Числа Фибоначчи и треугольники Герона

[scwec]

Батороев, повторю то, что уже фактически говорилось в этой теме в предыдущих сообщениях по этому поводу.
Легко написать общее решение уравнения $u^2+v^2-w^2=1\qquad(1)$ в рациональных числах. Оно зависит от двух рациональных параметров $t,k$.
Например, $u=t, v=\frac{t^2-1-k^2}{2k}, w=\frac{t^2-1+k^2}{2k}\qquad(2)$.
Если ограничиться целыми $t,k$, то круг решений $(1)$ сужается. Он содержит все целые решения и еще бесконечное множество рациональных.
Вопрос состоял в том, существуют ли такие формулы $u=u(t_1,t_2,...,t_n), v=v(t_1,t_2,...,t_n),w=w(t_1,t_2,...,t_n)$, чтобы при любом выборе параметров получалось целое решение $(1)$ и чтобы любое целое решение $(1)$ получалось бы некоторым выборов параметров. Причем область параметров заранее фиксируется (предполагалось, что это все целые числа).
Ваши соображения приводят к параметризации $(2)$, что не решает вопроса.

Сменю тему. Удивляюсь,что нет решения простой задачи о произведении четырех последовательных чисел Фибоначчи. Потому что простая? Каникулы?

[Батороев]

scwec в сообщении #588780 писал(а):

Батороев, повторю то, что уже фактически говорилось в этой теме в предыдущих сообщениях по этому поводу.
Легко написать общее решение уравнения $u^2+v^2-w^2=1\qquad(1)$ в рациональных числах. Оно зависит от двух рациональных параметров $t,k$.
Например, $u=t, v=\frac{t^2-1-k^2}{2k}, w=\frac{t^2-1+k^2}{2k}\qquad(2)$.
Если ограничиться целыми $t,k$, то круг решений $(1)$ сужается. Он содержит все целые решения и еще бесконечное множество рациональных.
Вопрос состоял в том, существуют ли такие формулы $u=u(t_1,t_2,...,t_n), v=v(t_1,t_2,...,t_n),w=w(t_1,t_2,...,t_n)$, чтобы при любом выборе параметров получалось целое решение $(1)$ и чтобы любое целое решение $(1)$ получалось бы некоторым выборов параметров. Причем область параметров заранее фиксируется (предполагалось, что это все целые числа).
Ваши соображения приводят к параметризации $(2)$, что не решает вопроса.

Все мои выкладки касались натуральных чисел.

Сожалею, что не просмотрел внимательно все сообщения темы и продублировал сообщение:

nnosipov в сообщении #579915 писал(а):

То есть, взяв произвольное целое $u$, разложим $u^2-1$ в произведение двух сомножителей одинаковой чётности, после чего по ним найдём $v$ и $w$.

[Shadow]

scwec в сообщении #588780 писал(а):

Сменю тему. Удивляюсь,что нет решения простой задачи о произведении четырех последовательных чисел Фибоначчи. Потому что простая? Каникулы?

Не знаю, в теорию чисел не силен, попробую. Обозначим последовательных чисел Фибоначчи $x-y,y,x,x+y$. Надо доказать неразрешимость в натуральных $xy(x^2-y^2)=z^2$. x,y можно считать попарно простыми. Значит они не могут содержать простой множитель в нечетной степени, т.е x, y - квадраты. Получается уравнение $x^4-y^4=z^2$ очень похожее на Ферма. Доказательство неразрешимости я посмотрел по ссылке
http://planetmath.org/X4Y4z2HasNoSolutionsInPositiveIntegers.html

[scwec]

Для полноты картины замечу, что конгруэнтность произведения $F_{n}F_{n+1}F_{n+2}F_{n+3}$ следует из того, что $F_{n+2}^2-F_{n+1}^2=F_n{F_{n+3}}$ и пифагоров треугольник $(F_{n}F_{n+3}, 2F_{n+1}F_{n+2}, F_{n+1}^2+F_{n+2}^2)$ имеет площадь $F_{n}F_{n+3}F_{n+1}F_{n+2}$.
Ну и невозможность быть квадратом следует из конгруэнтности.

