2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение25.06.2012, 10:03 
Заслуженный участник


17/09/10
1724
Батороев, повторю то, что уже фактически говорилось в этой теме в предыдущих сообщениях по этому поводу.
Легко написать общее решение уравнения $u^2+v^2-w^2=1\qquad(1)$ в рациональных числах. Оно зависит от двух рациональных параметров $t,k$.
Например, $u=t, v=\frac{t^2-1-k^2}{2k}, w=\frac{t^2-1+k^2}{2k}\qquad(2)$.
Если ограничиться целыми $t,k$, то круг решений $(1)$ сужается. Он содержит все целые решения и еще бесконечное множество рациональных.
Вопрос состоял в том, существуют ли такие формулы $u=u(t_1,t_2,...,t_n), v=v(t_1,t_2,...,t_n),w=w(t_1,t_2,...,t_n)$, чтобы при любом выборе параметров получалось целое решение $(1)$ и чтобы любое целое решение $(1)$ получалось бы некоторым выборов параметров. Причем область параметров заранее фиксируется (предполагалось, что это все целые числа).
Ваши соображения приводят к параметризации $(2)$, что не решает вопроса.

Сменю тему. Удивляюсь,что нет решения простой задачи о произведении четырех последовательных чисел Фибоначчи. Потому что простая? Каникулы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение25.06.2012, 19:19 


23/01/07
3201
Новосибирск
scwec в сообщении #588780 писал(а):
Батороев, повторю то, что уже фактически говорилось в этой теме в предыдущих сообщениях по этому поводу.
Легко написать общее решение уравнения $u^2+v^2-w^2=1\qquad(1)$ в рациональных числах. Оно зависит от двух рациональных параметров $t,k$.
Например, $u=t, v=\frac{t^2-1-k^2}{2k}, w=\frac{t^2-1+k^2}{2k}\qquad(2)$.
Если ограничиться целыми $t,k$, то круг решений $(1)$ сужается. Он содержит все целые решения и еще бесконечное множество рациональных.
Вопрос состоял в том, существуют ли такие формулы $u=u(t_1,t_2,...,t_n), v=v(t_1,t_2,...,t_n),w=w(t_1,t_2,...,t_n)$, чтобы при любом выборе параметров получалось целое решение $(1)$ и чтобы любое целое решение $(1)$ получалось бы некоторым выборов параметров. Причем область параметров заранее фиксируется (предполагалось, что это все целые числа).
Ваши соображения приводят к параметризации $(2)$, что не решает вопроса.

Все мои выкладки касались натуральных чисел.

Сожалею, что не просмотрел внимательно все сообщения темы и продублировал сообщение:
nnosipov в сообщении #579915 писал(а):
То есть, взяв произвольное целое $u$, разложим $u^2-1$ в произведение двух сомножителей одинаковой чётности, после чего по ним найдём $v$ и $w$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение27.06.2012, 09:13 


26/08/11
1721
scwec в сообщении #588780 писал(а):
Сменю тему. Удивляюсь,что нет решения простой задачи о произведении четырех последовательных чисел Фибоначчи. Потому что простая? Каникулы?
Не знаю, в теорию чисел не силен, попробую. Обозначим последовательных чисел Фибоначчи $x-y,y,x,x+y$. Надо доказать неразрешимость в натуральных $xy(x^2-y^2)=z^2$. x,y можно считать попарно простыми. Значит они не могут содержать простой множитель в нечетной степени, т.е x, y - квадраты. Получается уравнение $x^4-y^4=z^2$ очень похожее на Ферма. Доказательство неразрешимости я посмотрел по ссылке
http://planetmath.org/X4Y4z2HasNoSolutionsInPositiveIntegers.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение27.06.2012, 13:49 
Заслуженный участник


17/09/10
1724
Для полноты картины замечу, что конгруэнтность произведения $F_{n}F_{n+1}F_{n+2}F_{n+3}$ следует из того, что $F_{n+2}^2-F_{n+1}^2=F_n{F_{n+3}}$ и пифагоров треугольник $(F_{n}F_{n+3}, 2F_{n+1}F_{n+2}, F_{n+1}^2+F_{n+2}^2)$ имеет площадь $F_{n}F_{n+3}F_{n+1}F_{n+2}$.
Ну и невозможность быть квадратом следует из конгруэнтности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение05.06.2013, 03:58 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5334
maxal в сообщении #575454 писал(а):
maxal в сообщении #574315 писал(а):
К конечному числу таковых. Над сведением ломал голову целый день. Уравнения Туэ - это такой молоток, которым многие задачи можно раздолбать (например, конечноть чисел Фибоначчи вида $n^2+1$). Буду писать продолжение своей статьи на эту тему...

