Операторы рождения/уничтожения

[manul91]

Еще раз спасибо всем.

Не на всех вопросов получил комментар/ответ, для меня на данном этапе важно любое что могут сказать понимающие люди...

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

Абстрактная конструкция "тарелки фруктов" - $c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ - имеет прямой эксперименальный смысл/интерпретация - типа "с вероятности $c_0^*c_0$ на экране не будет вспышек, с вероятности с вероятности $c_1^*c_1$ будет одна вспышка, и с вероятности $c_2^*c_2$ будут две вспышки"?

Собственно вопрос...

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

Но ведь возможны разные состояния например "чисто-одной частицы" $\psi'_1(\mathbf{r}_1)$, $\psi''_1(\mathbf{r}_1)$.
Тогда как выбирается "базис" конкретных разно-частичных функций $\psi_0$, $\psi_1(\mathbf{r}_1)$, $\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ для конкретного представления $c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ ?

Я понял, что разно-частичные функции как "объекты", всегда считаются ортогональными.
Т.е. их "скалярное произведение" - либо 1 (если число частиц одно и то же) либо 0 (если число частиц разное) - третьего не бывает.
Однако не понял, как выбирается "базис" из таких ортогональных разно-частичных функций - ведь они сами, бывают разными?

Munin в сообщении #857724 писал(а):

Да, это "проектор-антипроектор". НО ещё, они поворачивают результат "проекции-антипроекции" в пространстве формальной суммы, так чтобы он не лежал на том же месте.

Для "антипроектора" неоднозначности нет: у оператора рождения есть параметр, который принято писать нижним индексом. Это то состояние, в котором рождается новая частица. Поэтому он просто поворачивает $n$-мерную плоскость в $n+1$-мерном пространстве в наклонное положение. В заданное наклонное положение, одно из множества возможных. Очевидно, это тоже линейное действие.

Звучит хорошо, но....
Давайте попробуем подействовать с вашего оператора рождения на некотором "вектором состояния в пространстве фока".
Запишем исходный вектор состояния как
$c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+0\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$
(т.е. у нас некая амплитуда вероятности что либо нет частиц, и другая амплитуда вероятности что ровно одна частица; третий член с нулевым коеффициентом добавлен чисто формально).
Теперь "подействуем" на это состояние, с вашем оператором рождения $\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}$.
Он вроде, сводится к умножением на дельта-функцию от координат новой вводимой частицы $\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$.

Если формально произвести такое умножение, получим
$c_0\psi_0\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)+0\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$
или переписывая это "в канонической форме" для трех "орт"
$0\psi_0 + c_0\psi_0\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$

Полученное вроде, имеет смысл - перешли к состоянию суперпозиции того что либо одна, либо две частицы.
Но сравнивая с исходным вектором пространства фока
$c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+0\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$
видим, что "базисные многочастичные функции разложения" - уже другие...

Получили как бы, опять вектор пространства фока - но теперь в совершенно другом (хотя и опять ортогональном) базисе...
Его можно выразить как-нибудь, через "старом базисе" многочастичных функций?

Munin в сообщении #857724 писал(а):

Повторяю, всё указано в индексе оператора $\mathbf{r}_0.$ В данном случае, поскольку в индексе стоит $\mathbf{r}_0,$ то подразумеваются операторы, имеющие вид $\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0).$ И для оператора уничтожения, и для оператора рождения. То есть, оператор уничтожения не просто "интегрирует по соответственной частице", а он смотрит её наличие именно в заданной точке, в $\mathbf{r}_0.$ А оператор рождения знает, как конкретно добавляется новая частица - именно в точке $\mathbf{r}_0,$ как дельта-функция.

Про однозначности нотации при понимания текста.
Все же, индекс оператора $\mathbf{r}_0$ сам по себе еще, не означает ничего конкретного.
Такой индекс, сам по себе - только намекает, что оператор имеет чего-то общего с координатой $\mathbf{r}_0$.
Но все же, без контекста неясно - вводит ли этот оператор новую частицу как дельта функцию в $\mathbf{r}_0$? Или может быть вводит новую частицу как функцию экспоненциального пакета, центрированного вокруг $\mathbf{r}_0$? Или, может вводит частицу как другого экспоненциального пакета вокруг $\mathbf{r}_0$ - с другой дисперсии?
В конце концов, такой индекс может означать ровно наоборот, что частица вводится так что она находилась бы где угодно, но ТОЛьКО НЕ в точки $\mathbf{r}_0$ (в записе дельта-функций, что-то вроде $1-\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$)??
Я-то знаю что "у вас" такой индекс у $\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}$ означает первое - ввести новую частицу как дельта функцию $\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$ - но это ведь только потому, что вы этого конкретно сказали.
Т.е. все же, конкретный смысл абстрактного значка оператора рождения/уничтожения, нужно брать из контекста, и он там должен быть где-то указан.
(аналогично тому, как когда я вижу абстрактный значок функции $f(x)$ - еще неизвестно что это за функция; это абстрактное понятие с котором нельзя все еще работать чтобы чего-то численно вычислить; а вот если конкретно задана $f(x) = 3x + x^2$ то это теперь совсем конкретно).
Верно?

