об уравнении Навье-Стокса

[Munin]

Red_Herring в сообщении #831967 писал(а):

Точнее не формулировка задачи, а правила.

Да, я не уточнил, не формулировка задачи, а формулировка условий присуждения приза.

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #831967 писал(а):

Однако я не думаю, что SAB пойдет на это.

Скорей, пойдёт, чтобы "сохранить лицо" перед сообществом (= чтобы не обесценить обещание миллиона за остальные проблемы). Тем более что на Перельмане они один миллион уже сэкономили :-)

Red_Herring в сообщении #831967 писал(а):

Я подозреваю, что неконструктивное определение такого класса (т.е. класс есть, но проверить, принадлежит ли к нему данное конкретное решение, невозможно) --не безумно сложная проблема, но все претенденты на 1,000,000 с подобным "решением" имеют лучшие шансы в лото.

Ну почему, даже при неконструктивном определении можно, скажем, обнаружить, что данный класс имеет меру нуль или дополнение к нему - меру нуль, что будет информативно в "практическом" смысле. Или что не имеют места оба эти случая.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #831996 писал(а):

Red_Herring в сообщении #831967 писал(а):

Однако я не думаю, что SAB пойдет на это.

Скорей, пойдёт, чтобы "сохранить лицо" перед сообществом (= чтобы не обесценить обещание миллиона за остальные проблемы). Тем более что на Перельмане они один миллион уже сэкономили

Red_Herring в сообщении #831967 писал(а):

Я подозреваю, что неконструктивное определение такого класса (т.е. класс есть, но проверить, принадлежит ли к нему данное конкретное решение, невозможно) --не безумно сложная проблема, но все претенденты на 1,000,000 с подобным "решением" имеют лучшие шансы в лото.

Ну почему, даже при неконструктивном определении можно, скажем, обнаружить, что данный класс имеет меру нуль или дополнение к нему - меру нуль, что будет информативно в "практическом" смысле. Или что не имеют места оба эти случая.

Есть вполне конкретный вопрос: всегда ли существует ли глобальное гладкое решение или нет. Без ответа на этот вопрос рассматривать какие-либо другие решения не очень логично. Хотя, м.б. схема рассуждений может быть такой: сначала установим в классе $\mathfrak{W}$, а потом покажем, что эти решения гладкие. Но тогда это--промежуточный шаг.

А что касается неконструктивного определения, то пусть дано док-во в классе $\mathfrak{W}$. Тогда ему дают решение и спрашиваю: принадлежит оно этому классу или нет... А автор: "Не знаю". Я б за это миллион не дал...

[g______d]

Red_Herring в сообщении #832048 писал(а):

Хотя, м.б. схема рассуждений может быть такой: сначала установим в классе $\mathfrak{W}$, а потом покажем, что эти решения гладкие.

Собственно, такой подход к PDE в середине 20 века принес огромное количество результатов, не без участия Ладыженской и Уральцевой.

Хотя если существование в широком классе уже есть, то можно ради шутки с помощью аксиомы выбора "построить" класс, в котором решение единственно, поэтому понятно, что такую постановку тоже надо уточнять.

Не совсем по этой теме: я наткнулся на хороший курс лекций по УНС, может быть, будет интересно кому-то.

https://www.maths.ox.ac.uk/system/files ... _12_01.pdf

[Red_Herring]

g______d в сообщении #832087 писал(а):

Red_Herring в сообщении #832048 писал(а):

Хотя, м.б. схема рассуждений может быть такой: сначала установим в классе $\mathfrak{W}$, а потом покажем, что эти решения гладкие.

Собственно, такой подход к PDE в середине 20 века принес огромное количество результатов, не без участия Ладыженской и Уральцевой.

Разумеется. Но с точки зрения премии теорема существования и единственности в таком классе--промежуточный результат. И если верить чутью Тао, который явно хочет доказать разрушение, шансов на успех этого подхода мало. Конечно, после того как разрушение доказано (и миллион получен) поиск хорошего класса с существованием и единственностью приобретает актуальность.

Цитата:

Хотя если существование в широком классе уже есть, то можно ради шутки с помощью аксиомы выбора "построить" класс, в котором решение единственно, поэтому понятно, что такую постановку тоже надо уточнять.

Я думал о чем то менее экзотическом (маразменном).