[maxal]

maxal в сообщении #575454 писал(а):

maxal в сообщении #574315 писал(а):

К конечному числу таковых. Над сведением ломал голову целый день. Уравнения Туэ - это такой молоток, которым многие задачи можно раздолбать (например, конечноть чисел Фибоначчи вида $n^2+1$). Буду писать продолжение своей статьи на эту тему...

По существу я научился искать (спасибо Туэ) целые точки на биквадратных кривых вида:

$$ay^2 = bx^4 + cx^2 + d$$

Как я уже сказал, к таким кривым сводится поиск чисел Фибоначчи вида $p\cdot n^2 + q$ для фиксированных $p,q$. (в частности, упомянутое выше уравнение).

Ну вот прошёл какой-то год, я довел таки статью до читабельного вида:
http://arxiv.org/abs/1306.0883
Буду благодарен за замечания и комментарии!

[scwec]

maxal, c Люнгреном получилось красиво. Как-то сразу убеждает в общем подходе. Теперь время внимательного прочтения.
Да, можно испробовать на $3x^4-2y^2=1$. У него ведь тоже два натуральных решения $(1,1), (3,11)$.

[maxal]

maxal в сообщении #732799 писал(а):

Ну вот прошёл какой-то год, я довел таки статью до читабельного вида:
http://arxiv.org/abs/1306.0883

Прошёл ещё год - и статья опубликована:
M. A. Alekseyev and Sz. Tengely. "On Integral Points on Biquadratic Curves and Near-Multiples of Squares in Lucas Sequences", Journal of Integer Sequences 17(6) (2014), Article 14.6.6.

[Andrey A]

scwec в сообщении #575591 писал(а):

раз уж здесь встряло это уравнение $z^2-1=(x^2-1)(y^2-1)$ ...

... кое-что добавлю. Для произвольного целого аргумента $a$ некоторые решения уравнения $z^2-1=(a^2-1)(y^2-1)$ выражаются последовательностью дробей $\frac{z_n}{y_n}=\frac{1}{1};\frac{a^2+a-1}{a+1};...;\frac{z_{n+1}=2az_n-z_{n-1}}{y_{n+1}=2ay_n-y_{n-1}}$. Тут есть зависимость от делимости числа $a^2-2$. Если оно степень простого или удвоенная степень простого, то пара таких последовательностей $(\pm a)$, возможно, исчерпывают все решения. Утверждать не берусь, но в противном случае точно есть другие (вопрос двух первых членов). Для $a=11$, к примеру, имеем $11^2-2=7\cdot 17$ и последовательности

$\frac{-19}{2};\frac{31}{3};...;\frac{z_{n+1}=22z_n-z_{n-1}}{y_{n+1}=22y_n-y_{n-1}}$

$\frac{-31}{3};\frac{19}{2};...;\frac{z_{n+1}=22z_n-z_{n-1}}{y_{n+1}=22y_n-y_{n-1}}$

[scwec]

Andrey A в сообщении #871469 писал(а):

scwec в сообщении #575591 писал(а):
раз уж здесь встряло это уравнение ...

... кое-что добавлю.

Это уравнение рассматривалось здесь в теме http://dxdy.ru/topic45551.html

[individ7]

Не хотел на этом форуме формулы рисовать, но когда это уравнение увидел не удержался.
С того времени как меня от сюда выгнали я успел довольно много уравнений решить.

Toucan:

Удалено

Ну пока всё. Думаю этого хватит.

[Yadryara]

individ7 в сообщении #871884 писал(а):

С того времени как меня от сюда выгнали

Иными словами, Вы раньше писали под ником individa ?

[Deggial]

individ7 заблокирован как клон individa

[scwec]

maxal в сообщении #732799 писал(а):

Буду благодарен за замечания и комментарии!

К примеру, уравнение $y^2=x^4+(4n^2-2)x^2+1$.
Надо сказать, что при разных натуральных $n$ уравнение имеет или не имеет целых или (рациональных) решений. И это есть задача Лича.
Даже интересно, когда есть целые решения.