Alex-Yu в сообщении #857726 писал(а):

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

Возьмем конкретное, "чисто двухчастичное состояние"; например суперпозиция двух различимых частиц (запутанное по координатой):
$c_1\delta(\mathbf{r_1} - \mathbf{u})\delta(\mathbf{r_2} - \mathbf{v}) + c_1\delta(\mathbf{r_2} - \mathbf{u})\delta(\mathbf{r_1} - \mathbf{v})$
Воздействуем на него "оператором уничтожения" одной частицы, скажем той чьи координаты обозначены $r_1$. Получим... что именно?

Получим одночастичную функцию, зависящую только от одной координаты.

Это-то понятно, но такие функции ведь бывают разными.
Какую именно из них мы получим для оставшейся частицы, и почему?
Я задал совершенно конкретное, исходное чисто-двухчастичное состояние (через дельта-функций).
К нему мы прилагаем некий оператор уничтожения одной частицы (ту, которая индексирована как 1).
Должны получить якобы, вполне конкретное состояние оставшейся частицы 2.
Какое оно будет именно, и почему?

Это будет $\psi(r_2)=\delta(\mathbf{r_2} - \mathbf{v})$?
Или $\psi(r_2)=\delta(\mathbf{r_2} - \mathbf{u})$?
Или какая-то суперпозиция из них $\psi(r_2)=c_1\delta(\mathbf{r_2} - \mathbf{v}) + c_2\delta(\mathbf{r_2} - \mathbf{u})$?
Или что-то совершенно другое?

И, тот же самый вопрос, про "добавления" новой частицы через оператора рождения к конкретно-заданного , исходного чисто-одночастичного состояния:

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

Далее, аналогично возьмем "чисто одночастичное состояние" (частица 1 конкретно в координатой u)
$\delta(\mathbf{r_1} - \mathbf{u})$
Воздействуем на него "оператором рождения" еще одной частицы. Получим... что? Каким оператором нужно воздействовать, чтобы получить спутанное "чисто двухчастичное" состояние выше (и как именно)? Или одним оператором нельзя, нужно еще и сумма т.к. спутанное состояние несепарабельно?

Munin в сообщении #857728 писал(а):

manul91 в сообщении #857713
писал(а):
А такое можно как нибудь записать в виде только "произведения" некоего "условного оператора рождения" на "тарелки фруктов" (но без суммы):
(некий оператор рождения)*(некая тарелка фруктов) = $\delta(\mathbf{r} - \mathbf{u})\psi_n(\mathbf{r}_i) + \delta(\mathbf{r} - \mathbf{v})\varphi_n(\mathbf{r}_i)$ ?
Да, но для этого сам этот оператор рождения надо задать. И задать его можно как сумму $\hat{a}^+_{\text{некий}}=\hat{a}^+_{\mathbf{u}}+\hat{a}^+_{\mathbf{v}}.$ Просто чтобы не говорить о нём как о "неком", а иметь какой-то конкретный.

Я тоже думал о чего-то такого, но похоже такое задавание оператора рождения как сумму двух других формально не годится в данном случае.
Смотрите.
Возьмем любую исходную функцию чисто $n$ частиц $\psi_n(\mathbf{r}_i)$.
Подействуем "суммарным" оператором
$\hat{a}^+_{\text{некий}}\psi_n(\mathbf{r}_i)=\hat{a}^+_{\mathbf{u}}\psi_n(\mathbf{r}_i)+\hat{a}^+_{\mathbf{v}}\psi_n(\mathbf{r}_i).$
Но сравните получаенное с требуемого двухчастичного состояния:
$\delta(\mathbf{r} - \mathbf{u})\psi_n(\mathbf{r}_i) + \delta(\mathbf{r} - \mathbf{v})\varphi_n(\mathbf{r}_i)$
Это ведь другой вектор, т.к. функции разные ($\psi_n(\mathbf{r}_i)$, $\varphi_n(\mathbf{r}_i)$), а не одна и та же?
Итого, повторяю свой вопрос - можно ли действуя одним абстрактным оператором рождения над исходного чисто-одночастичного состояния, получить несепарабельное (нефакторизируемое) чисто-двухчастичное состояние?

Alex-Yu в сообщении #857726 писал(а):

Вся квантовая механика в традиционном изложении (с волновыми функциями, понимаемыми именно как функции в математическом смысле) --- это запудривание мозгов, которое потом, при переходе в к фоковскому пространству, приходится мучительно "распудривать". Печально, но лично у меня нет надежды, что больше никто не станет читать, например, Ландау-Лифшица т.3 ДО ТОГО, как прочитаны "Принципы" Дирака. Как я много-много лет тому назад. Пока Дирака не прочитал, в мозгах был полный бардак, все понимал абсолютно неверно! По смыслу неверно... Дирака нужно читать сначала! И лишь ПОТОМ можно и нужно читать Ландау, уже понимая довольно УСЛОВНЫЙ СМЫСЛ написанных там формул.

Именно так я и чувствую себя когда пытаюсь одолеть вторичное квантование/КТП.
С какого-то момента иллюзия понятности теряется и понимаю, что из этих значков ничего не понимаю ; )
Звучит как волшебная пилюля ; )
Попробую еще найти-почитать "Принципы" Дирака (надеюсь оцифрована...); авось вправит мозги как надо.

[Munin]

manul91 в сообщении #857832 писал(а):

Попробую еще найти-почитать "Принципы" Дирака (надеюсь оцифрована...); авось вправит мозги как надо.