[vicvolf]

Red_Herring в сообщении #831967 писал(а):

Логически сначала показать, что глобального гладкого решения может при каких-то начальных данных не существовать,

Т.е. решить призовую задачу в постановках B или D.

Цитата:

а лишь потом расширять класс "допустимых" решений, сохраняя единственность.

На добровольных началах без получения приза, так как это не является постановкой института Клея.

-- 02.03.2014, 22:53 --

Red_Herring в сообщении #832094 писал(а):

Конечно, после того как разрушение доказано (и миллион получен) поиск хорошего класса с существованием и единственностью приобретает актуальность.

Здесь возникает проблема нахождения класса, который не может быть дальше расширен и доказательство этого. Тогда проблема будет окончательно побеждена. Я бы именно за это дал приз.

[Red_Herring]

Red_Herring в сообщении #830683 писал(а):

Тао вернулся к НС, обсуждает как можно доказать несуществование через у-е Эйлера
http://terrytao.wordpress.com/2014/02/25/conserved-quantities-for-the-euler-equations/

Tao on this track:

http://terrytao.wordpress.com/2014/03/02/noethers-theorem-and-the-conservation-laws-for-the-euler-equations/

[sup]

Наверное, вопрос о непериодическом давлении в УНС изрядно надоел уважаемой публике. Тем не менее я рискну высказать некие дополнительные соображения в пользу правомочности соответствующей постановки задачи. (Не то, чтобы мое мнение обладает каким-то особым весом, но, как мне кажется, его просили озвучить более конкретно.)
Сначала пара цитат.

Oleg Zubelevich в сообщении #827610 писал(а):

Вот и все. Они тут сами себе институт Клэя.

Oleg Zubelevich в сообщении #828504 писал(а):

Я ни разу не слышал, что бы в сообществе специалистов по Навье-Стоксу были на сей счет разночтения. Степень дальности от этого сообщества некоторых корифеев местного значения стала очевидной. Хорошая пилюля для форума в целом получилась. Полезная.

Мне кажется, что в данном случае смешиваются в одну кучу следующие вопросы. Далее я не оговариваю, что речь идет о "так называемых периодических" решениях. Кавычки - поскольку есть всякие разногласия насчет того, что за этими словами скрывается.
1. УНС в постановке института Клэя. Есть сомнения, включает эта постановка требование периодичности давления или нет?
2. Постановка УНС, общепринятая в "сообществе специалистов по НС".
3. Абстрактная постановка УНС.
4. Постановка УНС, максимально согласованная с физикой процесса (по возможности).
Ну так давайте разберем эти вопросы и поставим наконец точку во всех этих разговорах.

1. УНС в постановке института Клэя. Ответ мы знаем благодаря Oleg Zubelevich. Да, периодичность предполагается. Отмечу, однако, что Фефферман не обозвал вопрошающего идиотом, поскольку де даже младенцу известен ответ на этот вопрос.
Ну и какие выводы мы должны сделать? По мне так ничего особенного:
В постановке института Клэя периодичность давления молчаливо предполагается.
Ну и что? Это их полное право. И ничему не противоречит.
Во-первых. Это, если угодно, конкурс. И устроители вправе заявлять какие угодно требования. Адекватные, разумеется, отвечающие современным представлениям о проблеме. Тем не менее, это их выбор, а не истина в последней инстанции.
Во-вторых. В "официальной" постановке этого требования как не было, так и нет. А Фефферман не был слишком многословен. То ли это "досадная оплошность" в формулировке, то ли НАМЕРЕННЫЙ ход, позволяющий при случае рассмотреть и другие решения. Не забудем, что совет может принимать решение в зависимости от разных обстоятельств ...
Понятно, что в случае "косяка" никому не хочется это афишировать, но ведь проблема всплыла довольно давно. Могли бы уже и официально обозначиться. А вот нет. Почему-то не хотят. Я, лично, склонен считать, что Фефферману были бы интересны ЛЮБЫЕ СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЕ решения. Об этом я скажу немного позже. Может поэтому требования периодичности он и не включил в постановку. А сейчас у него возомжно только одно желание - отвяжитесь вы от меня со своей периодичностью ( будь проклят тот день когда я сел за баранку этого пылесоса $\copyright$)

