2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение25.06.2012, 10:03 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Батороев, повторю то, что уже фактически говорилось в этой теме в предыдущих сообщениях по этому поводу.
Легко написать общее решение уравнения $u^2+v^2-w^2=1\qquad(1)$ в рациональных числах. Оно зависит от двух рациональных параметров $t,k$.
Например, $u=t, v=\frac{t^2-1-k^2}{2k}, w=\frac{t^2-1+k^2}{2k}\qquad(2)$.
Если ограничиться целыми $t,k$, то круг решений $(1)$ сужается. Он содержит все целые решения и еще бесконечное множество рациональных.
Вопрос состоял в том, существуют ли такие формулы $u=u(t_1,t_2,...,t_n), v=v(t_1,t_2,...,t_n),w=w(t_1,t_2,...,t_n)$, чтобы при любом выборе параметров получалось целое решение $(1)$ и чтобы любое целое решение $(1)$ получалось бы некоторым выборов параметров. Причем область параметров заранее фиксируется (предполагалось, что это все целые числа).
Ваши соображения приводят к параметризации $(2)$, что не решает вопроса.

Сменю тему. Удивляюсь,что нет решения простой задачи о произведении четырех последовательных чисел Фибоначчи. Потому что простая? Каникулы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение25.06.2012, 19:19 


23/01/07
3415
Новосибирск
scwec в сообщении #588780 писал(а):
Батороев, повторю то, что уже фактически говорилось в этой теме в предыдущих сообщениях по этому поводу.
Легко написать общее решение уравнения $u^2+v^2-w^2=1\qquad(1)$ в рациональных числах. Оно зависит от двух рациональных параметров $t,k$.
Например, $u=t, v=\frac{t^2-1-k^2}{2k}, w=\frac{t^2-1+k^2}{2k}\qquad(2)$.
Если ограничиться целыми $t,k$, то круг решений $(1)$ сужается. Он содержит все целые решения и еще бесконечное множество рациональных.
Вопрос состоял в том, существуют ли такие формулы $u=u(t_1,t_2,...,t_n), v=v(t_1,t_2,...,t_n),w=w(t_1,t_2,...,t_n)$, чтобы при любом выборе параметров получалось целое решение $(1)$ и чтобы любое целое решение $(1)$ получалось бы некоторым выборов параметров. Причем область параметров заранее фиксируется (предполагалось, что это все целые числа).
Ваши соображения приводят к параметризации $(2)$, что не решает вопроса.

Все мои выкладки касались натуральных чисел.

Сожалею, что не просмотрел внимательно все сообщения темы и продублировал сообщение:
nnosipov в сообщении #579915 писал(а):
То есть, взяв произвольное целое $u$, разложим $u^2-1$ в произведение двух сомножителей одинаковой чётности, после чего по ним найдём $v$ и $w$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение27.06.2012, 09:13 


26/08/11
2057
scwec в сообщении #588780 писал(а):
Сменю тему. Удивляюсь,что нет решения простой задачи о произведении четырех последовательных чисел Фибоначчи. Потому что простая? Каникулы?
Не знаю, в теорию чисел не силен, попробую. Обозначим последовательных чисел Фибоначчи $x-y,y,x,x+y$. Надо доказать неразрешимость в натуральных $xy(x^2-y^2)=z^2$. x,y можно считать попарно простыми. Значит они не могут содержать простой множитель в нечетной степени, т.е x, y - квадраты. Получается уравнение $x^4-y^4=z^2$ очень похожее на Ферма. Доказательство неразрешимости я посмотрел по ссылке
http://planetmath.org/X4Y4z2HasNoSolutionsInPositiveIntegers.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение27.06.2012, 13:49 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Для полноты картины замечу, что конгруэнтность произведения $F_{n}F_{n+1}F_{n+2}F_{n+3}$ следует из того, что $F_{n+2}^2-F_{n+1}^2=F_n{F_{n+3}}$ и пифагоров треугольник $(F_{n}F_{n+3}, 2F_{n+1}F_{n+2}, F_{n+1}^2+F_{n+2}^2)$ имеет площадь $F_{n}F_{n+3}F_{n+1}F_{n+2}$.
Ну и невозможность быть квадратом следует из конгруэнтности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение05.06.2013, 03:58 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
maxal в сообщении #575454 писал(а):
maxal в сообщении #574315 писал(а):
К конечному числу таковых. Над сведением ломал голову целый день. Уравнения Туэ - это такой молоток, которым многие задачи можно раздолбать (например, конечноть чисел Фибоначчи вида $n^2+1$). Буду писать продолжение своей статьи на эту тему...

