Числа Фибоначчи и треугольники Герона

[scwec]

Треугольник Герона - это треугольник с целыми длинами сторон и целой площадью $S$.
Последовательность чисел Фибоначчи обозначим $f_0,f_1,f_2,f_3,...$.
Докажите, что для любых шести последовательных чисел Фибоначчи $f_n,f_{n+1},f_{n+2},f_{n+3},f_{n+4},f_{n+5}$, $n>1$, найдется пара неравных треугольников Герона, имеющих одну и ту же площадь
$S=f_{n}\cdot{f_{n+1}}\cdot{f_{n+2}}\cdot{f_{n+3}}\cdot{f_{n+4}}\cdot{f_{n+5}}$.

[scwec]

В доказательстве используются два тождества для чисел Фибоначчи.
${f}^2_{n+1}+(-1)^{n+1}=f_{n}\cdot{f_{n+2}}$ и ${f}^2_{n+2}+(-1)^{n+1}=f_{n}\cdot{f_{n+4}}$, $n\ge{0}$
Они интересны и сами по себе.
Докажите их.

[maxal]

scwec в сообщении #564620 писал(а):

В доказательстве используются два тождества для чисел Фибоначчи.
${f}^2_{n+1}+(-1)^{n+1}=f_{n}\cdot{f_{n+2}}$ и ${f}^2_{n+2}+(-1)^{n+1}=f_{n}\cdot{f_{n+4}}$, $n\ge{0}$
Они интересны и сами по себе.
Докажите их.

Оба являются следствиями тождества Каталана.

[scwec]

Конечно, эти два тождества хорошо известны.
Теперь надо придумать геронов треугольник (используя в том числе и эти тождества) с искомой площадью $S=f_n\cdot{f_{n+1}}\cdot{f_{n+2}}\cdot{f_{n+3}}\cdot{f_{n+4}}\cdot{f_{n+5}}$.

[scwec]

Рассмотрим семейство героновых треугольников с длинами сторон $a=u^2+v^2,b=(uv)^2+1,c=(uv)^2+u^2-v^2-1$ и площадью $S=uv(u^2-1)(v^2+1)$, где $u\ge{2},v\ge{1}$ - целые числа.
Рассматриваются два случая, первый $n$ нечетное, второй $n$ четное.
Рассмотрим первый случай: $n$ - нечетное.
Положим $u=f_{n+4},v=f_{n+1}$. Тогда $S=f_{n+4}f_{n+1}({f^2}_{n+4}-1)({f^2}_{n+1}+1)$
Используя первое тождество для чисел Фибоначчи получаем, что $S=f_{n+4}f_{n+1}f_{n+3}f_{n+5}f_{n}f_{n+2}$
Один геронов треугольник получили.
Положим теперь $u=f_{n+3},v=f_{n+2}$. Тогда $S=f_{n+3}f_{n+2}({f^2}_{n+3}-1)({f^2}_{n+2}+1)$.
Используя второе тождество, получаем $S=f_{n+3}f_{n+2}f_{n+1}f_{n+5}f_{n}f_{n+4}$.
Теперь имеем пару героновых треугольников с искомой площадью.
Осталось показать, что они не равны.
Достаточно показать, что не равны самые короткие стороны в них. Т.е. ${f^2}_{n+1}+{f^2}_{n+4}\ne{f^2}_{n+2}+{f^2}_{n+3}$. Действительно, справедливо неравенство ${f^2}_{n+4}-{f^2}_{n+3}>{f^2}_{n+2}-{f^2}_{n+1}$ или
$(f_{n+4}-f_{n+3})(f_{n+4}+f_{n+3})>(f_{n+2}-f_{n+1})(f_{n+2}+f_{n+1})$ или
$f_{n+2}f_{n+5}>f_{n}f_{n+3}$. Последнее справедливо, поскольку $f_{n+2}>f_{n}$.
Случай нечетного $n$ разобран.
Доказательство для четного $n$ проводится аналогично. $u,v$, конечно, другие.

[scwec]

Ксати, о связи героновых треугольников и чисел Фибоначчи.
До сих пор открытой проблемой является следующая задача: существует ли геронов треугольник со сторонами, длины которых есть числа из последовательности Фибоначчи. Может быть, кого-то заинтересует.

[DjD USB]

Мы знаем что в последовательности Фибоначи $f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$,т.е какое-то конечное число из последовательности есть сумма двух стоящих перед ним чисел из этой же последовательности.А по неравенству треугольника нам нужно чтобы $f_n<f_{n-1}+f_{n-2}$.Поэтому таких треугольников нет.

[nnosipov]

DjD USB в сообщении #573680 писал(а):

Поэтому таких треугольников нет.

Длины сторон треугольника не обязаны быть соседними членами последовательности Фибоначчи.

[maxal]

nnosipov в сообщении #573686 писал(а):

Длины сторон треугольника не обязаны быть соседними членами последовательности Фибоначчи.

Не важно - сумма двух меньших сторон не может быть больше третьей стороны, если все они - числа Фибоначчи. Единственное возможное исключение: равнобедренные и равносторонние треугольники вида $(F_n,F_n,F_{n+1})$ и $(F_n,F_n,F_n)$.

[scwec]

Вообще, задача о нахождении всех героновых треугольников с длинами сторон, которые равны числам Фибоначчи, сводится к решению уравнения
$F_{n-2}(F_n+F_{n+2})=y^2$. И открытой проблемой является имено нахождение всех решений этого уравнения.
(Исправил предыдущую формулировку о содержании открытой проблемы)
Одно-то решение точно можно написать: $(5,5,8)$ и $S=12$.

[DjD USB]

nnosipov в сообщении #573686 писал(а):

DjD USB в сообщении #573680 писал(а):

Поэтому таких треугольников нет.

Длины сторон треугольника не обязаны быть соседними членами последовательности Фибоначчи.

Я извиняюсь,я взял случай когда стороны различны.В противном случае остаются равнобедренный и равносторонний треугольники.

[maxal]

scwec в сообщении #573740 писал(а):

Вообще, задача о нахождении всех героновых треугольников с длинами сторон, которые равны числам Фибоначчи, сводится к решению уравнения
$F_{n-2}(F_n+F_{n+2})=y^2$. И открытой проблемой является имено нахождение всех решений этого уравнения.

Нетрудно проверить, что $F_{n-2}(F_n+F_{n+2}) = F_{2n-1} - (-1)^n\cdot 2$. Поэтому задача сводится к решению уравнения $F_{2n-1} - (-1)^n\cdot 2=y^2$.

[maxal]

scwec, а не укажете ли источник по поводу того, что это открытая проблема?
Похоже, я это уравнение решил. Попозже постараюсь подробно расписать решение.

[scwec]

maxal, рад оказать Вам эту услугу.
В статье http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/AMI/2007/ami2007-tengely.pdf во введении есть ссылка на эту проблему.

[nnosipov]

maxal в сообщении #574022 писал(а):

Похоже, я это уравнение решил.

Свели к некоторому уравнению Туэ?