2. Постановка УНС, общепринятая в "сообществе специалистов по НС".
Я не слыхал, что существует тайный орден специалистов по НС. Многие уважаемые математики отметились в области УНС. Поскольку я НЕ являюсь специалистом по УНС и не вхожу в этот орден, то и не могу судить насколько отрицательно они относятся к идее непериодического давления. Готов допустить, что в таком сообществе основной упор делается именно на периодическое давление. Но сомневаюсь, что непериодический случай они безусловно вычеркивают как ОЧЕВИДНУЮ ГЛУПОСТЬ. Достоверно не знаю ... Но сомневаюсь.
Полагаю, что это такой "мейнстрим". Ясно, что периодичность давления наиболее естественное условие и решения с непериодическим давлением вызывают изрядное подозрение (всякие финские фокусы тому пример). Вполне правдоподобно, что если есть гладкое решение, то есть и решение с периодическим давлением. Очень правдоподобно. Но даже и в этом случае вопрос о существовании других решений не совсем теряет свою актуальность. И уж тем более в условиях отсутствия надежной информации о поведении решений мы попросту рискуем с водой выплеснуть ребенка. Только лишь потому, что не удосужились взглянуть чуть дальше своего носа.

3. Абстрактная постановка УНС.
Oleg Zubelevich постоянно ссылается на Темама, по-видимому считая его изложение точкой зрения "сообщества специалистов по НС".
Темам сказал то, Темам написал это ... Я ни в коем случае не подвергаю сомнению компетентность этого математика и уж тем более не стану соревноваться в понимании УНС, но все равно рискну спросить. А это что, священное писание что ли?
Абстрактная постановка - это как раз то место, где можно рассматривать ЛЮБЫЕ умозрительные способы постановки УНС.
Если за основу взять вариационный принцип, то действительно получатся условия периодичности давления. И действительно это выглядит весьма естественно. Не буду спорить, такое определение кажется наиболее естественным и "интересным". Совершенно не случайно именно с ним имеет дело Темам. С этим никто и не спорит. Но ведь можно определить решение и иным образом. Почему мы выбираем один способ и без всякого серьезного анализа выбрасываем другой? Ниже я покажу один из возможных "разумных" вариантов определения решения. В нем периодичность давления совершенно не очевидна.
А какие критерии мы должны использовать при выборе "правильной" постановки? Ответ более или менее известен. В первую очередь надо исходить из физики того процесса, который мы моделируем. А если такой физики нет или ее применение затруднительно? В этом случае нет и жесткого критерия.
Я скажу возможно "крамольную" вещь, но математики могут позволить себе роскошь изучать задачи и не соответствующие физике. Кто запретит? Только вот какая мотивация. И кому нужны такие задачи. Но это совершенно другой вопрос.
Как бы то ни было. Минимальное требование - корректность задачи - существование и единственность решения в неком классе.
Начнем с того, что Темам пишет, что периодическая задача для НС нефизична. Значит ссылаться на физику не получится. Как насчет существования и единственности? Единственность гладкого решения есть. Существование гладкого и единственность негладкого - неизвестно. Какие у нас основания для того, чтобы выбросить из рассмотрения решения с непериодическим давлением? Кто рискнет заявить, что здесь ничего ценного нет и не будет?
Ну да, "легализация" непериодического давления моментально приводит к серьезным трудностям - тут же потеряли единственность. И что? Катастрофа? Очень неприятно, но, думаю, не катастрофа. Благо у нас есть замечательный пример - разрывные решения гиперболических уравнений. Там тоже нет единственности. Там тоже есть очевидные "правильные" и "неправильные" решения. И что с того? Усилия математиков как раз и были направлены на поиски критерия: как отделить агнцев от козлищ? И эти усилия велись в двух направлениях: условия в терминах самого решения (какие у него должны быть свойства) и определение решения как предела решений с вязкостью. Совершенно неочевидно, что при этом будет получен один и тот же класс решений. С квазилинейными уравнениями вроде бы разобрались. Существует корректное определение разрывного решения исключительно во внутренних терминах. Но оно оперирует интегральными неравенствами, а не тождествами. Кто может гарантировать, что подобные сюрпризы исключены для обобщенных решений УНС? Наверное шансы весьма невелики, но мы говорим не о шансах, а о возможных корректных постановках. Так и слышу. "Да кому это все нужно". "Да это все чушь собачья". "Один дурак может задать такой вопрос ..."
Ну да. Не все что приходит в голову стоит немедленно объявлять ценностью. Но ведь в данном случае действительно мало что известно. Когда я говорил о том, что Фефферману, возможно, были бы интересны любые содержательные решения, я имел в виду следующее. Мы все прекрасно понимаем, что от того, что есть гладкие решения или нет ничего в этом мире не изменится. Нужна не гладкость сама по себе, а идеи. Новые содержательные идеи. И если хоть кто-нибудь предложит действительно нетривиальные идеи, которые позволят конструировать нетривиальные решения (пусть даже и с непериодическим давлением), такие работы будут безусловно заслуживать самого пристального внимания. А если окажется, что это "не фокусы" - то всяческого признания и уважения.

