехорошо вводить детишек в заблуждение невнятной терминологией.

Так я же говорил о функциях с липшецевой производной, т.е. более чем просто гладких, и не надо прикидываться ребёнком. Для справки, липшицева дифференцируемость определяется (локально равномерной) оценкой $|f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)| \le K(x-a)^2$ и это гарантирует липшицевость производной. А "для любого эпсилон существует дельта такая что для любого икс..." -- это внятно, да?

-- 08.06.2014, 15:38 --

Munin в сообщении #873423 писал(а):

Для ОДУ это более естественно. Даже более естественно, чем для ДУЧП: особенность не обойдёшь вокруг (разве что на комплексной плоскости).

Я про УЧП не говорил, под ДУ имел в виду ОДУ.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #873438 писал(а):

Я про УЧП не говорил

Я и не говорил, что вы говорили. Бесит, когда делают такие замечания.