-- Чт июн 05, 2014 17:53:14 --

[dmd]

Если кому будет интересно, предлагаю поучаствовать в шлифовке gp-кода решателя биквадратных уравнений по алгоритму из статьи maxal.

(pari/gp код)

partsol(A,B,C)=
{
 my(N, no, xo, yo, zo, k0, k1, l, S= []);

 N= iferr(bnfisnorm(bnfinit('x^2 + A*B, 1), -A*C), Err, 0);
 if(N, if(abs(N[2])==1,
  no= lift(N[1]);
  k0= polcoef(no, 0); k1= polcoef(no, 1);
  if(k0 & k1,
   xo= k0/A; yo= k1; zo= 1;
   l= lcm(denominator(xo), denominator(yo));
   xo= abs(l*xo); yo= abs(l*yo); zo= abs(l*zo);
   if(A*xo^2+B*yo^2+C*zo^2==0, S= concat(S, [[xo,yo,zo]]))
  )
 ));

 N= iferr(bnfisnorm(bnfinit('x^2 + A*C, 1), -A*B), Err, 0);
 if(N, if(abs(N[2])==1,
  no= lift(N[1]);
  k0= polcoef(no, 0); k1= polcoef(no, 1);
  if(k0 & k1,
   xo= k0/A; yo=1; zo= k1;
   l= lcm(denominator(xo), denominator(zo));
   xo= abs(l*xo); yo= abs(l*yo); zo= abs(l*zo);
   if(A*xo^2+B*yo^2+C*zo^2==0, S= concat(S, [[xo,yo,zo]]))
  )
 ));

 N= iferr(bnfisnorm(bnfinit('x^2 + B*C, 1), -B*A), Err, 0);
 if(N, if(abs(N[2])==1,
  no= lift(N[1]);
  k0= polcoef(no, 0); k1= polcoef(no, 1);
  if(k0 & k1,
   yo= yo/B; xo= 1; zo= k1;
   l= lcm(denominator(zo), denominator(yo));
   xo= abs(l*xo); yo= abs(l*yo); zo= abs(l*zo);
   if(A*xo^2+B*yo^2+C*zo^2==0, S= concat(S, [[xo,yo,zo]]))
  )
 ));

 N= iferr(bnfisnorm(bnfinit('x^2 + B*A, 1), -B*C), Err, 0);
 if(N, if(abs(N[2])==1,
  no= lift(N[1]);
  k0= polcoef(no, 0); k1= polcoef(no, 1);
  if(k0 & k1,
   yo= yo/B; zo= 1; xo= k1;
   l= lcm(denominator(xo), denominator(yo));
   xo= abs(l*xo); yo= abs(l*yo); zo= abs(l*zo);
   if(A*xo^2+B*yo^2+C*zo^2==0, S= concat(S, [[xo,yo,zo]]))
  )
 ));

 N= iferr(bnfisnorm(bnfinit('x^2 + C*B, 1), -C*A), Err, 0);
 if(N, if(abs(N[2])==1,
  no= lift(N[1]);
  k0= polcoef(no, 0); k1= polcoef(no, 1);
  if(k0 & k1,
   zo= zo/C; yo= k1; xo= 1;
   l= lcm(denominator(zo), denominator(yo));
   xo= abs(l*xo); yo= abs(l*yo); zo= abs(l*zo);
   if(A*xo^2+B*yo^2+C*zo^2==0, S= concat(S, [[xo,yo,zo]]))
  )
 ));