По существу я научился искать (спасибо Туэ) целые точки на биквадратных кривых вида:
$$ay^2 = bx^4 + cx^2 + d$$
Как я уже сказал, к таким кривым сводится поиск чисел Фибоначчи вида $p\cdot n^2 + q$ для фиксированных $p,q$. (в частности, упомянутое выше уравнение).

Ну вот прошёл какой-то год, я довел таки статью до читабельного вида:
http://arxiv.org/abs/1306.0883
Буду благодарен за замечания и комментарии!

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение05.06.2013, 14:01 
Заслуженный участник


17/09/10
1724
maxal, c Люнгреном получилось красиво. Как-то сразу убеждает в общем подходе. Теперь время внимательного прочтения.
Да, можно испробовать на $3x^4-2y^2=1$. У него ведь тоже два натуральных решения $(1,1), (3,11)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение31.05.2014, 03:50 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5334
maxal в сообщении #732799 писал(а):
Ну вот прошёл какой-то год, я довел таки статью до читабельного вида:
http://arxiv.org/abs/1306.0883

Прошёл ещё год - и статья опубликована:
M. A. Alekseyev and Sz. Tengely. "On Integral Points on Biquadratic Curves and Near-Multiples of Squares in Lucas Sequences", Journal of Integer Sequences 17(6) (2014), Article 14.6.6.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение03.06.2014, 19:37 


21/11/12
596
scwec в сообщении #575591 писал(а):
раз уж здесь встряло это уравнение $z^2-1=(x^2-1)(y^2-1)$ ...

... кое-что добавлю. Для произвольного целого аргумента $a$ некоторые решения уравнения $z^2-1=(a^2-1)(y^2-1)$ выражаются последовательностью дробей $\frac{z_n}{y_n}=\frac{1}{1};\frac{a^2+a-1}{a+1};...;\frac{z_{n+1}=2az_n-z_{n-1}}{y_{n+1}=2ay_n-y_{n-1}}$. Тут есть зависимость от делимости числа $a^2-2$. Если оно степень простого или удвоенная степень простого, то пара таких последовательностей $(\pm a)$, возможно, исчерпывают все решения. Утверждать не берусь, но в противном случае точно есть другие (вопрос двух первых членов). Для $a=11$, к примеру, имеем $11^2-2=7\cdot 17$ и последовательности

$\frac{-19}{2};\frac{31}{3};...;\frac{z_{n+1}=22z_n-z_{n-1}}{y_{n+1}=22y_n-y_{n-1}}$

$\frac{-31}{3};\frac{19}{2};...;\frac{z_{n+1}=22z_n-z_{n-1}}{y_{n+1}=22y_n-y_{n-1}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение04.06.2014, 09:08 
Заслуженный участник


17/09/10
1724
Andrey A в сообщении #871469 писал(а):
scwec в сообщении #575591 писал(а):
раз уж здесь встряло это уравнение ...

... кое-что добавлю.

Это уравнение рассматривалось здесь в теме http://dxdy.ru/topic45551.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение04.06.2014, 21:28 
Заблокирован


04/06/14

1
Не хотел на этом форуме формулы рисовать, но когда это уравнение увидел не удержался.
С того времени как меня от сюда выгнали я успел довольно много уравнений решить.

 !  Toucan:
Удалено


Ну пока всё. Думаю этого хватит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение04.06.2014, 23:01 
Аватара пользователя


29/04/13
3168
individ7 в сообщении #871884 писал(а):
С того времени как меня от сюда выгнали

Иными словами, Вы раньше писали под ником individa ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение05.06.2014, 06:27 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5698
 !  individ7 заблокирован как клон individa

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение05.06.2014, 16:51 
Заслуженный участник


17/09/10
1724
maxal в сообщении #732799 писал(а):
Буду благодарен за замечания и комментарии!

К примеру, уравнение $y^2=x^4+(4n^2-2)x^2+1$.
Надо сказать, что при разных натуральных $n$ уравнение имеет или не имеет целых или (рациональных) решений. И это есть задача Лича.
Даже интересно, когда есть целые решения.

-- Чт июн 05, 2014 17:53:14 --


 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group