По сути, там излагается просто линейная алгебра векторов состояния. Странно, что Alex-Yu это так отдельно превозносит, хотя, возможно, на него это произвело особое впечатление. (На меня тоже да, но не по книге Дирака.)

Книга, разумеется, оцифрована, это классика. "Принципы квантовой механики".

Надо сказать, что если будете читать Фейнмана, он часто использует бра- и кет-нотацию немного в другом смысле (он соответствует гейзенберговскому представлению, если быть точным; по ЛЛ-3 см. § 13). С непривычки может запутать.

[Nirowulf]

manul91 в сообщении #857832 писал(а):

Попробую еще найти-почитать "Принципы" Дирака (надеюсь оцифрована...); авось вправит мозги как надо.

Наверное, даже лучше читать Киселёва, современная книга.

[Munin]

manul91 в сообщении #857832 писал(а):

Не на всех вопросов получил комментар/ответ

Я некоторые вещи пропускал, потому что они были ошибочными за счёт того, что вы ошиблись в другом месте. Первичную ошибку я комментировал.

Другие вещи - тоже не нуждались в комментариях, потому что прокомментированы были другие места.

Ну и вообще, если что-то осталось непрокомментированным, это можно перечислить заново.

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

Абстрактная конструкция "тарелки фруктов" - $c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ - имеет прямой эксперименальный смысл/интерпретация - типа "с вероятности $c_0^*c_0$ на экране не будет вспышек, с вероятности с вероятности $c_1^*c_1$ будет одна вспышка, и с вероятности $c_2^*c_2$ будут две вспышки"?

В принципе, да, но если у нас есть такой идеальный экран, который гарантированно даёт вспышку на каждую частицу. В реальности на практике это не так. Каждый детектор срабатывает на некоторый процент частиц, например, на 0,01 % или на 40 %.

manul91 в сообщении #857832 писал(а):

Я понял, что разно-частичные функции как "объекты", всегда считаются ортогональными.
Т.е. их "скалярное произведение" - либо 1 (если число частиц одно и то же) либо 0 (если число частиц разное) - третьего не бывает.

Не совсем так. Если число частиц разное - то 0. Но если число частиц одно и то же - то скалярное произведение берётся как обычное скалярное произведение волновых функций, то есть $\langle\psi_A\mid\psi_B\rangle=\idotsint_{i}\psi_A^*(\mathbf{r}_i)\psi_B(\mathbf{r}_i)\,(d^3\mathbf{r}_i)^{n}.$

То есть, в пространстве $n$-частичных волновых функций мы имеем, как обычно, базис, и базисные волновые функции могут давать между собой опять 0 или 1, а небазисные - соответственно тому, как они раскладываются по базису. То есть, например, 2-частичная волновая функция "электрон летит плоской волной влево, и другой электрон летит плоской волной влево" может быть ортогональна другой 2-частичной волновой функции "электрон летит плоской волной вправо, и другой электрон летит плоской волной вправо", и тогда произведение между ними будет 0, даже хотя обе они - 2-частичные.

То есть, базис всех фоковских состояний, это:
- базис всех 0-частичных состояний (ну это скучно, тут всего 1 базисный вектор);
- плюс базис всех 1-частичных состояний (вот тут их может быть уже бесконечно много);
- плюс базис всех 2-частичных состояний (тем более, может быть бесконечно много);
и т. д.

-- 02.05.2014 01:35:48 --

manul91 в сообщении #857832 писал(а):

Полученное вроде, имеет смысл - перешли к состоянию суперпозиции того что либо одна, либо две частицы.
Но сравнивая с исходным вектором пространства фока
$c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+0\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$
видим, что "базисные многочастичные функции разложения" - уже другие...

Почему? Базисные - те же самые. Просто изначально вы пишете не базисные функции, и получаете в результате не базисные. А их можно разложить по базису. Базисы будут (координатные, в случае нетождественных частиц):
- для $\psi_0$ - 1;
- для $\psi_1$ - $\delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{01})$ (бесконечное число базисных векторов, перенумерованных значениями $\mathbf{r}_{01}$);
- для $\psi_2$ - $\delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{01})\,\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_{02})$;
и т. д.

То есть, если взять изначально базисные функции (в этом координатном базисе, и не менять по ходу дела базис), и применять координатные же операторы рождения (а можно и другие! - линейные комбинации координатных), то получим
$c_0 1_0+c_1\delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{01})+0\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)\to 0\cdot 1_0+c_0\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)+c_1\delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{01})\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$
то есть, вполне очевидное разложение по базису, и коэффициенты $c_0$ и $c_1$ перешли к $n+1$-частичным составляющим, что и требовалось.

manul91 в сообщении #857832 писал(а):

Все же, индекс оператора $\mathbf{r}_0$ сам по себе еще, не означает ничего конкретного.
Такой индекс, сам по себе - только намекает, что оператор имеет чего-то общего с координатой $\mathbf{r}_0$.

Ну извините, у меня просто без пояснений обозначения были введены. Индекс 0 означает, что это какая-то константа, которую мы явно задали. Индекс 0 добавляется к любому другому индексу, в том смысле, что без него - мы говорим про некую переменную, а с ним - про константу для этой переменной. Никакой самостоятельной "координаты $\mathbf{r}_0$" нет. Координаты нумеруются $i=1,\ldots,n,(n+1).$ Перечитайте формулы, может быть, станет яснее.

manul91 в сообщении #857832 писал(а):

Т.е. все же, конкретный смысл абстрактного значка оператора рождения/уничтожения, нужно брать из контекста, и он там должен быть где-то указан.

