Операторы рождения/уничтожения

[Alex-Yu]

manul91 в сообщении #858057 писал(а):

Еще "хвилософский" вопрос.. А что вообще должен описывать этот монстр, какую систему?
Любую?

В принципе всю Вселенную. Но обычно мы работаем лишь с некоторым подпространством этого полного монстра. Например, нас могут интересовать только электроны. И тогда нам наплевать на те части монстра, где кроме электронов есть что-то еще. Но при этом нужно следить, чтобы наши операторы (прежде всего гамильтониан, задающий динамику) не переводили вектора нашего подпространства за пределы этого подпространства. Иначе получится нонсенс, называемый нарушением унитарности: частицы станут исчезать в никуда (на самом деле в выкинутую часть монстра, но она же выкинутая, ее как бы нет) и возникать ниоткуда.

В частности, если (и только если!) гамильтониан сохраняет число частиц, то мы вполне можем работать в подпространстве состояний с фиксированным числом частиц (причем заданного, фиксированного типа частиц). Например, в подпространстве одночастичных состояний, как в совсем "наивной" квантовой механике. Ну или в подпространстве N (и только N) электронов, что любят квантовые химики. Правда тогда, строго говоря, мы не имеем права работать с операторами рождения/уничтожения, меняющими число частиц. Вот в этом и только в этом случае мы можем "замести под ковер" базисные орты и работать лишь с коэффициентами (волновыми функциями). Несложно вывести формулы, что будет с коэффициентами при каждой "изначальной" операции с векторами в этом случае .

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #858048 писал(а):

Да, векторы в гильбертовом пространстве. Но не в гильбертовом пространстве ФУНКЦИЙ!

А какая разница, если все гильбертовы пространства изоморфны? (Одной мощности, но в физике это так.)

[Alex-Yu]

manul91 в сообщении #858049 писал(а):

А как (и можно ли) экспериментально приготовить состояние, в котором суперпозиция от одной частицы и одного миллиона частиц (но все промежуточные и остальные числа частиц - нули)?
Как это будет проявляться в жизни? Несколько странно выглядит.

Ну именно такое состояние, суперпозицию одной частицы и миллиона, приготовить можно вряд ли. Во всяком случае крайне трудно и никто пока не придумал как. Кроме того, если частицы массивные, то разные компоненты такого состояния будет очень быстро осциллировать друг относительно друга (энергия покоя!). В любом реальном эксперименте эти осцилляции усреднятся в ноль и мы не сможем отличить такую когерентную суперпозицию от некогерентной, чисто статистической смеси: с такой-то вероятностью -- одна, а с такой-то вероятностью --- миллион частиц.

-- Пт май 02, 2014 13:57:33 --

Munin в сообщении #858066 писал(а):

А какая разница, если все гильбертовы пространства изоморфны?

Ну мало ли что чему изоморфно... Состояния протонов изоморфны состояниям электронов. Но электроны --- не то же самое, что протоны Особенно важно различать, если могут быть и/или протоны и/или электроны в одной и той же системе.

[Munin]

manul91 в сообщении #858049 писал(а):

А если число частиц одинаковое, но это разные типы частиц - у нас имеется несколько типов частиц которые могут появляться в разных комбинаций (т.е. опять же "яблони и груши" в некотором смысле) - я правильно предполагаю, что скалярное произведение таких равно-частичных суммарно, но разнотипно-частичных функций состояния - опять равно нулю, и их нельзя перемножать - а они только добавляют "дополнительных этажей" (да и ведь двухчастичные состояния частиц разного типа, и так будут существовать далее в разложении)?

Да. Получается не "одномерная башня" этажей, а "2-мерная сетка", или даже "$n$-мерная". То есть, пространство Фока будет образовано не подпространствами "вакуум", "1 электрон", "2 электрона"..., а подпространствами "вакуум", "1 электрон", "2 электрона"..., "1 протон", "1 протон и 1 электрон"..., "2 протона"... ..."1 нейтрино"... - во всех всевозможных комбинациях.

На языке полей, мы раньше имели дело с одним полем (электрон-позитронным, например), а потом берём систему полей. Лагранжиан такой системы образуется из суммы лагранжианов отдельных полей: $\mathcal{L}=\mathcal{L}_A+\mathcal{L}_B.$ И наконец, самое сложное и интересное (чему и посвящена, собственно, сама КТП как теория) - это взаимодействие разных полей. Тогда в лагранжиане появляются ещё и члены взаимодействия: $\mathcal{L}=\mathcal{L}_A+\mathcal{L}_B+\mathcal{L}_{AB}.$

manul91 в сообщении #858049 писал(а):

Вопрос для разминки....
А как (и можно ли) экспериментально приготовить состояние, в котором суперпозиция от одной частицы и одного миллиона частиц (но все промежуточные и остальные числа частиц - нули)?
Как это будет проявляться в жизни? Несколько странно выглядит.

