2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение26.04.2012, 18:10 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Треугольник Герона - это треугольник с целыми длинами сторон и целой площадью $S$.
Последовательность чисел Фибоначчи обозначим $f_0,f_1,f_2,f_3,...$.
Докажите, что для любых шести последовательных чисел Фибоначчи $f_n,f_{n+1},f_{n+2},f_{n+3},f_{n+4},f_{n+5}$, $n>1$, найдется пара неравных треугольников Герона, имеющих одну и ту же площадь
$S=f_{n}\cdot{f_{n+1}}\cdot{f_{n+2}}\cdot{f_{n+3}}\cdot{f_{n+4}}\cdot{f_{n+5}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение27.04.2012, 18:25 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
В доказательстве используются два тождества для чисел Фибоначчи.
${f}^2_{n+1}+(-1)^{n+1}=f_{n}\cdot{f_{n+2}}$ и ${f}^2_{n+2}+(-1)^{n+1}=f_{n}\cdot{f_{n+4}}$, $n\ge{0}$
Они интересны и сами по себе.
Докажите их.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение30.04.2012, 02:22 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
scwec в сообщении #564620 писал(а):
В доказательстве используются два тождества для чисел Фибоначчи.
${f}^2_{n+1}+(-1)^{n+1}=f_{n}\cdot{f_{n+2}}$ и ${f}^2_{n+2}+(-1)^{n+1}=f_{n}\cdot{f_{n+4}}$, $n\ge{0}$
Они интересны и сами по себе.
Докажите их.

Оба являются следствиями тождества Каталана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение30.04.2012, 12:19 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Конечно, эти два тождества хорошо известны.
Теперь надо придумать геронов треугольник (используя в том числе и эти тождества) с искомой площадью $S=f_n\cdot{f_{n+1}}\cdot{f_{n+2}}\cdot{f_{n+3}}\cdot{f_{n+4}}\cdot{f_{n+5}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение10.05.2012, 17:06 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Рассмотрим семейство героновых треугольников с длинами сторон $a=u^2+v^2,b=(uv)^2+1,c=(uv)^2+u^2-v^2-1$ и площадью $S=uv(u^2-1)(v^2+1)$, где $u\ge{2},v\ge{1}$ - целые числа.
Рассматриваются два случая, первый $n$ нечетное, второй $n$ четное.
Рассмотрим первый случай: $n$ - нечетное.
Положим $u=f_{n+4},v=f_{n+1}$. Тогда $S=f_{n+4}f_{n+1}({f^2}_{n+4}-1)({f^2}_{n+1}+1)$
Используя первое тождество для чисел Фибоначчи получаем, что $S=f_{n+4}f_{n+1}f_{n+3}f_{n+5}f_{n}f_{n+2}$
Один геронов треугольник получили.
Положим теперь $u=f_{n+3},v=f_{n+2}$. Тогда $S=f_{n+3}f_{n+2}({f^2}_{n+3}-1)({f^2}_{n+2}+1)$.
Используя второе тождество, получаем $S=f_{n+3}f_{n+2}f_{n+1}f_{n+5}f_{n}f_{n+4}$.
Теперь имеем пару героновых треугольников с искомой площадью.
Осталось показать, что они не равны.
Достаточно показать, что не равны самые короткие стороны в них. Т.е. ${f^2}_{n+1}+{f^2}_{n+4}\ne{f^2}_{n+2}+{f^2}_{n+3}$. Действительно, справедливо неравенство ${f^2}_{n+4}-{f^2}_{n+3}>{f^2}_{n+2}-{f^2}_{n+1}$ или
$(f_{n+4}-f_{n+3})(f_{n+4}+f_{n+3})>(f_{n+2}-f_{n+1})(f_{n+2}+f_{n+1})$ или
$f_{n+2}f_{n+5}>f_{n}f_{n+3}$. Последнее справедливо, поскольку $f_{n+2}>f_{n}$.
Случай нечетного $n$ разобран.
Доказательство для четного $n$ проводится аналогично. $u,v$, конечно, другие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение18.05.2012, 13:46 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Ксати, о связи героновых треугольников и чисел Фибоначчи.
До сих пор открытой проблемой является следующая задача: существует ли геронов треугольник со сторонами, длины которых есть числа из последовательности Фибоначчи. Может быть, кого-то заинтересует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение20.05.2012, 14:07 


16/03/11
844
No comments
Мы знаем что в последовательности Фибоначи $f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$,т.е какое-то конечное число из последовательности есть сумма двух стоящих перед ним чисел из этой же последовательности.А по неравенству треугольника нам нужно чтобы $f_n<f_{n-1}+f_{n-2}$.Поэтому таких треугольников нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение20.05.2012, 14:31 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
DjD USB в сообщении #573680 писал(а):
Поэтому таких треугольников нет.
Длины сторон треугольника не обязаны быть соседними членами последовательности Фибоначчи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение20.05.2012, 14:40 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
nnosipov в сообщении #573686 писал(а):
Длины сторон треугольника не обязаны быть соседними членами последовательности Фибоначчи.

Не важно - сумма двух меньших сторон не может быть больше третьей стороны, если все они - числа Фибоначчи. Единственное возможное исключение: равнобедренные и равносторонние треугольники вида $(F_n,F_n,F_{n+1})$ и $(F_n,F_n,F_n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение20.05.2012, 17:07 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Вообще, задача о нахождении всех героновых треугольников с длинами сторон, которые равны числам Фибоначчи, сводится к решению уравнения
$F_{n-2}(F_n+F_{n+2})=y^2$. И открытой проблемой является имено нахождение всех решений этого уравнения.
(Исправил предыдущую формулировку о содержании открытой проблемы)
Одно-то решение точно можно написать: $(5,5,8)$ и $S=12$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение21.05.2012, 08:47 


16/03/11
844
No comments
nnosipov в сообщении #573686 писал(а):
DjD USB в сообщении #573680 писал(а):
Поэтому таких треугольников нет.
Длины сторон треугольника не обязаны быть соседними членами последовательности Фибоначчи.

Я извиняюсь,я взял случай когда стороны различны.В противном случае остаются равнобедренный и равносторонний треугольники.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение21.05.2012, 09:40 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
scwec в сообщении #573740 писал(а):
Вообще, задача о нахождении всех героновых треугольников с длинами сторон, которые равны числам Фибоначчи, сводится к решению уравнения
$F_{n-2}(F_n+F_{n+2})=y^2$. И открытой проблемой является имено нахождение всех решений этого уравнения.

Нетрудно проверить, что $F_{n-2}(F_n+F_{n+2}) = F_{2n-1} - (-1)^n\cdot 2$. Поэтому задача сводится к решению уравнения $F_{2n-1} - (-1)^n\cdot 2=y^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение21.05.2012, 11:24 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
scwec, а не укажете ли источник по поводу того, что это открытая проблема?
Похоже, я это уравнение решил. Попозже постараюсь подробно расписать решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение21.05.2012, 15:56 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
maxal, рад оказать Вам эту услугу.
В статье http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/AMI/2007/ami2007-tengely.pdf во введении есть ссылка на эту проблему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение21.05.2012, 16:56 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
maxal в сообщении #574022 писал(а):
Похоже, я это уравнение решил.
Свели к некоторому уравнению Туэ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 66 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group