Да, разумеется. Но обычно эти обозначения стандартные, особенно для импульсного представления. Не бывает "оператора рождения вообще", кроме только случая, когда у нас вообще все состояния $n$-частичной системы задаются одним базисным вектором, а такое бывает редко.

manul91 в сообщении #857832 писал(а):

(аналогично тому, как когда я вижу абстрактный значок функции $f(x)$ - еще неизвестно что это за функция; это абстрактное понятие с котором нельзя все еще работать чтобы чего-то численно вычислить; а вот если конкретно задана $f(x) = 3x + x^2$ то это теперь совсем конкретно).
Верно?

Ну вот, если вы видите значок функции $\sin(x)$ - это уже известно, что за функция, потому что это обозначение общепринятое. И обозначения типа $\hat{a}_{\ldots}^+$ - тоже общепринятые, а на месте $\ldots$ указывается конкретное состояние в конкретном базисе.

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

Возьмем конкретное, "чисто двухчастичное состояние"; например суперпозиция двух различимых частиц (запутанное по координатой):
$c_1\delta(\mathbf{r_1} - \mathbf{u})\delta(\mathbf{r_2} - \mathbf{v}) + c_2\delta(\mathbf{r_2} - \mathbf{u})\delta(\mathbf{r_1} - \mathbf{v})$
Воздействуем на него "оператором уничтожения" одной частицы, скажем той чьи координаты обозначены $r_1$. Получим... что именно?

manul91 в сообщении #857832 писал(а):

Какое оно будет именно, и почему?
Это будет $\psi(r_2)=\delta(\mathbf{r_2} - \mathbf{v})$?
Или $\psi(r_2)=\delta(\mathbf{r_2} - \mathbf{u})$?
Или какая-то суперпозиция из них $\psi(r_2)=c_1\delta(\mathbf{r_2} - \mathbf{v}) + c_2\delta(\mathbf{r_2} - \mathbf{u})$?
Или что-то совершенно другое?

$\hat{a}_{\mathbf{u}}(\mathbf{r}_1)\bigl[c_1\delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{u})\,\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{v})+c_2\delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{v})\,\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{u})\bigr]=$
$=c_1\hat{a}_{\mathbf{u}}(\mathbf{r}_1)\,\delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{u})\,\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{v})+c_2\hat{a}_{\mathbf{u}}(\mathbf{r}_1)\,\delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{v})\,\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{u})=$
$=1\cdot c_1\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{v})+0\cdot c_2\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{u})=c_1\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{v})$

$\hat{a}_{\mathbf{v}}(\mathbf{r}_1)\bigl[c_1\delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{u})\,\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{v})+c_2\delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{v})\,\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{u})\bigr]=$
$=c_1\hat{a}_{\mathbf{v}}(\mathbf{r}_1)\,\delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{u})\,\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{v})+c_2\hat{a}_{\mathbf{v}}(\mathbf{r}_1)\,\delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{v})\,\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{u})=$
$=0\cdot c_1\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{v})+1\cdot c_2\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{u})=c_2\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{u})$

$\bigl(\hat{a}_{\mathbf{u}}(\mathbf{r}_1)+\hat{a}_{\mathbf{v}}(\mathbf{r}_1)\bigr)\bigl[c_1\delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{u})\,\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{v})+c_2\delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{v})\,\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{u})\bigr]=$
$=c_1\bigl(\hat{a}_{\mathbf{u}}(\mathbf{r}_1)+\hat{a}_{\mathbf{v}}(\mathbf{r}_1)\bigr)\delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{u})\,\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{v})+\\+c_2\bigl(\hat{a}_{\mathbf{u}}(\mathbf{r}_1)+\hat{a}_{\mathbf{v}}(\mathbf{r}_1)\bigr)\delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{v})\,\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{u})=$
$=(1+0)\cdot c_1\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{v})+(0+1)\cdot c_2\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{u})=$
$=c_1\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{v})+c_2\delta(\mathbf{r}_2-\mathbf{u})$

Просто же?

manul91 в сообщении #857832 писал(а):

Я тоже думал о чего-то такого, но похоже такое задавание оператора рождения как сумму двух других формально не годится в данном случае.
Смотрите.

А, я неправильно прочитал формулу. Пардон. Разумеется, так нельзя.

manul91 в сообщении #857832 писал(а):

Итого, повторяю свой вопрос - можно ли действуя одним абстрактным оператором рождения над исходного чисто-одночастичного состояния, получить несепарабельное (нефакторизируемое) чисто-двухчастичное состояние?

Нельзя, разумеется.

Надо взять два разных 1-частичных состояния, в каждом из них родить вторую частицу своим (для каждого из них, а не одним и тем же) оператором рождения, и потом те два 2-частичных состояния, которые получились, сложить.