По существу я научился искать (спасибо Туэ) целые точки на биквадратных кривых вида:
$$ay^2 = bx^4 + cx^2 + d$$
Как я уже сказал, к таким кривым сводится поиск чисел Фибоначчи вида $p\cdot n^2 + q$ для фиксированных $p,q$. (в частности, упомянутое выше уравнение).

Ну вот прошёл какой-то год, я довел таки статью до читабельного вида:
http://arxiv.org/abs/1306.0883
Буду благодарен за замечания и комментарии!

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение05.06.2013, 14:01 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
maxal, c Люнгреном получилось красиво. Как-то сразу убеждает в общем подходе. Теперь время внимательного прочтения.
Да, можно испробовать на $3x^4-2y^2=1$. У него ведь тоже два натуральных решения $(1,1), (3,11)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение31.05.2014, 03:50 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
maxal в сообщении #732799 писал(а):
Ну вот прошёл какой-то год, я довел таки статью до читабельного вида:
http://arxiv.org/abs/1306.0883

Прошёл ещё год - и статья опубликована:
M. A. Alekseyev and Sz. Tengely. "On Integral Points on Biquadratic Curves and Near-Multiples of Squares in Lucas Sequences", Journal of Integer Sequences 17(6) (2014), Article 14.6.6.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение03.06.2014, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #575591 писал(а):
раз уж здесь встряло это уравнение $z^2-1=(x^2-1)(y^2-1)$ ...

... кое-что добавлю. Для произвольного целого аргумента $a$ некоторые решения уравнения $z^2-1=(a^2-1)(y^2-1)$ выражаются последовательностью дробей $\frac{z_n}{y_n}=\frac{1}{1};\frac{a^2+a-1}{a+1};...;\frac{z_{n+1}=2az_n-z_{n-1}}{y_{n+1}=2ay_n-y_{n-1}}$. Тут есть зависимость от делимости числа $a^2-2$. Если оно степень простого или удвоенная степень простого, то пара таких последовательностей $(\pm a)$, возможно, исчерпывают все решения. Утверждать не берусь, но в противном случае точно есть другие (вопрос двух первых членов). Для $a=11$, к примеру, имеем $11^2-2=7\cdot 17$ и последовательности

$\frac{-19}{2};\frac{31}{3};...;\frac{z_{n+1}=22z_n-z_{n-1}}{y_{n+1}=22y_n-y_{n-1}}$

$\frac{-31}{3};\frac{19}{2};...;\frac{z_{n+1}=22z_n-z_{n-1}}{y_{n+1}=22y_n-y_{n-1}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение04.06.2014, 09:08 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Andrey A в сообщении #871469 писал(а):
scwec в сообщении #575591 писал(а):
раз уж здесь встряло это уравнение ...

... кое-что добавлю.

Это уравнение рассматривалось здесь в теме http://dxdy.ru/topic45551.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение04.06.2014, 21:28 
Заблокирован


04/06/14

1
Не хотел на этом форуме формулы рисовать, но когда это уравнение увидел не удержался.
С того времени как меня от сюда выгнали я успел довольно много уравнений решить.

 !  Toucan:
Удалено


Ну пока всё. Думаю этого хватит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение04.06.2014, 23:01 
Аватара пользователя


29/04/13
7126
Богородский
individ7 в сообщении #871884 писал(а):
С того времени как меня от сюда выгнали

Иными словами, Вы раньше писали под ником individa ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение05.06.2014, 06:27 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 !  individ7 заблокирован как клон individa

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение05.06.2014, 16:51 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
maxal в сообщении #732799 писал(а):
Буду благодарен за замечания и комментарии!