Что-то я навскидку не соображу, предоставлю Alex-Yu ответить :-)

Такие вещи, в принципе, можно сделать как-то по механизму эксперимента с "кошкой Шрёдингера". То есть, мы берём квантовую суперпозицию "спин вверх" и "спин вниз" для какой-то частицы, и запускаем её в такую физическую систему, которая, как пистолет со взведённым курком, на "спин вверх" выдаёт миллион новых частиц. А на "спин вниз" - ничего.

manul91 в сообщении #858057 писал(а):

Еще "хвилософский" вопрос.. А что вообще должен описывать этот монстр, какую систему?
Любую?
Ведь там должны быть многочастичные члены с количества частиц больше частиц в наблюдаемой вселенной...
Надо полагать, некие реалистичные ограничения на коеффициентов, придут далее при учета гамильтонианов....

Этот "МОНСТР" описывает некоторое квантовое поле (иначе говорят, квантованное поле). А поле - это такая часть физической реальности, которая везде в пространстве.

Всю нашу Вселенную можно представить себе как набор конечного числа полей. Очень небольшого - несколько штук, пара десятков максимум.

В начале 20 века думали, что есть отдельно частицы, а есть отдельно поля. Для частиц - механика, для полей - теория поля, типа электродинамики. Но потом, уже в первой половине 20 века, открыли, что частицы - это тоже проявления полей. И вообще всё на свете - это проявления квантовых полей. Обычные частицы - это обычно проявления ферми-полей. А обычные взаимодействия - это обычно проявления бозе-полей. По крайней мере, так любят говорить в популярной литературе. Но на самом деле, здесь нет однозначного соответствия, и на квантовом уровне оба типа полей ведут себя очень похоже, и могут описывать и частицы (вещество), и взаимодействия.

manul91 в сообщении #858057 писал(а):

Надо полагать, некие реалистичные ограничения на коеффициентов, придут далее при учета гамильтонианов....

Есть такое ограничение: создание новой частицы "стоит" энергию. Для каждой частицы - $mc^2.$ Эта энергия называется порогом рождения. То есть, если у нас есть какое-то количество энергии, то его может хватить для 2 электроно-позитронов, для 4, а для 6 уже может не хватить. Но это касается только "реальных" частиц, а не "виртуальных", а эти вопросы мы хотели отложить на попозже :-)

Кроме того, есть на свете безмассовые частицы, и их можно создавать в любых количествах (просто на них будет приходиться очень мало энергии). Например, таковы фотоны.

-- 02.05.2014 11:29:48 --

Ещё небольшой нюанс "как принято".

В обычной квантовой механике принято рассматривать в качестве основной функции, задающей динамику системы, гамильтониан. И в физике конденсированного состояния (в физике твёрдого тела, например) - тоже. Хотя идеологически она очень близка к КТП.

А вот в КТП, особенно в физике элементарных частиц, иначе: принято рассматривать в основном лагранжиан. То есть, понятно, что одно другому соответствует, но просто так принято. Лагранжиан "приятнее" в том смысле, что он явно лоренц-инвариантен.

[warlock66613]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #858073 писал(а):

Кроме того, есть на свете безмассовые частицы, и их можно создавать в любых количествах (просто на них будет приходиться очень мало энергии).

manul91, пожалуй, лучше не обращайте внимания на нижеследующую реплику, а то опять запутаетесь.
Да уж, иногда даже в бесконечном количестве, так что даже пространства Фока (и вообще сепарабельного гильбертова пространства) недостаточно оказывается.

[Munin]

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #858096 писал(а):

Да уж, иногда даже в бесконечном количестве, так что даже пространства Фока (и вообще сепарабельного гильбертова пространства) недостаточно оказывается.

Дайте ссылку на матчасть.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #858073 писал(а):

В начале 20 века думали, что есть отдельно частицы, а есть отдельно поля. Для частиц - механика, для полей - теория поля, типа электродинамики. Но потом, уже в первой половине 20 века, открыли, что частицы - это тоже проявления полей. И вообще всё на свете - это проявления квантовых полей.