Ну, операции "умножить на число" и "сложить" я считаю уже вам известными, поэтому для построения вектора пространства Фока надо было только ещё добавить операцию "добавить частицу".

manul91 в сообщении #857832 писал(а):

Именно так я и чувствую себя когда пытаюсь одолеть вторичное квантование/КТП.
С какого-то момента иллюзия понятности теряется и понимаю, что из этих значков ничего не понимаю ; )

Вторичное квантование - всего лишь ступенька к КТП. Возможно, вам надо попрактиковаться в этой ступеньке побольше (я гляжу, надо вообще попрактиковаться с многочастичными волновыми функциями, и абстрактными векторами состояния).

И кроме того, к КТП ведут "три дороги" (которые я изложил, а в принципе, может быть, и ещё что-нибудь - но скорей всего, комбинация перечисленного). Вторичное квантование - встаёт препятствием только на одной из них.

Хотя, если у вас проблемы даже уже со вторичным квантованием, то наверное, пытаться охватить КТП целиком ещё рановато. Хотя, не знаю.

----------------

В целом, ситуация, когда "с какого-то момента понимаю, что из этих значков ничего не понимаю" - бывает заложена как мина гораздо раньше. Когда не освоены какие-то более базовые определения, смыслы, соотношения, нотация. Тут желательно временно отступить, и перечитать более базовый учебник / предыдущие главы того же учебника. Перечитать более тщательно: повторяя выкладки за автором, разбирая упражнения, играя с матаппаратом самостоятельно. Вот когда базовые вещи для вас станут "как родные", тогда можно заново перечитать последующий текст.

[Munin]

Из личных воспоминаний:

(Оффтоп)

У меня случилось так, что я писал заметки, когда проходил КТП. И потом, перечитывая эти заметки, обнаружил интересную вещь. Поначалу, у меня тоже мало что получалось понимать, и вот однажды, после разговора с учителем, всё как-то резко состыковалось и встало на свои места. И поехало. Но вот потом, через годы перечитывая эти заметки, я удивлённо заметил, что никакого особенного объективного скачка у меня не было: и до, и после этого момента я писал примерно одно и то же. Если что и нарастало, то это лёгкость и беглость в обращении с аппаратом, и весьма постепенно. Это для меня до сих пор остаётся загадкой :-)

[Nirowulf]

(Оффтоп)

Munin
У меня, примерно, также. Я долго не мог въехать в трансформационные свойства полей в КТП и, вообще, в представления групп и группы Лоренца, в частности. Потом мой научник мне за $15$ минут объяснил основы. И вроде говорил он то же самое, что и написано в книгах. Но после этого разговора, когда я снова перечитывал соответствующие места из книги, вдруг осознал, что начинаю понимать, хотя читал те же самые слова=)

[Munin]

(Оффтоп)

Nirowulf
Не, у меня загадка в том, что сейчас я уже не очень понимаю, что же я тогда, собственно, такого понял :-)

[Nirowulf]

Munin в сообщении #857878 писал(а):

Ну, операции "умножить на число" и "сложить" я считаю уже вам известными, поэтому для построения вектора пространства Фока надо было только ещё добавить операцию "добавить частицу".

Тут уже было дано много отличных разъяснений. Добавлю свои скромные $5$ копеек, прошу тапками не закидывать=)

Мне кажется, что проще осознать пространство Фока с математической точки зрения, глядя на его на алгебраическую конструкцию. Это пространство, порождённое действием алгебры операторов рождения и уничтожения на вакуумный вектор $|0\rangle.$ Прямая сумма тензорных степеней одночастичного гильбертова пространства $H.$ Причём для бозонов такое одночастичное пространство будет симметричным, а для фермионов антисимметричным.

$$F_{type} (H)=\bigoplus\limits_{n=0}^\infty S_{type} H^n.$$

$H^n=H\otimes H\otimes \cdots \otimes H,$ всего $n$ сомножителей. $S_{type} -$ штука, которая делает $H$ бозонным $(type=+)$ или фермионным $(type=-),$ в зависимости от того, какие частицы мы описываем.

Бозонное фоковское пространство

$$F_+ (H)=\bigoplus\limits_{n=0}^\infty S_+ H^n,$$

$$S_+ H^n=S^* H^n=\bigoplus\limits_{m=0}^\infty S^m H^n.$$

$S^m H^n$ это $m$-ая симметрическая степень пространства $H^n$ т.е. совокупность всех симметричных тензоров ранга $m$ на $H^n.$ Базисные векторы имеют вид $(b_l^+)^{m_l}\cdots (b_1^+)^{m_1}|0\rangle,\quad m_1, \cdots , m_l=0, 1, 2, ... $

Фермионное фоковское пространство

$$F_- (H)=\bigoplus\limits_{n=0}^\infty S_- H^n,$$

$$S_- H^n=\wedge^* H^n=\bigoplus\limits_{k=0}^n \wedge^k H^n.$$

$\wedge^k H^n$ это $k$-ая внешняя степень пространства $H^n$ т.е. совокупность всех кососимметричных тензоров ранга $k$ (внешних форм степени $k$) на $H^n.$ Базисные векторы имеют вид $(a_l^+)^{k_l}\cdots (a_1^+)^{k_1}|0\rangle,\quad k_1, \cdots , k_l =0, 1.$

Можно заметить, что

$$F(H)=F_+ (H) \bigotimes F_- (H)=\bigoplus\limits_{n=0}^\infty \left(S_+ H^n \otimes S_- H^n \right)$$

формально тоже будет фоковским пространством.