4. Постановка УНС, максимально согласованная с физикой процесса (по возможности).
Вот Темам про периодическую задачу для УНС пишет, что она нефизична, а про задачу во всем пространстве - нет (Впрочем, это еще ничего не значит. Может я просто не заметил). Почему? Вот, например, высказывание физика

Munin писал(а):

Как раз строгая периодичность физике противна. Впрочем, и задача в безграничном пространстве - тоже.

Тем не менее, все понимают, что как модель, задача во всем пространстве вполне разумна. Да и решения можно получать "соответствующие". Ну в самом деле. Один из подходов к решению задач в бесконечных областях заключается в том, чтобы решить задачу в "большом", но конечном объеме, затем увеличивать этот объем и, наконец, перейти к пределу. Что мешает нам систематически применять этот прием для УНС? В этом случае задача во всем пространстве моделирует движение жидкости в "большом" объеме, где влиянием краев мы "пренебрегаем". Можно ли это делать - вопрос. Насколько адвекватна такая модель - другой вопрос. Но в сущности, об этом речь и идет.
Ну так давайте и в периодическом случае это сделаем. В большом объеме заданы "периодические" начальные данные и внешняя сила. Кавычки - потому, что на краю имеются условия прилипания и "настоящая" периодичность не получится. Ну и ладно, пусть так. Но "в основном" все выглядит периодическим. Как и раньше решаем и переходим к пределу. Если предел существует и периодический, то он объявляется периодическим решением. Что можно сказать насчет периодичности давления? Да так сразу ничего не видно. Надо разбираться.
Ну и объясните мне, чем этот подход хуже вариационного? Он не хуже ... Скорее всего ОН ТРУДНЕЕ! Так может поэтому "вся прогрессивная общественность считает давление периодическим, и только отдельные маргиналы ..."

Ну и, наконец, один пример из жизни.
Давным давно, мне довелось получить один результатик для уравнения вида $u_{tt} - \frac{\partial} {\partial x} F(u_x) = 0$. Речь шла о разрывных решениях задачи Коши. Задача о распаде произвольного разрыва более или менее изучена. Там есть "хоршие парни" - так называемые энтропийные решения (помимо условий Гюгонио еще кое-что). Они соответствуют ударным волнам и волнам разряжения, ну все как надо. А есть "плохие". Их, конечно, никто "не любит". Ну так вот. В одном из частных случаев мне удалось построить приближенное решение, составленное из кусочков "плохих" решений, а затем перейти к пределу. Тут поднялся галдеж и лай крик.
- Так делать нельзя. Это неправильное решение. Оно не будет чего-то-там.
- А как можно?
- А вот ... схема Глимма.
- Ну так там тоже кусочки, склейка, предельный переход ... Кто знает, что там в конце-концов получается? Никто же не знает в общем случае.
- Да, не знаем. Но Глимму можно, а так как ты - нельзя.
Ну просто смех Кончилось это дело ничем. Я за этот результат не держался. Результат весьма частный, обобщение не просматривалось, шансов на то, что это "правильное" решение не было никаких.
Но дело не в этом. Вот предъявят нам такое решение УНС. Причем не будет ясно, периодично там давление или нет. Что будем делать? Проще всего заклеймить автора маргиналом, а решение чушью. А может все же не быть столь категоричным? На мой взгляд дело не в периодичности давления, дело в тех идеях, которые позволили такое решение получить. Если идеи интересные, и решение не из разряда фокусов - тем более интересно. Хотя бы уже: что это за зверь такой?