Я бы сказал несколько иначе. Обнаружили, что квантовая механика произвольного числа частиц и квантовая теория поля --- это просто одно и то же. Можно начать с частиц, потом перейти к произвольному (в т.ч. переменному) числу частиц. Фактически ввести пространство Фока и все построить именно в нем и с помощью операторов рождения/уничтожения. Получится нечто1. Можно начать с полей и построить квантовую теорию поля. Получится нечто2. Так вот оказывается, что нечто1 тождественно нечто2. В ЭТОМ СМЫСЛЕ действительно "всё на свете - это проявления квантовых полей". Во всяком случае так можно думать. Но с точно таким же успехом можно думать, что все на свете --- это проявление частиц, число которых может меняться. Просто нет разницы, это одно и то же! Впрочем, "полевая" точка зрения несколько удобнее, в определенном смысле она проще.

-- Пт май 02, 2014 16:28:00 --

Munin в сообщении #858073 писал(а):

Всю нашу Вселенную можно представить себе как набор конечного числа полей. Очень небольшого - несколько штук, пара десятков максимум.

Даже меньше, если учесть (обобщенную) изотопическую инвариантность. Например нейтрино и электрон оказываются разными компонентами ОДНОГО И ТОГО ЖЕ поля. В определенном смысле разницы не больше, чем между $E_z$ и $E_x$ для электрического поля. Но там есть "хитрости" связанные со спонтанным нарушением симметрии. Электрон все же не похож на нейтрино. Ну дык в одноосном кристалле свойства ЭМ волн, поляризованных по $x$ тоже отличаются от свойств ЭМ волн, поляризованных по $z$. В кристалле нарушена вращательная симметрия. А в случае электрона/нейтрино нарушена симметрия уже без всякого кристалла, в вакууме. Сам вакуум "перекошен на один бок" (но в дополнительном, изотопическом пространстве, не имеющем никакого отношения к обычному геометрическом пространству). Правда чтобы такое можно было устроить, нужно чтобы вакуум был вырожден: ему должен соответствовать не один орт (как в простом случае, рассматриваемом выше) а целое подпространство разных вакуумов.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #858120 писал(а):

Я бы сказал несколько иначе. Обнаружили, что квантовая механика произвольного числа частиц и квантовая теория поля --- это просто одно и то же.

Ну, в общем, обнаружили и одно, и другое, и ещё несколько разных фактов, всё сводящих к одному: КТП - самая фундаментальная теория. Правда, так было до изобретения теории струн, но струны всё-таки остаются пока неподтверждённой конструкцией.

Alex-Yu в сообщении #858120 писал(а):

В ЭТОМ СМЫСЛЕ действительно "всё на свете - это проявления квантовых полей". Во всяком случае так можно думать. Но с точно таким же успехом можно думать, что все на свете --- это проявление частиц, число которых может меняться. Просто нет разницы, это одно и то же! Впрочем, "полевая" точка зрения несколько удобнее, в определенном смысле она проще.

Я имею в виду более простую штуку: это самое нечто1 = нечто2 попросту общепринято называется квантовым полем, и всё. Я не подразумеваю и не навязываю, как об этом стоит думать. Здесь я приверженец точки зрения Фейнмана, который говорил, что "у физика должно быть в запасе несколько способов думать об одном и том же реальном явлении". Понимая их математическую эквивалентность, но по-разному отзывающихся в физической интуиции.

Alex-Yu в сообщении #858120 писал(а):

Даже меньше, если учесть (обобщенную) изотопическую инвариантность. Например нейтрино и электрон оказываются разными компонентами ОДНОГО И ТОГО ЖЕ поля.

Ну, говорить, что нечто - компоненты одного поля, или несколько полей, связанных симметриями, на некотором уровне - чисто словесное отличие.

[Nirowulf]

Alex-Yu в сообщении #858048 писал(а):

Да, векторы в гильбертовом пространстве. Но не в гильбертовом пространстве ФУНКЦИЙ!

А ещё можно вспомнить, что на самом деле в проективном гильбертовом пространстве.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #858041 писал(а):

А с SUSями как быть?

Вопрос был вроде мне адресован, да?=)

При беглом взгляде

$$F(H)\equiv F_+ (H)\bigotimes F_- (H)$$

вполне подходит. Базисные векторы имеют вид

$$(a_n^+)^{k_n}\cdots (a_1^+)^{k_1}(b_l^+)^{m_l}\cdots (b_1^+)^{m_1}|0\rangle.$$

$$ k_1, ..., k_n=0, 1 \quad m_1, ..., m_l=0,1,2, ... $$

[warlock66613]

(Munin)

Munin в сообщении #858108 писал(а):

Дайте ссылку на матчасть.