К примеру, уравнение $y^2=x^4+(4n^2-2)x^2+1$.
Надо сказать, что при разных натуральных $n$ уравнение имеет или не имеет целых или (рациональных) решений. И это есть задача Лича.
Даже интересно, когда есть целые решения.

-- Чт июн 05, 2014 17:53:14 --


 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение28.09.2020, 09:57 


16/08/05
1146
Если кому будет интересно, предлагаю поучаствовать в шлифовке gp-кода решателя биквадратных уравнений по алгоритму из статьи maxal.

(pari/gp код)

Код:
partsol(A,B,C)=
{
my(N, no, xo, yo, zo, k0, k1, l, S= []);

N= iferr(bnfisnorm(bnfinit('x^2 + A*B, 1), -A*C), Err, 0);
if(N, if(abs(N[2])==1,
  no= lift(N[1]);
  k0= polcoef(no, 0); k1= polcoef(no, 1);
  if(k0 & k1,
   xo= k0/A; yo= k1; zo= 1;
   l= lcm(denominator(xo), denominator(yo));
   xo= abs(l*xo); yo= abs(l*yo); zo= abs(l*zo);
   if(A*xo^2+B*yo^2+C*zo^2==0, S= concat(S, [[xo,yo,zo]]))
  )
));

N= iferr(bnfisnorm(bnfinit('x^2 + A*C, 1), -A*B), Err, 0);
if(N, if(abs(N[2])==1,
  no= lift(N[1]);
  k0= polcoef(no, 0); k1= polcoef(no, 1);
  if(k0 & k1,
   xo= k0/A; yo=1; zo= k1;
   l= lcm(denominator(xo), denominator(zo));
   xo= abs(l*xo); yo= abs(l*yo); zo= abs(l*zo);
   if(A*xo^2+B*yo^2+C*zo^2==0, S= concat(S, [[xo,yo,zo]]))
  )
));

N= iferr(bnfisnorm(bnfinit('x^2 + B*C, 1), -B*A), Err, 0);
if(N, if(abs(N[2])==1,
  no= lift(N[1]);
  k0= polcoef(no, 0); k1= polcoef(no, 1);
  if(k0 & k1,
   yo= yo/B; xo= 1; zo= k1;
   l= lcm(denominator(zo), denominator(yo));
   xo= abs(l*xo); yo= abs(l*yo); zo= abs(l*zo);
   if(A*xo^2+B*yo^2+C*zo^2==0, S= concat(S, [[xo,yo,zo]]))
  )
));

N= iferr(bnfisnorm(bnfinit('x^2 + B*A, 1), -B*C), Err, 0);
if(N, if(abs(N[2])==1,
  no= lift(N[1]);
  k0= polcoef(no, 0); k1= polcoef(no, 1);
  if(k0 & k1,
   yo= yo/B; zo= 1; xo= k1;
   l= lcm(denominator(xo), denominator(yo));
   xo= abs(l*xo); yo= abs(l*yo); zo= abs(l*zo);
   if(A*xo^2+B*yo^2+C*zo^2==0, S= concat(S, [[xo,yo,zo]]))
  )
));

N= iferr(bnfisnorm(bnfinit('x^2 + C*B, 1), -C*A), Err, 0);
if(N, if(abs(N[2])==1,
  no= lift(N[1]);
  k0= polcoef(no, 0); k1= polcoef(no, 1);
  if(k0 & k1,
   zo= zo/C; yo= k1; xo= 1;
   l= lcm(denominator(zo), denominator(yo));
   xo= abs(l*xo); yo= abs(l*yo); zo= abs(l*zo);
   if(A*xo^2+B*yo^2+C*zo^2==0, S= concat(S, [[xo,yo,zo]]))
  )
));

N= iferr(bnfisnorm(bnfinit('x^2 + C*A, 1), -C*B), Err, 0);
if(N, if(abs(N[2])==1,
  no= lift(N[1]);
  k0= polcoef(no, 0); k1= polcoef(no, 1);
  if(k0 & k1,
   zo= zo/C; yo= 1; xo= k1;
   l= lcm(denominator(xo), denominator(zo));
   xo= abs(l*xo); yo= abs(l*yo); zo= abs(l*zo);
   if(A*xo^2+B*yo^2+C*zo^2==0, S= concat(S, [[xo,yo,zo]]))
  )
));

return(S)
};




biquadratic(P)=
{
SX= Set();
a= polcoef(P, 4); b= polcoef(P, 2); c= polcoef(P, 0);
k3= polcoef(P, 3); k1= polcoef(P, 1);

if(k3||k1, print("Polynomial is not biquadratic, exit."); return());

if(b^2-4*a*c==0, print("Discriminant("P") = 0, exit."); return());