[Munin]

(Оффтоп)

А с SUSями как быть?

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #857798 писал(а):

Ну, я надеюсь, при этом всё те же векторы в гильбертовом пространстве? Или как?

Да, векторы в гильбертовом пространстве. Но не в гильбертовом пространстве ФУНКЦИЙ!

Можно привести простой пример, показывающий к какому бреду приводят рассуждения чисто на языке функций. Пусть есть два состояния: одноэлектронное с волновой функцией $\psi(r)$ и однопротонное с ТОЙ ЖЕ САМОЙ волновой функцией $\psi(r)$. Будем считать (не обязательно, но удобно) эту функцию нормированной на единицу.

Спрашивается, чему равно скалярное произведение этих двух состояний? Если рассуждать чисто в смысле функций, то должна получиться единица. Но это бред собачий, должен быть ноль! Ноль и получается, если понимать, что волновая функция --- лишь коэффициенты разложения по базису. Все одноэлектронные базисные векторы ортогональны всем однопротонным базисным векторам. В итоге правильный ноль.

-- Пт май 02, 2014 12:33:59 --

Munin в сообщении #857921 писал(а):

Но вот потом, через годы перечитывая эти заметки, я удивлённо заметил, что никакого особенного объективного скачка у меня не было: и до, и после этого момента я писал примерно одно и то же. Если что и нарастало, то это лёгкость и беглость в обращении с аппаратом, и весьма постепенно. Это для меня до сих пор остаётся загадкой

Со мной тоже случались такие вещи. Но загадки для меня в этом нет. Можно что-то писать (и даже правильно ), и при этом абсолютно не понимать, что же ты пишешь. А можно понимать. Переход из первого состояния во второе, только и всего Нужно, как правильно сказал ТС где-то тут, "увидеть". В голове должен сформироваться образ, в результате чего все слова и формулы становятся лишь "фотографиями" этого целостного образа в разных ракурсах.

[manul91]

Туман насчет пространства Фока, кажется начинает быстро рассасываться ; )

Munin в сообщении #857878 писал(а):

То есть, базис всех фоковских состояний, это:
- базис всех 0-частичных состояний (ну это скучно, тут всего 1 базисный вектор);
- плюс базис всех 1-частичных состояний (вот тут их может быть уже бесконечно много);
- плюс базис всех 2-частичных состояний (тем более, может быть бесконечно много);
и т. д.

Alex-Yu в сообщении #857726 писал(а):

Просто если число частиц фиксировано, то запись принято упрощать, работая непосредственно с коэффициентами разложения (например $\psi({\bf r})$ в одночастичном случае). Все орты с разным числом частиц (например $|{\bf r}\rangle$ и $|{\bf r,r'}\rangle$ ) ортогональны по определению.

Похоже меня на самом деле путало отсутствие явно выделеннох обозначений для "ортов", в записи вектора пространства Фока.

Посмотрим, все ли я понял правильно.

Можно ли, записать вектор пространства Фока ("формальная сумма" $c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)+\ldots$), следующим альтернативным образом:

$c_0|\rangle+c_1\int \psi({\bf r_1})|{\bf r_1}\rangle d^3{\bf r_1}+c_2\int \psi({\bf r_1,r_2})|{\bf r_1,r_2}\rangle d^3{\bf r_1}d^3{\bf r_2}+\ldots$
где смысл "кет"-обозначений следующий:
$|\rangle$ - базисный "орт" состояния "бесструктурного вакуума" (пустоты) - одна штука
$|{\bf u}\rangle$ - базисный "орт" чисто-одночастичного дельта-состояния: "единственная частица, находится ровно в месте $\bf u$ в трехмерном пространстве, и только там" (континуум штук таких базисных ортов); помноженные на комплексной волновой функции того же аргумента и суммированные интегралом - они дают любое одночастичное состояние-суперпозиция таких орт
$|{\bf u, v}\rangle$ - базисный "орт" чисто-двухчастичного дельта-состояния: "одна из частиц находится ровно в месте $\bf u$ в трехмерном пространстве И другая частица находится ровно в месте $\bf v$" ("континуум в квадрате" штук таких базисных ортов); помноженные на комплексной волновой функции тех же двух аргументов и суммированные интегралом - они дают любое двухчастичное состояние-суперпозиция таких орт
и т.д.

Тут все "кеты" ортогональны друг друга - являются ортогональными базисными элементами - и НЕТ функций/коеффициентов, не помноженных на кетов.
Т.е. явно видно разложение в ортогональном базисе (координатного представления).

Потом скажем, примерно можно записать вектор в пространстве фока для разночастичных состояний, по базисе спинов относно некоей оси для частиц спина $1/2$ (абстрагируясь от распределения в пространстве) - тут интегралов не будет, а только сумм:

$$ c_0|\rangle + c_1(c_{10}|\text{up}\rangle + c_{11}|\text{down}\rangle) + c_2(c_{20}|\text{up,up}\rangle+ c_{21}|\text{up,down}\rangle + c_{23}|\text{down,up}\rangle+c_{24}|\text{down,down}\rangle) +\ldots $$

где смысл "кет"-обозначений следующий:
$|\rangle$ - базисный "орт" состояния "бесструктурного вакуума" (пустоты) - одна штука
$|\text{up}\rangle$ - базисный "орт" чисто-одночастичного состояния "спин вверх" по оси (двух штук таких базисных ортов - up и down); их суперпозиция с комплексными коеффициентами дает любое одночастичное состояние спина
$|\text{up,up}\rangle$ - базисный "орт" чисто-двухчастичного состояния "обе частицы спин вверх" по оси (четыре штук таких базисных ортов - все комбинации up и down для первой и второй частицы соответно); их суперпозиция с комплексными коеффициентами дает любое двухчастичное состояние спина
и т.д. (следующий "этаж" для трех частиц будет иметь 8 базисных состояний)...