Речь про конденсацию голдстоуновских бозонов и унитарно неэквивалентные представления. По идее про это можно прочитать много где, и боюсь мне сложно будет дать наилучшее место, но посмотрите, пожалуйста, Умэдзава, Мацумото, Татики "Термополевая динамика и конденсированные состояния", параграф 2.1 "Представление чисел заполнения; оператор рождения и уничтожения" и далее до 2.4 включительно.

[manul91]

Вопрос:

Всегда ли можно "эффективно" представить оператор рождения новой частицы (если ограничимся до координатном представлении), как математическое умножение ф-ю состояния "уже существующих" частиц, на некоторую функцию состояния новой частицы? (примеры приведенные до сих пор с дельта-функциями, очевидно обобщаются через линейной суперпозиции на "добавление" новой частицы, чтобы добавить новую частицу в любой функцией состояния).

Аналогично, для оператора уничтожения:
Всегда ли можно "эффективно" представить оператор уничтожения существующей частицы (если ограничимся до координатном представлении), как математическое умножение ф-ю состояния "уже существующих" частиц, на некоторую функцию состояния соответно одной из "уже существующих частиц" (той, которой "убираем")?
Напр. из примера приведенного Munin выше (вроде) следует, что оператор уничтожения $\hat{a}_{\mathbf{u}}$ для убирания частицу 1 (чьи координаты обозначены $\mathbf{r_1}$) в точке $\mathbf{u}$, можно представить математически как умножение на функцию определенной как $\psi(\mathbf{r_1})=\frac{1}{\delta(\mathbf{r_1}-\mathbf{u})}$ в точке $\mathbf{u}$, и равной нулю во всех других точек.
(аналогично, это вроде также можно обобщить на любое убирание путем оператора уничтожения дефинированного как взвешенно-линейную сумму/интеграла, из таких координатно-базисных операторов)

Или, есть ситуации добавления/уничтожения, которые эффективно не представимы в таком виде?

Также я хочу составить себе программу для попытки освоения КТП еще раз.
Чтобы вправить мозги на правильном пути (и освежить забытое про "наивной"-"нерелятивисткой" КМ), сначала: "Принципы КМ" Дирака, попробую Киселева... Еще что рекомендуется в этом направлении?
Потом - что порекомендуете как введение в КТП?
Как начало, хотелось бы чтобы:
- изложение было не слишком концентрированным-алгебрическим-абстрактным (и например, если столкнусь с чем-то непонятным - чтобы было понятно какие именно подразумевающиеся знания нужно нарасти, чтобы после того опять вернуться к проблемном месте)
- чтобы были также задачки/вопросы (вкл.элементарные, а не сразу сложные) на которыми можно оттестировать-закрепить материал

[Munin]

manul91 в сообщении #858692 писал(а):

Всегда ли можно "эффективно" представить оператор рождения новой частицы (если ограничимся до координатном представлении), как математическое умножение ф-ю состояния "уже существующих" частиц, на некоторую функцию состояния новой частицы?

Нет. См., например, оператор рождения фермиона или бозона.

Но этот оператор рождения - всегда будет линейным оператором, и его всегда можно будет как-то внятно и однозначно описать.

-- 04.05.2014 00:13:11 --

По части книг - это не введения в КТП, а более простые книги, но рекомендую посмотреть:
Фейнман. Квантовая электродинамика (не путать с популярной книжкой).
Хелзен, Мартин. Кварки и лептоны.

И совсем "обзорная с птичьего полёта"
Окунь. Физика элементарных частиц.

[Alex-Yu]

manul91 в сообщении #858692 писал(а):

Всегда ли можно "эффективно" представить оператор рождения новой частицы (если ограничимся до координатном представлении), как математическое умножение ф-ю состояния "уже существующих" частиц, на некоторую функцию состояния новой частицы? (примеры приведенные до сих пор с дельта-функциями, очевидно обобщаются через линейной суперпозиции на "добавление" новой частицы, чтобы добавить новую частицу в любой функцией состояния).

В принципе все операторы действуют на базисные векторы, а не на функции. При правильной полной записи функции можно просто "протаскивать" через операторы. Это же просто коэффициенты, а операторы линейны. Дальше легко просто посчитать. Пусть есть оператор рождения частицы в точке $r$: $a^+(r)$ (обычно такой "координатный" оператор рождения все же обозначают как $\psi^+(r)$). Он действует так:

$$ a^+(r)|r'\rangle=\sqrt{2}|r,r'\rangle $$

Ну и аналогичным образом на другие базисные векторы. $\sqrt{2}$ это $\sqrt{N+1}$ "сопровождающий" действие оператора рождения.