 N= iferr(bnfisnorm(bnfinit('x^2 + C*A, 1), -C*B), Err, 0);
 if(N, if(abs(N[2])==1,
  no= lift(N[1]);
  k0= polcoef(no, 0); k1= polcoef(no, 1);
  if(k0 & k1,
   zo= zo/C; yo= 1; xo= k1;
   l= lcm(denominator(xo), denominator(zo));
   xo= abs(l*xo); yo= abs(l*yo); zo= abs(l*zo);
   if(A*xo^2+B*yo^2+C*zo^2==0, S= concat(S, [[xo,yo,zo]]))
  )
 ));

 return(S)
};




biquadratic(P)=
{
 SX= Set();
 a= polcoef(P, 4); b= polcoef(P, 2); c= polcoef(P, 0);
 k3= polcoef(P, 3); k1= polcoef(P, 1);

 if(k3||k1, print("Polynomial is not biquadratic, exit."); return());

 if(b^2-4*a*c==0, print("Discriminant("P") = 0, exit."); return());

 A= b^2-4*a*c; B= 4*c; C= -1;

\\ print("(A,B,C) = ("A", "B", "C")");

 S1= partsol(A,B,C);

\\ print(S1);

 for(i1=1, #S1,
  xo= S1[i1][1]; yo= S1[i1][2]; zo= S1[i1][3];

  Q= abs(2*lcm(A,B)*C*zo);

\\  print("Q = "Q);

  Q= divisors(Q);

  Px= xo*A*m^2 + 2*yo*B*m*n - xo*B*n^2;
  Py= -yo*A*m^2 + 2*xo*A*m*n + yo*B*n^2;
  Pz= zo*A*m^2 + zo*B*n^2;

\\  print("Px = "Px"\nPy = "Py"\nPz = "Pz);

  E= 2*c*Px/(Pz - b*Px);

  T= subst(E, n, 1); P1= numerator(T); P2= denominator(T);

\\  print("P1 = "P1"\nP2 = "P2);
 
  a1= polcoef(P1, 2); b1= polcoef(P1, 1); c1= polcoef(P1, 0);

  if(b1^2-4*a1*c1==0, print("Discriminant("P1") = 0, exit."); break());

  a2= polcoef(P2, 2); b2= polcoef(P2, 1); c2= polcoef(P2, 0);

  T= [a1, 0, a2, 0; b1, a1, b2, a2; c1, b1, c2, b2; 0, c1, 0, c2];

  T1= matsolve(T, [1, 0, 0, 0]~); T2= matsolve(T, [0, 0, 0, 1]~);

  G= 1;
  for(i=1, #T1, G= lcm(G, denominator(T1)));
  for(i=1, #T2, G= lcm(G, denominator(T2)));

\\  print("G = "G);

  if(b1==0,
   r= a1; s= c1; t= G
   ,
   if(c1!=0,
    s= 1/4/c1; r= (4*a1*c1-b1^2)*s;
    Q1= x; Q2= b1*x+2*c1*y;
    g2= gcd(polcoef(Q2, 1, x), polcoef(Q2, 1, y)); g1= 1;
    Q2= Q2/g2; s= s*g2^2;
   );
   if(a1!=0,
    r= 1/4/a1; s= (4*a1*c1-b1^2)*r;
    Q1= 2*a1*x+b1*y; Q2= y;
    g1= gcd(polcoef(Q1, 1, x), polcoef(Q1, 1, y)); g2= 1;
    Q1= Q1/g1; r= r*g1^2;
   );
   if(a1==0 & c1==0, r= s= b1/4; Q1= x+y; Q2= x-y);
  );

  g12= lcm(denominator(r), denominator(s));

  r= r*g12; s= s*g12; Q3= z;

  D= divisors(G);

  for(j=1, #D,

   d= D[j];

   if(issquarefree(d),

    forstep(signg=-1, 1, 2,

     g= signg*d;

\\     print("g = "g);

     t= g*g12;

     if(r<0 & s<0, r= -r; s= -s; t= -t);

\\     print("(r,s,t) = ("r", "s", "t")");
\\     print("(Q1,Q2) = ("Q1", "Q2")");
\\     print("Equation (6): "r" * ("Q1")^2 + "s" * ("Q2")^2 + "t" * ("Q3")^2 = 0");

     S2= partsol(r,s,t);

\\     print(S1);

     for(i2=1, #S2,
      ro= S2[i2][1]; so= S2[i2][2]; to= S2[i2][3];