Все кеты ортонормированы - это базис - скалярное произведение любых кетов даст 0 (только если они одинаковы, даст 1).
Таким образом, если у нас с ноль до трех частиц (все остальные коеффициенты для состояний с больше частиц допустим почему-то нули) - итоговый базис будет иметь $1 + 2 + 4 + 8 = 15$ базисных векторов.

Все верно? Я не пишу ерунду?

Munin в сообщении #857878 писал(а):

Не совсем так. Если число частиц разное - то 0. Но если число частиц одно и то же - то скалярное произведение берётся как обычное скалярное произведение волновых функций, то есть $\langle\psi_A\mid\psi_B\rangle=\idotsint_{i}\psi_A^*(\mathbf{r}_i)\psi_B(\mathbf{r}_i)\,(d^3\mathbf{r}_i)^{n}.$

Возник еще такой вопрос.
А если число частиц одинаковое, но это разные типы частиц - у нас имеется несколько типов частиц которые могут появляться в разных комбинаций (т.е. опять же "яблони и груши" в некотором смысле) - я правильно предполагаю, что скалярное произведение таких равно-частичных суммарно, но разнотипно-частичных функций состояния - опять равно нулю, и их нельзя перемножать - а они только добавляют "дополнительных этажей" (да и ведь двухчастичные состояния частиц разного типа, и так будут существовать далее в разложении)?
И например если у нас нейтроны и протоны, в оригинальной нотации "формальной суммы" (ублюдочном представлении), нужно писать примерно

$$c_0\psi_0+c_{1p}\psi_{1p}(\mathbf{r}_{1p})+c_{1n}\psi_{1n}(\mathbf{r}_{1n})+c_{2n}\psi_{2n}(\mathbf{r}_{1n},\mathbf{r}_{2n})+c_{2p}\psi_{2p}(\mathbf{r}_{1p},\mathbf{r}_{2p}) +c_{\text{1p,1n}}\psi_{\text{1p,1n}}(\mathbf{r}_p,\mathbf{r}_n) +\ldots $$

где смысл индексов n, p соответно "нейтрон", "протон".
Т.е. $\psi_{1p}(\mathbf{r}_{1p})$ - чисто-одночастичная функция одного протона,
$\psi_{1n}(\mathbf{r}_{1n})$ - чисто-одночастичная функция одного нейтрона,
$\psi_{2p}(\mathbf{r}_{1p},\mathbf{r}_{2p})$ - чисто-двухчастичная функция двух нейтронов,
$\psi_{\text{1p,1n}}(\mathbf{r}_p,\mathbf{r}_n)$ - чисто-двухчастичная функция одного протона и одного нейтрона,
и т.д.
Как тут быть?

Munin в сообщении #858041 писал(а):

Просто же?

На самом деле; )
Но мне нужно было это увидеть.
Значит, в каком состоянии остается вторая частица - зависит от того, как мы убираем первую частицу (каким конкретно оператором уничтожения).

Munin в сообщении #857878 писал(а):

В принципе, да, но если у нас есть такой идеальный экран, который гарантированно даёт вспышку на каждую частицу. В реальности на практике это не так. Каждый детектор срабатывает на некоторый процент частиц, например, на 0,01 % или на 40 %.

Вопрос для разминки....
А как (и можно ли) экспериментально приготовить состояние, в котором суперпозиция от одной частицы и одного миллиона частиц (но все промежуточные и остальные числа частиц - нули)?
Как это будет проявляться в жизни? Несколько странно выглядит.
Я еще могу понять некоторой неопределенности там в несколько частиц больше-меньше (ну они же "мелкие" -;); но как будет проявляться такая суперпозиция "удаленных-максимумов-по-числа-частиц" фоковского состояния, не совсем понятно?
(Я понимаю, что это в принципе, не более странно чем просто двугорбая суперпозиция чисто-одной частицы - у которой максимумы амплитуды вероятности сильно удалены - "здесь" и "в париже", а вне этих мест нули.
Но для одной частицы, я знаю что это примерно значит "в реальности" - правильно продырявленной пластинки (или оформленной линзы) можем добиться любой "фокусировки" и "формы" максимумов амплитуды вероятности. А тут как быть для проявлений в реальности?)

[Alex-Yu]

manul91 в сообщении #857832 писал(а):

Я понял, что разно-частичные функции как "объекты", всегда считаются ортогональными.
Т.е. их "скалярное произведение" - либо 1 (если число частиц одно и то же) либо 0 (если число частиц разное) - третьего не бывает.

Не совсем верно. Ноль --- обязательно если разная "частичность". А вот что будет если "частичность" одна --- это нужно интеграл вычислить. Кстати, и тоже ноль может получиться. Там же целое подпространство векторов с одинаковой "частичностью"...