Вот по этой самой причине я бы и не стал столь категорично выбрасывать из рассмотрения все возможные определения. А не потому, что плохо читал Темама или не уважаю Феффермана.

[Red_Herring]

sup в сообщении #840266 писал(а):

Наверное, вопрос о непериодическом давлении в УНС изрядно надоел уважаемой публике. Тем не менее я рискну высказать некие дополнительные соображения в пользу правомочности соответствующей постановки задачи. (Не то, чтобы мое мнение обладает каким-то особым весом, но, как мне кажется, его просили озвучить более конкретно.)

1. УНС в постановке института Клэя. Есть сомнения, включает эта постановка требование периодичности давления или нет?

В первоначальной постановке этого условия не было. В новой версии была присобачена 6ая страница, которую никто не замечает (т.к. на стр. 5 еще очень много пустого места)
http://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf
и которая содержит условие периодичности и пару исправлений.

Это уже обсуждалось:
http://dxdy.ru/post828460.html#p828460

Хотя это и закрывает вопрос о том, что хочет ин-т Клэя и что имел в виду Ч.Фефферман (Ничего он в виду не имел, просто ошибся. При том что Ч.Фефферман замечательный математик, он не специалист в УНС.) , это отнюдь не подрывает остальных рассуждений sup поскольку постановка конкурсной задачи (причем в варианте уже неизвестного автора :)) также не священное писание и математики исследующие УНС отнюдь не связаны официальным описанием и, кроме всего прочего, на основании предыдущего опыта мы не можем исключить ни того, что пресловутая 6ая страница будет заменена, ни того, что появится 7ая страница (я проверил, пока этого не произошло).

[Oleg Zubelevich]

боюсь, что заявления о том, что что-то там не является священной коровой, это еще не мотивировка актуальности задачи, ни в физическом ни в математическом смысле

[Red_Herring]

Тоже хочет приз:

А.А.Frempong в комментарииhttp://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/why-global-regularity-for-navier-stokes-is-hard/ писал(а):

In 2014, the Navier-Stokes equations have been solved analytically in 3-D and 4-D by A. A. Frempong. (at viXra.org). Also solved in the same paper are the magnetohydrodynamic system of equations.

Поиск выдает http://viXra.org/abs/1405.0251. viXra это arXiv прочитанный справа налево. Сама статья прочитанная справа налево отнюдь не менее осмысленна (т.е. не более бессмысленна), чем прочитанная слева направо

-- 29.05.2014, 18:11 --

Да, кстати, этот самый A.A.Frempong является исключительно плодовитым автором
http://www.amazon.com/A.-A.-Frempong/e/B00J7EZUOG/ref=ntt_dp_epwbk_0

[Munin]

Red_Herring в сообщении #869458 писал(а):

viXra это arXiv прочитанный справа налево.

Это известное среди "психов" местечко, где можно "опубликовать" то, что не прошло на arXiv. То есть, всяческую шизятину.

[Red_Herring]

На блоге Тао появился комментарий:

Anonymous в сообщении http://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/why-global-regularity-for-navier-stokes-is-hard#comment-372541 писал(а):

The numerics is not a simple black-and-white matter. NOT all numerical computations have been able to indicate the enstrophy production (see overhead presentation by J.D. Gibbon Levico Terme 2012?). Kerr’s singularities are self-similar. Chae (http://arxiv.org/abs/math/0601661) showed a general result: there exist no self-similar singularities for the 3D incompressible Euler equations. Luo and Hou’s findings (arXiv:1310.0497v2) have been disproved by Chae and Tsai (arXiv:1402.4560v1).

In fact, if the initial data has finite energy (eg smooth data with compact support in R3), Euler’ solutions do not become singular in finite time. To the contrary, should the initial data contain infinite energy or a singular point itself, it is meaningless to investigate finite-time singularities.

Хотелось бы услышать мнение специалистов

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #876019 писал(а):

Euler’ solutions do not become singular in finite time

а что означает эта фраза? на любом конечном промежутке времени или на достаточно малом?

[Munin]

Я так понял, что на любом конечном. Но видимо, здесь Эйлер отличается от Навье-Стокса, поскольку всё это совершенно расходится с объяснениями Тао по NS.

[Oleg Zubelevich]

Я слышал, что с трехмерным уравнением Эйлера вопрос существования глобальных регулярных решений тоже open problem