      Qx= ro*r*m^2 + 2*so*s*m*n - ro*s*n^2;
      Qy= -so*r*m^2 + 2*ro*r*m*n + so*s*n^2;
      Qz= to*r*m^2 + to*s*n^2;

\\      print("Qx = "Qx"\nQy = "Qy"\nQz = "Qz);

      if(Q1=='x, Y= (Qy - polcoef(Q2, 1, 'y)*Qx)/polcoef(Q2, 1, 'x); X= Qx);
      if(Q2=='y, X= (Qx - polcoef(Q1, 1, 'y)*Qy)/polcoef(Q1, 1, 'x); Y= Qy);

\\      print("(X,Y) = ("X", "Y")");

      PT= 1*(polcoef(P2, 2)*X^2 + polcoef(P2, 1)*X*Y + polcoef(P2, 0)*Y^2);

      S= subst(PT, n, 1);

      lg= lcm(denominator(polcoef(S, 4)), denominator(polcoef(S, 3)));
      lg= lcm(denominator(polcoef(S, 2)), lg);
      lg= lcm(denominator(polcoef(S, 1)), lg);
      lg= lcm(denominator(polcoef(S, 0)), lg);

\\      print("lg = "lg);

      PT= lg*PT;

\\      print("Thue polynomial: "PT);

      Glg= divisors(g*lg);

      for(k=1, #Q,

       q= Q[k];

       for(v=1, #Glg,

        p2= Glg[v];

        if(gcd(q,p2)==1 & issquare(p2),

\\        print("Thue polynomial: "PT);
\\        print("RHS of Thue: ("g" * "lg" * "q"^2 / "p2") = "g*lg*q^2/p2);

         Th= thue(subst(PT, n, 1);, g*lg*q^2/p2);

\\         print("Solutions Thue equation:\n"Th);

         MN= apply(V -> [subst(subst(X,m,V[1]),n,V[2]), subst(subst(Y,m,V[1]),n,V[2])], Th);

         \\MN= select(V -> gcd(V[1],V[2])==1, MN);

\\         print("(m,n) = \n"MN);

         X2= apply(V -> [subst(subst(E,m,V[1]),n,V[2])], MN);

         for(i=1, #X2, SX= setunion(SX, [X2[i][1]]));

\\         print(SX);

        )
       )
      )
     )
    )
   )
  )
 );

 XY= [];
 for(i=1, #SX,
  if(issquare(SX[i]),
   xi= sqrtint(SX[i]); y2= a*xi^4+b*xi^2+c;
   if(issquare(y2),
    yi= sqrtint(y2); XY= concat(XY, [[xi,yi]])
   )
  )
 );

\\ print("Solutions of "P" = y^2:\n"XY);

 return(XY)

};

Пока у меня такие возникли проблемы.

Частное нетривиальное решение уравнения $Ax_0^2+By_0^2+Cz_0^2=0$ получаю так: приравниваю например $z_0=1$, преобразую к уравнению $(Ax_0)^2+ABy_0^2=-AC$ и решаю его при помощи bnfisnorm. Перебираю все возможные варианты такого преобразования, и всё равно при некоторых сочетаниях коэффициентов $(A,B,C)$ иногда решение не находится. Как более правильно находить $(x_0,y_0,z_0)$ при помощи функции bnfisnorm?

Еще почему-то требуемое условие $(m,n)=1$ отсекает правильные решения, а без него они находятся.

Сейчас пример biquadratic(2*x^4-1) правильно находит решения [[1, 1], [13, 239]], но на biquadratic(2*x^4-7) вычисления сильно подвисают. Если раскоментарить принты

\\        print("Thue polynomial: "PT);
\\        print("RHS of Thue: ("g" * "lg" * "q"^2 / "p2") = "g*lg*q^2/p2);

то видно, что иногда Туе-полином получается невразумительно огромным. Видимо какие-то варианты надо исключить из рассмотрения, но не пойму какие.

Для всех вычислений в коде есть соответствующий комментированный принт, убирая коменты можно отследить в деталях работу алгоритма.