-- Пт май 02, 2014 12:43:03 --

Nirowulf в сообщении #857871 писал(а):

Наверное, даже лучше читать Киселёва
, современная книга.

Увы, не помню та ли эта книга, что я читал. Если та, то ОЧЕНЬ хорошая. "Начальное направление" правильное. Но ЛЛ3 никак не заменит. Просто потому, что самые основы там есть, но всего остального нет. Все остальное нужно читать как раз по ЛЛ3. Но уже понимая что к чему.

-- Пт май 02, 2014 12:44:36 --

manul91 в сообщении #858049 писал(а):

Посмотрим, все ли я понял правильно.

Можно ли, записать вектор пространства Фока ("формальная сумма" $c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)+\ldots$), следующим альтернативным образом:

$c_0|\rangle+c_1\int \psi({\bf r_1})|{\bf r_1}\rangle d^3{\bf r_1}+c_2\int \psi({\bf r_1,r_2})|{\bf r_1,r_2}\rangle d^3{\bf r_1}d^3{\bf r_2}+\ldots$
где смысл "кет"-обозначений следующий:
$|\rangle$ - базисный "орт" состояния "бесструктурного вакуума" (пустоты) - одна штука
$|{\bf u}\rangle$ - базисный "орт" чисто-одночастичного дельта-состояния: "единственная частица, находится ровно в месте $\bf u$ в трехмерном пространстве, и только там" (континуум штук таких базисных ортов); помноженные на комплексной волновой функции того же аргумента и суммированные интегралом - они дают любое одночастичное состояние-суперпозиция таких орт
$|{\bf u, v}\rangle$ - базисный "орт" чисто-двухчастичного дельта-состояния: "одна из частиц находится ровно в месте $\bf u$ в трехмерном пространстве И другая частица находится ровно в месте $\bf v$" ("континуум в квадрате" штук таких базисных ортов); помноженные на комплексной волновой функции тех же двух аргументов и суммированные интегралом - они дают любое двухчастичное состояние-суперпозиция таких орт
и т.д.

Абсолютно правильно!

[manul91]

Alex-Yu в сообщении #858048 писал(а):

Можно привести простой пример, показывающий к какому бреду приводят рассуждения чисто на языке функций. Пусть есть два состояния: одноэлектронное с волновой функцией $\psi(r)$ и однопротонное с ТОЙ ЖЕ САМОЙ волновой функцией $\psi(r)$. Будем считать (не обязательно, но удобно) эту функцию нормированной на единицу.

Спрашивается, чему равно скалярное произведение этих двух состояний? Если рассуждать чисто в смысле функций, то должна получиться единица. Но это бред собачий, должен быть ноль! Ноль и получается, если понимать, что волновая функция --- лишь коэффициенты разложения по базису. Все одноэлектронные базисные векторы ортогональны всем однопротонным базисным векторам. В итоге правильный ноль.

Спасибо. Я об этом "уже догадывался сам" - во многом благодаря также ваших прежних сообщений в теме (см. мое последнее сообщение).

[Alex-Yu]

manul91 в сообщении #858049 писал(а):

Потом скажем, примерно можно записать вектор в пространстве фока для разночастичных состояний, по базисе спинов относно некоей оси для частиц спина $1/2$ (абстрагируясь от распределения в пространстве) - тут интегралов не будет, а только сумм:

$$ c_0|\rangle + c_1(c_{10}|\text{up}\rangle + c_{11}|\text{down}\rangle) + c_2(c_{20}|\text{up,up}\rangle+ c_{21}|\text{up,down}\rangle + c_{23}|\text{down,up}\rangle+c_{24}|\text{down,down}\rangle) +\ldots $$

где смысл "кет"-обозначений следующий:
$|\rangle$ - базисный "орт" состояния "бесструктурного вакуума" (пустоты) - одна штука
$|\text{up}\rangle$ - базисный "орт" чисто-одночастичного состояния "спин вверх" по оси (двух штук таких базисных ортов - up и down); их суперпозиция с комплексными коеффициентами дает любое одночастичное состояние спина
$|\text{up,up}\rangle$ - базисный "орт" чисто-двухчастичного состояния "обе частицы спин вверх" по оси (четыре штук таких базисных ортов - все комбинации up и down для первой и второй частицы соответно); их суперпозиция с комплексными коеффициентами дает любое двухчастичное состояние спина
и т.д. (следующий "этаж" для трех частиц будет иметь 8 базисных состояний)...

Ну если Вам все равно где именно эти спины, то так можно. Вообще-то нужно и спин, и место положения. И еще вид частицы и, возможно, что-нибудь еще различающее состояния.

[manul91]

Alex-Yu в сообщении #858053 писал(а):

Ну если Вам все равно где именно эти спины, то так можно. Вообще-то нужно и спин, и место положения. И еще вид частицы и, возможно, что-нибудь еще различающее состояния.

Да - это теперь совершенно понятно (но для избежания монструозности записи, мы ведь и в прежних записей аналогично игнорировали спина, вида частиц и пр.)

Еще "хвилософский" вопрос.. А что вообще должен описывать этот монстр, какую систему?
Любую?
Ведь там должны быть многочастичные члены с количества частиц больше частиц в наблюдаемой вселенной...
Надо полагать, некие реалистичные ограничения на коеффициентов, придут далее при учета гамильтонианов....