A= b^2-4*a*c; B= 4*c; C= -1;

\\ print("(A,B,C) = ("A", "B", "C")");

S1= partsol(A,B,C);

\\ print(S1);

for(i1=1, #S1,
  xo= S1[i1][1]; yo= S1[i1][2]; zo= S1[i1][3];

  Q= abs(2*lcm(A,B)*C*zo);

\\  print("Q = "Q);

  Q= divisors(Q);

  Px= xo*A*m^2 + 2*yo*B*m*n - xo*B*n^2;
  Py= -yo*A*m^2 + 2*xo*A*m*n + yo*B*n^2;
  Pz= zo*A*m^2 + zo*B*n^2;

\\  print("Px = "Px"\nPy = "Py"\nPz = "Pz);

  E= 2*c*Px/(Pz - b*Px);

  T= subst(E, n, 1); P1= numerator(T); P2= denominator(T);

\\  print("P1 = "P1"\nP2 = "P2);

  a1= polcoef(P1, 2); b1= polcoef(P1, 1); c1= polcoef(P1, 0);

  if(b1^2-4*a1*c1==0, print("Discriminant("P1") = 0, exit."); break());

  a2= polcoef(P2, 2); b2= polcoef(P2, 1); c2= polcoef(P2, 0);

  T= [a1, 0, a2, 0; b1, a1, b2, a2; c1, b1, c2, b2; 0, c1, 0, c2];

  T1= matsolve(T, [1, 0, 0, 0]~); T2= matsolve(T, [0, 0, 0, 1]~);

  G= 1;
  for(i=1, #T1, G= lcm(G, denominator(T1)));
  for(i=1, #T2, G= lcm(G, denominator(T2)));

\\  print("G = "G);

  if(b1==0,
   r= a1; s= c1; t= G
   ,
   if(c1!=0,
    s= 1/4/c1; r= (4*a1*c1-b1^2)*s;
    Q1= x; Q2= b1*x+2*c1*y;
    g2= gcd(polcoef(Q2, 1, x), polcoef(Q2, 1, y)); g1= 1;
    Q2= Q2/g2; s= s*g2^2;
   );
   if(a1!=0,
    r= 1/4/a1; s= (4*a1*c1-b1^2)*r;
    Q1= 2*a1*x+b1*y; Q2= y;
    g1= gcd(polcoef(Q1, 1, x), polcoef(Q1, 1, y)); g2= 1;
    Q1= Q1/g1; r= r*g1^2;
   );
   if(a1==0 & c1==0, r= s= b1/4; Q1= x+y; Q2= x-y);
  );

  g12= lcm(denominator(r), denominator(s));

  r= r*g12; s= s*g12; Q3= z;

  D= divisors(G);

  for(j=1, #D,

   d= D[j];

   if(issquarefree(d),

    forstep(signg=-1, 1, 2,

     g= signg*d;

\\     print("g = "g);

     t= g*g12;

     if(r<0 & s<0, r= -r; s= -s; t= -t);

\\     print("(r,s,t) = ("r", "s", "t")");
\\     print("(Q1,Q2) = ("Q1", "Q2")");
\\     print("Equation (6): "r" * ("Q1")^2 + "s" * ("Q2")^2 + "t" * ("Q3")^2 = 0");

     S2= partsol(r,s,t);

\\     print(S1);

     for(i2=1, #S2,
      ro= S2[i2][1]; so= S2[i2][2]; to= S2[i2][3];


      Qx= ro*r*m^2 + 2*so*s*m*n - ro*s*n^2;
      Qy= -so*r*m^2 + 2*ro*r*m*n + so*s*n^2;
      Qz= to*r*m^2 + to*s*n^2;