[maxal]

dmd в сообщении #1485003 писал(а):

Перебираю все возможные варианты такого преобразования, и всё равно при некоторых сочетаниях коэффициентов $(A,B,C)$ иногда решение не находится.

Например? Может, быть ненулевого решения просто нет (как, например, в случае $A,B,C>0$)?

dmd в сообщении #1485003 писал(а):

на biquadratic(2*x^4-7) вычисления сильно подвисают

У меня это решается за несколько секунд. Вот лог решения:

(лог решения)

? solvebiq(2,0,-7)
Solving: 56*X^2 + -28*Y^2 + -1*Z^2 = 0
Particular solution: [2, 1, 14]
Parametric solution: [112*x^2 - 56*x + 56, -56*x^2 + 224*x - 28, 784*x^2 - 392, 21952]

Solving: y^2 = (-4*x^2 + 2*x - 2)/(2*x^2 - 1)

g = 1  dg = 2
Solving: -1*X^2 + -7*Y^2 + -4*Z^2 = 0
WARNING: NO INITIAL SOLUTIONS -1
g = -1  dg = 2
Solving: -1*X^2 + -7*Y^2 + 4*Z^2 = 0
Particular solution: [1, 3, 4]
Parametric solution: [-x^2 - 42*x + 7, 3*x^2 - 2*x - 21, -4*x^2 - 28, 896]
Solving Thue: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -1 * q^2 * (1/p)^2
Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -3211264
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -802816
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -200704
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -65536
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -50176
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -16384
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -12544
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -4096
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -3136
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -1024
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -784
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -256
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -196
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -64
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -49
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -16
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -4
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -1
CASE 1: irreducible polynomial
[]

g = 2  dg = 1
Solving: -1*X^2 + -7*Y^2 + -8*Z^2 = 0
WARNING: NO INITIAL SOLUTIONS -1
g = -2  dg = 1
Solving: -1*X^2 + -7*Y^2 + 8*Z^2 = 0
Particular solution: [1, 1, 1]
Parametric solution: [-x^2 - 14*x + 7, x^2 - 2*x - 7, -x^2 - 7, 112]
Solving Thue: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -4 * q^2 * (2/p)^2
Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -50176
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -12544
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -3136
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -1024
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -784
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -256
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -196
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -64
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -49
CASE 1: irreducible polynomial
[[0, -1], [0, 1]]
2, 2, 
Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -16
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -4
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -1
CASE 1: irreducible polynomial
[[-1, 0], [1, 0]]
2, 2, 
g = 7  dg = 2
Solving: -1*X^2 + -7*Y^2 + -28*Z^2 = 0
WARNING: NO INITIAL SOLUTIONS -1
g = -7  dg = 2
Solving: -1*X^2 + -7*Y^2 + 28*Z^2 = 0
Particular solution: [0, 2, 1]
Parametric solution: [-28*x, 2*x^2 - 14, -x^2 - 7, 392]
Solving Thue: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -2 * q^2 * (7/p)^2
Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -1229312
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -307328
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -76832
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -25088
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -19208
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -6272
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -4802
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -1568
CASE 1: irreducible polynomial
[[-7, 1], [7, -1]]
2, 2, 
Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -512
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -392
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -128
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -98
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -32
CASE 1: irreducible polynomial
[[-1, -1], [1, 1]]
2, 2, 
Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -8
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -2
CASE 1: irreducible polynomial
[]

g = 14  dg = 1
Solving: -1*X^2 + -7*Y^2 + -56*Z^2 = 0
WARNING: NO INITIAL SOLUTIONS -1
g = -14  dg = 1
Solving: -1*X^2 + -7*Y^2 + 56*Z^2 = 0
Particular solution: [7, 1, 1]
Parametric solution: [-7*x^2 - 14*x + 49, x^2 - 14*x - 7, -x^2 - 7, 784]
Solving Thue: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -2 * q^2 * (14/p)^2
Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -1229312
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -307328
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -76832
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -25088
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -19208
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -6272
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -4802
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -1568
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -512
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -392
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -128
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -98
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -32
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -8
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -2
CASE 1: irreducible polynomial
[]

%31 = [2]