Но далее обычно нужно учесть, что

$$ |r,r'\rangle=|r',r\rangle $$

для бозонов и с другим знаком для фермионов. Поэтому коэффициенты (волновые функции) автоматически симметризуются (антисимметризуются). Несимметризованная часть волновой функции просто выпадает при свертке этой функции с базисными векторами.

Вот и все, что нужно знать, дальше считается "в лоб".

А вообще в практических вычислениях обычно действуют несколько иначе. Во-первых все состояния представляют как результат действия некоторого числа операторов рождения на вакуум (обозначим как $|vac\rangle$). Далее операторы коммутируют так, чтобы какой-нибудь оператор уничтожения подействовал на вакуумную обкладку справа (или оператор рождения оказался рядом с левой обкладкой). Дальше используются простые равенства:

$$ a|vac\rangle=0 $$

$$ \langle vac |a^+=0 $$

В итоге все выражается через коммутаторы операторов рождения/уничтожения (а они --- просто числа) и $\langle vac | vac \rangle=1$.

Для развлечения давайте вычислим подобным способом как действует оператор уничтожения на двухчастичное состояние $|r,r'\rangle$.

$$ |r,r'\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}a^+(r)|r'\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}a^+(r)a^+(r')| vac \rangle $$

Тогда

$$ a(r'')|r,r'\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}}a(r'')a^+(r)a^+(r')| vac \rangle $$

Пусть для определенности бозоны (для фермионов просто заменятся коммутаторы на антикоммутаторы и будут меняться знаки).

$$ a(r'')|r,r'\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}}[a(r''),a^+(r)]a^+(r')| vac \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}a^+(r)a(r'')a^+(r')| vac \rangle $$

В первом слагаемом одночастичное состояние (коммутатор --- просто число). Во втором делаем еще раз коммутацию:

$$ a(r'')|r,r'\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}}[a(r''),a^+(r)]| r' \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}a^+(r)[a(r''),a^+(r')]| vac \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}a^+(r)a^+(r')a(r'')| vac \rangle $$

Последнее слагаемое --- ноль (оператор уничтожения действует на вакуум). Во втором слагаемом можно протащить числовой коммутатор через оператор рождения. В итоге

$$ a(r'')|r,r'\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}}[a(r''),a^+(r)]| r' \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}[a(r''),a^+(r')]| r \rangle $$

Если хотите понять, что будет с функциями, то напишите более общее состояние, например:

$$ \int \phi(r,r')|r,r'\rangle drdr' $$

подействуйте оператором (обобщенно обозначим $A$ --- это любой оператор) и протащите этот оператор до базисного вектора:

$$ A\int \phi(r,r')|r,r'\rangle drdr'=\int \phi(r,r')A|r,r'\rangle drdr' $$

Далее можно переразложить $A|r,r'\rangle$ по координатным базисным векторам (для "координатного" оператора уничтожения так сразу получится, фактически ничего не надо делать) и получить выражение исходного (до действия оператора) типа, но с преобразованными коэффициентами. Вот В ЭТОМ СМЫСЛЕ действие оператора можно эффективно представить как действие на коэффициенты (волновые функции). Хотя на самом деле исходно он действует именно на базисные векторы, коэффициенты через него просто "протаскиваются" в силу линейности.

А вообще поменьше думайте о функциях, это вторичный объект (просто коэффициенты разложения). Какие получатся, такие и получатся. Научитесь думать в терминах векторов состояний. Как раз тот случай, о чем я говорил: после изучения КМ в терминах волновых функций приходится мучительно "распудривать" мозги.

[Munin]

(Вот обозначения операторов рождения и уничтожения в разных местах разные. Иногда они зависят от спинорной размерности, то есть для скаляров $\phi,$ для спиноров $\psi,$ и так далее. Иногда ещё от чего-то. В ЛЛ-4 приняты особенно неудачные, больше нигде не встречающиеся обозначения $b^+,b,c^+,c$ (напомню, что ЛЛ-4 написан без участия Ландау). Вообще, в достаточно общем смысле их принято обозначать $a^+,a.$)

[Alex-Yu]

manul91 в сообщении #858692 писал(а):

Всегда ли можно "эффективно" представить оператор уничтожения существующей частицы (если ограничимся до координатном представлении), как математическое умножение ф-ю состояния "уже существующих" частиц, на некоторую функцию состояния соответно одной из "уже существующих частиц" (той, которой "убираем")?

Вообще никогда так представить нельзя. Выше я объяснил как можно перейти к эффективному преобразованию функции. Перечитайте, а то я кое-что там дописывал спустя некоторое время. Дальше остается лишь делать довольно простые вычисления, и все ответы на такие вопросы получатся сами собой.