\\      print("Qx = "Qx"\nQy = "Qy"\nQz = "Qz);

      if(Q1=='x, Y= (Qy - polcoef(Q2, 1, 'y)*Qx)/polcoef(Q2, 1, 'x); X= Qx);
      if(Q2=='y, X= (Qx - polcoef(Q1, 1, 'y)*Qy)/polcoef(Q1, 1, 'x); Y= Qy);

\\      print("(X,Y) = ("X", "Y")");

      PT= 1*(polcoef(P2, 2)*X^2 + polcoef(P2, 1)*X*Y + polcoef(P2, 0)*Y^2);

      S= subst(PT, n, 1);

      lg= lcm(denominator(polcoef(S, 4)), denominator(polcoef(S, 3)));
      lg= lcm(denominator(polcoef(S, 2)), lg);
      lg= lcm(denominator(polcoef(S, 1)), lg);
      lg= lcm(denominator(polcoef(S, 0)), lg);

\\      print("lg = "lg);

      PT= lg*PT;

\\      print("Thue polynomial: "PT);

      Glg= divisors(g*lg);

      for(k=1, #Q,

       q= Q[k];

       for(v=1, #Glg,

        p2= Glg[v];

        if(gcd(q,p2)==1 & issquare(p2),

\\        print("Thue polynomial: "PT);
\\        print("RHS of Thue: ("g" * "lg" * "q"^2 / "p2") = "g*lg*q^2/p2);

         Th= thue(subst(PT, n, 1);, g*lg*q^2/p2);

\\         print("Solutions Thue equation:\n"Th);

         MN= apply(V -> [subst(subst(X,m,V[1]),n,V[2]), subst(subst(Y,m,V[1]),n,V[2])], Th);

         \\MN= select(V -> gcd(V[1],V[2])==1, MN);

\\         print("(m,n) = \n"MN);

         X2= apply(V -> [subst(subst(E,m,V[1]),n,V[2])], MN);

         for(i=1, #X2, SX= setunion(SX, [X2[i][1]]));

\\         print(SX);

        )
       )
      )
     )
    )
   )
  )
);

XY= [];
for(i=1, #SX,
  if(issquare(SX[i]),
   xi= sqrtint(SX[i]); y2= a*xi^4+b*xi^2+c;
   if(issquare(y2),
    yi= sqrtint(y2); XY= concat(XY, [[xi,yi]])
   )
  )
);

\\ print("Solutions of "P" = y^2:\n"XY);

return(XY)

};

Пока у меня такие возникли проблемы.

Частное нетривиальное решение уравнения $Ax_0^2+By_0^2+Cz_0^2=0$ получаю так: приравниваю например $z_0=1$, преобразую к уравнению $(Ax_0)^2+ABy_0^2=-AC$ и решаю его при помощи bnfisnorm. Перебираю все возможные варианты такого преобразования, и всё равно при некоторых сочетаниях коэффициентов $(A,B,C)$ иногда решение не находится. Как более правильно находить $(x_0,y_0,z_0)$ при помощи функции bnfisnorm?

Еще почему-то требуемое условие $(m,n)=1$ отсекает правильные решения, а без него они находятся.

Сейчас пример biquadratic(2*x^4-1) правильно находит решения [[1, 1], [13, 239]], но на biquadratic(2*x^4-7) вычисления сильно подвисают. Если раскоментарить принты
Код:
\\        print("Thue polynomial: "PT);
\\        print("RHS of Thue: ("g" * "lg" * "q"^2 / "p2") = "g*lg*q^2/p2);
то видно, что иногда Туе-полином получается невразумительно огромным. Видимо какие-то варианты надо исключить из рассмотрения, но не пойму какие.

Для всех вычислений в коде есть соответствующий комментированный принт, убирая коменты можно отследить в деталях работу алгоритма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа Фибоначчи и треугольники Герона
Сообщение29.09.2020, 00:45 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
dmd в сообщении #1485003 писал(а):
Перебираю все возможные варианты такого преобразования, и всё равно при некоторых сочетаниях коэффициентов $(A,B,C)$ иногда решение не находится.
Например? Может, быть ненулевого решения просто нет (как, например, в случае $A,B,C>0$)?
dmd в сообщении #1485003 писал(а):
на biquadratic(2*x^4-7) вычисления сильно подвисают
У меня это решается за несколько секунд. Вот лог решения:

(лог решения)

Код:
? solvebiq(2,0,-7)
Solving: 56*X^2 + -28*Y^2 + -1*Z^2 = 0
Particular solution: [2, 1, 14]
Parametric solution: [112*x^2 - 56*x + 56, -56*x^2 + 224*x - 28, 784*x^2 - 392, 21952]

Solving: y^2 = (-4*x^2 + 2*x - 2)/(2*x^2 - 1)

g = 1  dg = 2
Solving: -1*X^2 + -7*Y^2 + -4*Z^2 = 0
WARNING: NO INITIAL SOLUTIONS -1
g = -1  dg = 2
Solving: -1*X^2 + -7*Y^2 + 4*Z^2 = 0
Particular solution: [1, 3, 4]
Parametric solution: [-x^2 - 42*x + 7, 3*x^2 - 2*x - 21, -4*x^2 - 28, 896]
Solving Thue: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -1 * q^2 * (1/p)^2
Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -3211264
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -802816
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -200704
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -65536
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -50176
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -16384
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -12544
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -4096
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -3136
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -1024
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -784
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -256
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -196
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -64
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -49
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -16
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -4
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -7*x^4 + 52*x^3 + 294*x^2 - 364*x - 343 = -1
CASE 1: irreducible polynomial
[]

g = 2  dg = 1
Solving: -1*X^2 + -7*Y^2 + -8*Z^2 = 0
WARNING: NO INITIAL SOLUTIONS -1
g = -2  dg = 1
Solving: -1*X^2 + -7*Y^2 + 8*Z^2 = 0
Particular solution: [1, 1, 1]
Parametric solution: [-x^2 - 14*x + 7, x^2 - 2*x - 7, -x^2 - 7, 112]
Solving Thue: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -4 * q^2 * (2/p)^2
Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -50176
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -12544
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -3136
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -1024
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -784
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -256
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -196
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -64
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -49
CASE 1: irreducible polynomial
[[0, -1], [0, 1]]
2, 2,
Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -16
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -4
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 20*x^3 + 42*x^2 - 140*x - 49 = -1
CASE 1: irreducible polynomial
[[-1, 0], [1, 0]]
2, 2,
g = 7  dg = 2
Solving: -1*X^2 + -7*Y^2 + -28*Z^2 = 0
WARNING: NO INITIAL SOLUTIONS -1
g = -7  dg = 2
Solving: -1*X^2 + -7*Y^2 + 28*Z^2 = 0
Particular solution: [0, 2, 1]
Parametric solution: [-28*x, 2*x^2 - 14, -x^2 - 7, 392]
Solving Thue: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -2 * q^2 * (7/p)^2
Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -1229312
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -307328
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -76832
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -25088
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -19208
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -6272
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -4802
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -1568
CASE 1: irreducible polynomial
[[-7, 1], [7, -1]]
2, 2,
Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -512
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -392
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -128
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -98
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -32
CASE 1: irreducible polynomial
[[-1, -1], [1, 1]]
2, 2,
Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -8
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: -x^4 + 4*x^3 + 42*x^2 - 28*x - 49 = -2
CASE 1: irreducible polynomial
[]

g = 14  dg = 1
Solving: -1*X^2 + -7*Y^2 + -56*Z^2 = 0
WARNING: NO INITIAL SOLUTIONS -1
g = -14  dg = 1
Solving: -1*X^2 + -7*Y^2 + 56*Z^2 = 0
Particular solution: [7, 1, 1]
Parametric solution: [-7*x^2 - 14*x + 49, x^2 - 14*x - 7, -x^2 - 7, 784]
Solving Thue: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -2 * q^2 * (14/p)^2
Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -1229312
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -307328
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -76832
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -25088
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -19208
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -6272
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -4802
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -1568
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -512
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -392
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -128
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -98
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -32
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -8
CASE 1: irreducible polynomial
[]

Solving 4-deg eq: x^4 + 4*x^3 - 42*x^2 - 28*x + 49 = -2
CASE 1: irreducible polynomial
[]

%31 = [2]

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 66 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group